Бабочки в мире математики
Скачать:
| Вложение | Размер |
|---|---|
 исследовательская работа по математике | 1.91 МБ |
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Актуальность исследования Многие считают, что математика – это скучная наука, обычный набор формул, законов и теорем, но это совсем не так! Мы не замечаем, что все прекрасное в живой природе подчиняется законам математики. Например, бабочки одни из самых красивых существ на планете. Про них есть множество сказок и легенд и при всем своем разнообразии красок – их конструкция неизменна!
Изучая бабочек и их связь с математикой мне удалось найти несколько интересных тем. 1) Теорема о бабочке ( Уильям Горнер ) 2) Метод сложения дробей способом бабочки 3) А так же теорема Пифагора. Р аньше она назывались теорема нимфы (или бабочки). Красота этих замечательных созданий рассматривается и в симметрии.
Цели проекта Показать значение математики в практической деятельности . Познакомить учащихся с влиянием чисел на жизнь людей . Заинтересовать учащихся интересными фактами из математики и природы, найти взаимосвязь и привить интерес к предмету .
Задачи Формировать навыки самостоятельной познавательной деятельности, критического мышления . Приобретение навыков самостоятельной работы с большим объемом информации . Приобретение умения увидеть проблему и наметить пути ее решения .
Сложение и вычитание обыкновенных дробей методом бабочки Разобраться в этой схеме очень легко. В выбранном примере умножаем числа по диагонали. Если дроби нужно сложить, получившиеся числа также нужно сложить, аналогично при вычитании. Это будет наш числитель. После умножаем числа в знаменателе — получаем ответ!
Выглядит это так:
Теорема нимфы или бабочки Речь идет о «теореме Пифагора» - это одна из основных теорем в геометрии. Она известна практически всем и не только своим применением, но и множеством разных историй связанных с ней, именем своего мудрейшего создателя, а также большим количеством доказательств.
Пифагор Древнегреческий философ и математик (580 – 500 г. До н.э.)
История названия У математиков арабского Востока эта теорема получила название “теоремы невесты” за сходство чертежа с пчелкой, бабочкой, что по-гречески называлось нимфой. При переводе с греческого арабский переводчик, не обратив внимания на чертеж, перевел слово “нимфа” как “невеста”, а не “бабочка ”.
Рисунок из древнегреческой книги
Доказательство Рассмотрим всё тот же треугольник с катетами a, b и гипотенузой c. Достраиваем прямоугольный треугольник до квадрата. От катета “а” продолжаем линию вверх на расстояние катета “b” (красная линия). Далее ведём линию нового катета “а” вправо (зелёная линия). Два катета соединяем гипотенузой “с ”. Получается такой же треугольник, только перевёрнутый.
Аналогично строим и с другой стороны: от катета “а” проводим линию катета “b” и вниз “а” и “b” А снизу от катета “b” проводим линию катета “а”. В центре от каждого катета провели гипотенузы “с”. Таким образом гипотенузы образовали квадрат в центре.
Этот квадрат состоит из 4-х одинаковых треугольников. А площадь каждого прямоугольного треугольника = половина произведения его катетов .
Соответственно , А площадь квадрата в центре = , так как все 4 гипотенузы со стороной . Стороны четырёхугольника равны, а углы прямые. Как нам доказать, что углы прямые? Очень просто. Возьмём всё тот же квадрат:
Мы знаем, что эти два угла, показаны на рисунке, являются 90 градусам. Так как треугольники равны, значит следующий угол катета “b” равен предыдущему катету “b ”: Сумма этих двух углов = 90 градусов. Соответственно, предыдущий угол тоже 90 градусов. Конечно же, аналогично и с другой стороны. Соответственно, у нас действительно квадрат с прямыми углами .
Так как острые углы прямоугольного треугольника в общей сложности равняются 90 градусам, то угол четырёхугольника так же будет равен 90 градусов, ведь 3 угла в сумме = 180 градусов. Соответственно, площадь квадрата складывается из четырёх площадей одинаковых прямоугольных треугольников и площади квадрата, который образован гипотенузами.
Теорема Пифагора всегда имела широкое применение при решении самых разнообразных геометрических задач. В зданиях готического и романского стиля верхние части окон расчленяются каменными ребрами, которые не только играют роль орнамента, но и способствуют прочности окон.
