ПИР "Связь математики с географией"

VI Городская научно-практическая конференция школьников 
«Я познаю мир»

Тема: «Связь математики с географией»

                                                                             Соловьев Александр Николаевич

«Связь математики с географией»

                                                                         Головина Валентина Васильевна,
                                                                       учитель математики

                                                                       Санкт-Петербург

                                                            Государственное бюджетное общеобра-

                                  зовательное учреждение

                                                                  средняя общеобразовательная школа №253      

                                                            Приморского района Санкт-Петербурга

                                                             им. капитана 1-го ранга П.И.Державина,

     10  «А» класс, 2016 г.

Содержание

Введение

Математика и география. Как эти две науки взаимосвязаны между собой? Некоторые учёные до сих пор скептически относятся к симбиозу этих двух наук.

Первое использование математических методов в географии относят к временам Эратосфена и Фалеса Милетского. Тогда «царица наук» использовалась для вычисления астрономических и геодезических задач.

В эпоху Великих географических открытий математика также не имела популярности среди географов, так как основной чертой этого времени было непосредственное изучение и открытие новых территорий.

Иначе обстояло дело в начале XX века. Учёные стали внедрять математику в географию. Многие деятели науки даже создали школы по статической обработке наблюдений.

Цель исследования: Изучение применения математических знаний при решении задач географического характера.

Задачи исследования:

• изучить и проанализировать информацию по теме;

• привести примеры связи математики с географией.

Актуальность исследования: В современном мире происходит взаимопроникновение разных наук друг в друга. Мы попытались проследить связь между математикой и географией.

Предмет исследования: Симбиоз математики и географии.

Объект исследования: Математические знания в географии.

Гипотеза исследования: Существует связь между географией и математикой, которая проявляется в разных аспектах.

Методы исследования:

• изучение литературы по теме исследования;

• наблюдение;

• обобщение.

Практическая значимость исследования:  Приведённые факты доказывают многосторонние связи математики и географии.

Глава 1.

1.1. Связь математики с географией

Еще в древности география была связана с математикой, но главным образом через геометрию, что позволяло решать задачи измерения длин линий и площадей, строить сетки параллелей и меридианов. Тем не менее, на протяжении длительного времени география оставалась описательной наукой, задачей которой являлось открытие и изучение земного пространства.

Геометрия и география слова очень сходные. Геометрио - землеизмерение. Географо - землеописание.

Первый корень слов общий «гео» - земля, поэтому прослеживается очень тесная связь между этими науками.

В VI в. до н. э. жил известный математик Пифагор, тот самый, чьи «штаны во все стороны равны». Но он занимался не только математикой. Пифагора интересовала география. В этой области он сделал интереснейшие предположения.

«Все в природе должно быть гармонично и совершенно. Но совершеннейшее из геометрических тел есть шар. Земля тоже должна быть совершенна. Стало быть, Земля - шар!» - говорил Пифагор. Теперь мы уточняем: «Земля - шарообразна, но приплюснута у полюсов».

Жизнь на Земле, возникновение и существование на ней географической оболочки в значительной мере зависят от формы и размеров нашей планеты, а также от расстояния до Солнца и угла наклона земной оси и плоскости орбиты.

Смена дня и ночи, времён года, распределение температуры, осадков, давления, зависит от угла падения солнечных лучей на её шарообразную поверхность.

Рисунок 1.

Само название «география» появилось с лёгкой руки древнегреческого ученого Эратосфена, жившего более 2 тыс. лет назад. Он же вычислил размеры Земли, используя математические расчёты и удивительно, ошибся всего на несколько километров:

В те же времена Пифагора и Эратосфена начинаются путешествия. Как только человек научился строить небольшие суда, его тянуло путешествовать, открывать новые земли. И помощником ему в этом был:

«В пути, в неведомом краю

Ведь я вам - лучший друг

Одной заглавной буквой Ю

На мне отмечен Юг.

А стрелка легкая - магнит

На север кончиком глядит

Довольно север мне найти

И я в короткий срок

Определить могу в пути

Где запад, юг, восток»

(С.Я. Маршак)

Человеку нужно было нужно ориентироваться в пространстве. А лучший способ ориентирования - это ориентирование по компасу. Первый компас, как предполагают, был изобретён арабами. Ну а точное направление на предмет можно определить с помощью азимута. Азимут - это угол между направлением на север и какой-либо предмет.

