Движения и виды симметрии

Слайд 1

Слайд 2

Понятие движения Под движением пространства понимается отображение пространства на себя, при котором любые две точки пространства А и В отображаются в какие-то точки А 1 и B1 так, что АВ=А1В1 Движение пространства – это отображение пространства на себя, сохраняющее расстояние между точками.

Слайд 3

Центральная симметрия Фигура называется симметричной относительно точки , если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно точки также принадлежит этой фигуре. Точка называется центром симметрии фигуры . Примерами центрально симметричных фигур можно назвать некоторые цветы: В геометрии яркими примерами центрально симметричных фигур являются окружность (центр симметрии – центр окружности) и параллелограмм (центром симметрии является точка пересечения диагоналей ):

Слайд 4

Центральная симметрия Точки А и А1 называются симметричными относительно точки О , если О – середина отрезка АА1 . Точка О называется центром симметрии . Точка О считается симметричной сама себе. Рассмотрим точки М и N и точки М 1 и N 1 симметричные точкам М и N относительно точки О . Рассмотрим треугольники МNО и М 1 ОN 1 . ∠ NOM = ∠ M1ON1- вертикальные. NO=ON1, MO=OM1 , ▲ MNO= ▲ M1N1O, MN=M1N1/ То есть при центральной симметрии сохраняется расстояние между точками. Тогда по определению движения, получим, что и центральная симметрия является движением .

Слайд 5

Центральная симметрия В пространстве центральной симметрией мы назовём отображение пространства на себя, при котором любая точка переходит в симметричную ей точку относительно данного центра . Пусть О – центр симметрии. Введём прямоугольную систему координат Оxyz с началом в точке О. Теперь давайте попробуем установить связь между координатами двух точек М (x, y, z) и М 1 (x 1 , y 1 , z 1 ), симметричных относительно точки О .

Слайд 6

Центральная симметрия Если точка М не совпадает с точкой О, то по определению центральной симметрии О – середина отрезка ММ 1 . Тогда координаты точки О можно вычислить по формулам координат середины отрезка. С другой стороны, поскольку О – начало координат, значит, точка О имеет координаты 0, 0, 0. То есть получим, что x1=-x ,у1=-у , z1=-z Если точки М и О совпадают, тогда точка М 1 также совпадает с точкой О, потому что точка О – центр симметрии, а, значит, она отображается сама на себя. И в этом случае будут выполнятся равенства x1=-x , y1=-y , z1=-z .

Слайд 7

Центральная симметрия По только что доказанным формулам для координат симметричных точек получим, что точки А 1 (-x 1 ;-y 1 ;-z 1 ) и В 1 (-x 2 ;-y 2 ;-z 2 ). Р асстояние АВ между точками равно: АВ =√(х 2 -х 1 ) 2 +( y 2 -y 1 ) 2 +( z 2 -z 1 ) 2 Р асстояние между точками А1 и B1 равно: A 1 B 1 =√(- х 2 +х 1 ) 2 +(- y 2 +y 1 ) 2 +(-z 2 +z 1 ) 2 , Очевидно, что оба эти выражения равны, то есть получим, что АВ= A 1 B 1 . Расстояние между точками при центральной симметрии в пространстве сохраняется, значит, центральная симметрия в пространстве также является движением , но уже не плоскости, а пространства .

Слайд 8

Осевая симметрия фигура называется симметричной относительно прямой , если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно прямой также принадлежит этой фигуре. Прямая называется осью симметрии фигуры . Про такую фигуру говорят, что она обладает осевой симметрией.

Слайд 9

Осевая симметрия Прямая а называется осью симметрии . Каждая точка прямой а считается симметричной самой себе.

Слайд 10

Осевая симметрия Пусть точки М и N – какие-нибудь точки плоскости, а точки М 1 , и N 1 – симметричные им точки относительно прямой А. Здесь может быть несколько вариантов расположения точек на плоскости .