В современном мире, мы не сможем обойтись без теоремы Пифагора, например: м обильная связь. Какую наибольшую высоту должна иметь антенна мобильного оператора, чтобы передачу можно было принимать в радиусе R=200 км? (радиус Земли равен 6380 км.) Решение: Пусть AB= x, BC=R=200 км, OC= r =6380 км. OB=OA+AB OB=r + x. Используя теорему Пифагора, получим Ответ: 2,3 км.
Интересный факт В конце девятнадцатого века высказывались разнообразные предположения о существовании обитателей Марса подобных человеку. В шутку, хотя и не совсем безосновательно, было решено передать обитателям Марса сигнал в виде теоремы Пифагора. Неизвестно, как это сделать; но для всех очевидно, что математический факт, выражаемый теоремой Пифагора имеет место всюду и поэтому похожие на нас обитатели другого мира должны понять такой сигнал.
Симметрия в природе на примере бабочки На явление симметрии в живой природе обратили внимание в Древней Греции пифагорейцы, в связи с развитием ими учения о гармонии. В 19 веке появлялись отдельные работы, касающиеся этой темы. А в 1961 году, как результат многовековых исследований, посвященных поиску красоты и гармонии окружающей нас природы, появилась наука биосимметрика .
С имметрия присуща большому количеству видов животных. Еж, сова, божья коровка, бабочка, рак, паук и другие животные обладают такой симметрией. Например, у бабочки симметрия проявляется с математической строгостью.
Окунемся в живую природу и посмотрим на бабочек
Роль симметрии в мире Понятие симметрии – это целая многовековая история! Принципы симметрии играют важную роль в физике и математике, химии и биологии, технике и архитектуре, живописи и скульптуре, поэзии и музыке.
Не всё идеально Термин «симметрия» по-гречески означает «соразмерность, пропорциональность, одинаковость в расположении частей». Законы природы являются симметричными, но при ближайшем их рассмотрении, в каждом из них можно найти хоть небольшой изъян.
Теорема бабочки Теорема бабочки - на мой взгляд, относится к наиболее интересным и красивым теорем геометрии . Звучит она следующим образом: Пусть P - середина хорды EF . Через точку P проведены две произвольные хорды BD и CA . Отрезки AB и CD пересекают хорду EF в точках X и Y соответственно. Тогда P - середина отрезка XY .
Уильям Джордж Горнер Именно он в 1815 году впервые доказал эту теорему. Теорема впервые увидела свет в английском журнале « Gentleman's Diary ».
Доказательство 1) Опустим перпендикуляры из точек X и Y на прямые AC и BD 2) Т.к . треугольники BXX 2 и CYY 1 подобны, то XX 2 YY 1= BXCY 3) Треугольник XPX 1 подобен YPY 1, а треугольник XPX 2 подобен YPY 2, следовательно XX 1 YY 1= PXPY = XX 2 YY 2 4) Так как треугольник AXX 1 подобен треугольнику DYY 2, то XX 1 YY 2= AXDY 5) Заметим , что EP = PF . Обозначив для удобства EP = PF = k в результате получаем: PX 2 PY 2= XX 1× XX 2 YY 1× YY 2= AX × XBDY × YC = EX × XFFY × YE =( k − PX )( k + PX )( k − PY )( k + PY )= k 2− PX 2 k 2− PY 2.
Значит, PX 2 PY 2= k 2− PX 2 k 2− PY 2, т.е. PX 2( k 2− PY 2)= PY 2( k 2− PX 2 ). Раскрыв скобки получаем PX 2= PY 2 что и значит что PX = PY . Замечу, что это вовсе не единственное доказательство данной теоремы, их еще целое множество. Добавлю, что, если продолжить хорду EF до прямой, и провести прямые BC и AD , то точки пересечения этих прямых с EF так же будут равноудалены от точки P
Вывод Красота и гармоничность природы подчиняется математическим законам . Собранный мной материал можно использовать на факультативных занятиях, на занятиях математического кружка. Учителя математики могут использовать его на уроках, чтобы привить интерес учащихся к предмету. Также рекомендую ознакомиться со своей работой тем сверстникам, которые хотят знать о математике больше, чем рядовой школьник .
Спасибо за внимание
Центральная часть Млечного пути приоткрывает свои тайны
Заповеди детства и юности
Пейзаж
Горячо - холодно
И тут появился изобретатель