Умея ориентироваться, люди составляли планы, карты и изобрели глобус.

Глобус - это уменьшенная модель Земли.

Карта - проекция земной поверхности на плоскость.

Чтобы изобразить шарообразную поверхность Земли на плоскости, можно ли достоверно всё изобразить? - Нет! Уменьшить искажения помогают математические расчёты:

Карты вовсе не безгрешны

И в пределах разных норм

Нарушают верность линий,

Площадей, углов и форм.

На карте есть градусная сеть. Это меридианы и параллели. С помощью градусной сетки определяют широту и долготу, т.е. географические координаты:

Все путешественники должны быть вечно благодарны древнегреческому учёному Гиппарху, который около 100 лет до н.э. предложил нарисовать на географической карте параллели и меридианы и обозначить цифрами широту и долготу.

Долгое время лишь география («землеописание») пользовалась этим изобретением. И только в XIV в. французский математик Никола Оресм попытался приложить его к геометрии («землеизмерению»). Он нарисовал на плоскости сетку из прямых линий, пересекающихся под прямыми углами, и стал задавать местоположение точек широтой и долготой.

Первым, кто по достоинству оценил новшество, был великий француз Рене Декарт (1596-1650). Его имя носит теперь прямоугольная система координат, обозначающая место любой точки плоскости расстояниями от этой точки до «нулевой широты» – оси абсцисс и «нулевого меридиана» – оси ординат. По традиции, введенной Декартом, «широта» обозначается буквой Х, «долгота» – буквой Y.

Геометрические фигуры, точки которых лежат в одной плоскости, изучает планиметрия.

Геометрические фигуры, точки которых не лежат в одной плоскости, изучает стереометрия.

Заглянем в историю возникновения геометрии. Посмотрим, откуда она берёт свое начало, как развивалась.

Первые государства образовались более 4000-х лет назад в странах Востока, Древнего Египта, Вавилона. Основными видами деятельности людей были:

• Земледелие: измеряли земельные участки, площадь наделов различных форм, используя свойства различных фигур; отсюда и название – «гео» -земля, «метрио» - мерить;
• Строительство: умели рассчитать количество материала, как нужно провести крепление, под каким углом возводить здание;
• Мореплавание: умели ориентироваться в пространстве, оставлять карты.

Древние египтяне были замечательными инженерами. До сих пор не могут до конца разгадать загадки огромных гробниц Египетских царей - Фараонов. Пирамиды (а они построены более 5 тыс. лет назад) состоят из каменных блоков, весом 15 тонн и эти «кирпичики» так подогнаны друг к другу, что невозможно между ними протиснуть и почтовую открытку. А при строительстве использовали лишь простейшие механизмы - рычаги и катки. «Все боится времени, но само время боится пирамид».

В Вавилоне также при раскопках учёные обнаружили остатки каменных стен, высотой в несколько десятков метров, а сколько интересного связано с Вавилонской башней, и высота её достигает 82 метров (восьмиэтажный дом). Без математических знаний все эти сооружения невозможно было бы построить. И все же математические знания египтян и вавилонян были разрозненные и представляли собой свод правил, проверенных практикой, поэтому правила надо было зазубривать, не понимая, почему надо применять то, а не другое.

Но вот именно в Греции, где очень любили спорить, логически доказывать свои утверждения, геометрия приобретает статус науки. Происходит постепенный переход от практической геометрии к теоретической. Геометрия греков отвечает не только на вопрос: «Как?» надо делать, но и на вопрос «Почему?» так, а не иначе. Греки не только усваивали математические результаты других народов, и продолжали их накапливать, обобщать.

Настало время привести все разрозненные знания в систему. И наиболее удачно была изложена геометрия, как наука о свойствах геометрических фигур, греческим учёным Евклидом (III в. до н. э.) в своих книгах «Начала». Произведение состояло из 13 томов, описанная в этих книгах геометрия получила название Евклидова. Геометрия не может быть создана одним учёным. В работе Евклид опирался на труды десятков предшественников и дополнил своими открытиями и изысканиями. Сотни раз книги были переписаны от руки, а когда изобрели книгопечатание, то много и много раз переиздавалась на языках всех народов и стала одной из самых распространенных книг в мире.