Слайд 11

Осевая симметрия По построению симметричных точек относительно прямой А, прямая А перпендикулярна прямым ММ 1 и NN 1 и делит эти отрезки пополам, значит, в треугольниках МОМ 1 и NОN 1 отрезки ОК и ОЕ будут являться медианами и высотами, проведёнными к основанию, то есть это равнобедренные треугольники . MN=MO+ON M1N1=M1O+ON1=MO+ON Заменив отрезок M1O равным ему отрезком MO , а отрезок ON1 – равным ему отрезком ON , получим , что MN=M1N1. T аким образом , расстояние между точками М и N равно расстоянию между симметричными им точками M1 и N 1. Осевая симметрия – пример движения плоскости. В пространстве осевой симметрией с осью а мы назовем такое отображение пространства на себя, при котором любая точка M переходит в симметричную ей точку M1 относительно оси а .

Слайд 12

Осевая симметрия Будет ли осевая симметрия в пространстве движением пространства? Для этого введём прямоугольную систему координат Оxyz так, чтобы ось Оz совпала с осью симметрии. Теперь давайте попробуем найти связь между координатами точки М с координатами x, y, z и точки М 1 с координатами x 1 , y 1 ,z 1 , симметричных относительно оси Оz . Если точка М не лежит на оси Оz , то по определению оси симметрии, ось Оz проходит через середину отрезка ММ 1 и перпендикулярна к этому отрезку. Поскольку Оz – середина отрезка ММ 1 , и абсциссы и ординаты точек оси Оz равны нулю, то можно записать, что x+x1/2=0 и y+y1/2=0 . X1=-x, y1=-y Условие того, что ось Оz перпендикулярно прямой ММ 1 даёт нам, то что аппликаты точек М и М 1 равны z=z1 . Если же точка М лежит на оси Оz , то она отображается сама на себя, по определению оси симметрии, значит, и в этом случае будут выполнятся полученные равенства. Вывод: для симметричный точек относительно оси Оz абсциссы и ординаты противоположны, а аппликаты равны.

Слайд 13

Осевая симметрия Возникает вопрос, а если ось симметрии совпадает не с осью Оz , а, например, Оx или Оy . Тогда связь между координатами симметричных точек М и М 1 будет такая: если ось симметрии проходит через ось Оx , то точки М и М 1 имеют такие координаты M( x,y,x ), M1(x1,y1,z1 ) Если осью симметрии будет ось Оy , то точки М и М 1 имеют такие координаты M ( x,y,z ), M1(x1,y1,z1 )

Слайд 14

Осевая симметрия Теперь давайте рассмотрим любые две точки A(x1,y1,z1) и B(x2,y2,z2) . По только что доказанным формулам для координат симметричных точек получим, что точка A1(-x1,-y1,z1) . Точка B1(-x2,-y2,z2) .

Слайд 15

Осевая симметрия Найдём расстояние AB : AB=√ ( x2-x1)²+(y2-y1)²+(z2-z1)² Расстояние между точками A1, B1 : A1B1=√(-x2+x1)²+(-y2+y1)²+(z2-z1)² O ба эти выражения равны, то есть получим, что AB=A1B1 . То есть расстояние между точками при осевой симметрии в пространстве сохраняется, значит, осевая симметрия в пространстве также является движением , но уже не плоскости, а пространства.

Слайд 16

Зеркальная симметрия Точки A и A1 называются симметричными относительно плоскости a , если плоскость a проходит через середину отрезка AA1 и перпендикулярна к этому отрезку . Плоскость a называется плоскостью симметрии . Каждая точка плоскости a считается симметричной самой себе . Зеркальной симметрией или симметрией относительно плоскости a называется такое отображение пространства на себя, при котором любая точка M переходит в симметричную ей относительно плоскости a точку M1 .

Слайд 17

Зеркальная симметрия Тогда, если точка М не лежит в плоскости Оxy , то эта плоскость проходит через середину отрезка ММ 1 и перпендикулярна к нему. Из того, что плоскость проходит через середину отрезка ММ 1 можно записать, что точка пересечения прямой и плоскости имеет аппликатой полусумму аппликат точек М и М 1 . Поскольку это координатная плоскость, то аппликаты всех точек плоскости равны нулю. Тогда получаем, что аппликата точки М 1 равна – z. Поскольку ось Оxy перпендикулярна отрезку ММ 1 , то, значит, этот отрезок параллелен оси Оz , и, следовательно, x 1 = x, y 1 = y. Если же точка М лежит в плоскости Оxy , то она по определению плоскости симметрии отображается сама на себя. Аппликаты точек плоскости Оxy равны нулю, то есть выполняется условие, что z 1 = – z. Также очевидно выполнение равенств x 1 = x и y 1 = y. Если в качестве плоскости симметрии взять координатную плоскость Оxz , то для координат точки симметричной точке М, будут справедливы равенства x 1 = – x, y 1 = y, z 1 = z.

Слайд 18

Зеркальная симметрия Если в качестве плоскости симметрии взять координатную плоскость Оyz , то для координат точки симметричной точке М, будут справедливы равенства x 1 = x, y 1 = – y, z 1 = z . Р ассмотрим две произвольные точки: A(x1, y1,x1) и B(x2,y2,z2) . Построим симметричные им точки A1 , B1 , выбрав в качестве плоскости симметрии плоскость Оxy . По только что доказанным формулам, координаты точки A1(x1,y1,-z1) . Координаты точки B(x2,y2,-z2) . Запишем формулу для вычисления расстояний AB и A1B1 . AB=√(x2-x1)²+(y2-y1)²+(z2-z1)² A1B1=√(x2-x1)²+(y2-y1)²+(z2-z1)² Получим одинаковые выражения AB=A1B1 , то есть при зеркальной симметрии сохраняется расстояние между точками, значит, зеркальная симметрия – движение пространства.

Слайд 19

Параллельный перенос П араллельным переносом на вектор а называется отображение плоскости на себя, при котором каждая точка М отображается в такую точку М1 , что вектор ММ1 равен вектору а. Пусть при параллельном переносе на вектор а точки M и N отображаются в точки M1 и N1 . Так как векторы MM1=a и NN1=a то значит, эти векторы равны между собой MM1=NN1 . То есть они параллельны MM1 ll NN1 и их длины равны, поэтому четырёхугольник MM1N1N – параллелограмм. Следовательно, MN=M1N1 , то есть расстояние между точками M и N равно расстоянию между точками M1 и N1. П араллельный перенос сохраняет расстояние между точками и поэтому представляет собой движение . Это движение можно представить себе как сдвиг всей плоскости в направлении данного вектора а на его длину.

Слайд 20

Параллельный перенос П араллельный перенос обладает некоторыми свойствами. Свойства параллельного переноса: · При параллельном переносе отрезок переходит в равный ему отрезок. · Угол переходит в равный ему угол. · Окружность переходит в равную ей окружность. · Любой многоугольник переходит в равный ему многоугольник. · Параллельные прямые переходят в параллельные прямые. · Перпендикулярные прямые переходят в перпендикулярные прямые. Параллельным переносом на вектор p называется такое отображение пространства на себя, при котором любая точка M переходит в такую точку M1 что вектор MM1= вектору p .

Слайд 21

Параллельный перенос При параллельном переносе точки пространства A и B переходят в такие точки A1 и B1 , что вектора AA1=p и BB1=p . Сложим по правилу треугольника векторы AB1=AA1+A1B1, AB1=AB+BB1 Поскольку левые части равенств равны, значит, равны и правые части равенств. Значит, можно записать, что вектора AA1+A1B1= векторам AB+BB1 . Заменим вектора AA1 и BB1 на вектор p . Получим, что p+A1B1= AB+p . Отсюда получаем, что вектор A1B1=AB . Поскольку векторы равны, значит, равны и их длины, то есть A1B1=AB . То есть расстояние между точками при параллельном переносе в пространстве сохраняется, значит, параллельный перенос в пространстве также является движением , но уже не плоскости, а пространства .