В течение многих веков «Начала» были единственной учебной книгой, по которым молодёжь изучала геометрию. Были и другие, но лучшими признавались «Начала» Евклида. И даже сейчас, в наше время, учебники по геометрии написаны под большим влиянием «Начал» Евклида.

Практика ставит всё новые и новые задачи, это и способствует дальнейшему развитию и совершенствованию геометрических знаний в области не только измерения земли, но и в других видах человеческой деятельности.

При изучении курса стереометрии используются имеющиеся у учащихся знания о земном шаре. При рассмотрении окружности большого круга, проведённой через две точки шаровой поверхности, оказывается, что на шаровой поверхности линия кратчайшего расстояния между точками идёт всегда по дуге большого круга. На земной поверхности такие линии называют ортодромами. Они имеют большое практическое значение в морской и воздушной навигации: ведь выгоднее всегда двигаться по направлению кратчайшего расстояния.

При изучении в VI классе темы «Прямоугольная система координат» можно использовать  географическую карту мира с градусной сеткой, выполненной в проекции Меркатора. Такая карта впервые была предложена фламандским картографом Меркатором в 1569 году и с его времени получила всеобщее распространение в мореплавании, так как она облегчает мореплавателям измерение расстояний и прокладку курсов (траектории корабля, идущего постоянным курсом).

Географические координаты точек земной поверхности – широта и долгота –  известна по урокам географии.

В математике  каждой точке координатной плоскости соответствуют две координаты.

Координаты точки на плоскости — это пара чисел, в которой на первом месте стоит абсцисса, а на втором — ордината точки.

При изучении способов вычисления площади шарового пояса, шарового сегмента можно  вычислить  по глобусу площади климатических поясов земного шара. Можно решить задачи географического характера. Например:

Задача №1

Из Санкт–Петербурга вылетел самолёт. Пролетев в северном направлении 500 км, он повернул на восток; пролетев 500 км, самолёт сделал новый поворот на юг и пролетел ещё 500 км. Затем он повернул на запад и, пролетев 500 км, приземлился.  Где расположено место приземления самолёта – в самом Санкт–Петербурге или на каком-то расстоянии от него к северу, к югу, к востоку или к западу.

Учитывая, что Санкт – Петербург лежит на 60-й параллели и приняв в расчёт длину градуса меридиана (114 км), длину градуса на параллели 640 (48 км), длину градуса на широте 600 (55,5 км), можно вычислить, что самолёт при спуске оказался в 77 км восточнее Санкт – Петербурга.

Задача №2

Из Санкт-Петербурга и Каира (оба пункта находятся на параллели 30° в.д.) вылетели два самолета. Самолет из Санкт-Петербурга приземлился в Якутске, а из Каира – на острове Кюсю (Япония). Оба пункта расположены на 130° в.д. Какой самолет приземлится быстрее? Ответ объясните.

Задача №3

Самолёт вылетел из пункта А, пролетел 555 км на юг, 555 км на запад, 555 км на север и вернулся в исходную точку. Определите широту начального пункта путешествия. Ответ объясните.

При изучение темы «Масштаб» в 6 классе рассматриваются понятия числового и линейного масштаба, приёмы перевода числового масштаба географических карт в линейный и, наоборот.

В курсе географии даётся следующее определение масштаба: «Масштаб показывает, во сколько раз каждая линия, нанесенная на карту, уменьшена по отношению к её действительным размерам на местности».

Различают именованный, численный и линейный масштаб.

Масштаб используется для вычерчивания карт,  рассматривания микробов в микроскоп, в архитектуре и т. д.

В учебнике математики даётся следующее определение масштаба карты: «Масштаб - это отношение длины отрезка на карте к длине соответствующего отрезка на местности».

Масштаб – это дробь, числитель которой всегда единица, а знаменатель – число, показывающее, во сколько раз все расстояния уменьшены при перенесении на карту.

Если масштаб какой-либо карты составляет 1: 2 500 000, то это означает, что 1 см на карте соответствует 2 500 000 см на местности или в 1 см 25 километров.

Практическое применение числового масштаба  можно проиллюстрировать  на примерах определения расстояния между двумя пунктами, изображёнными на топографических картах с разными масштабами; длины отрезка, необходимого для изображения расстояния между пунктами по карте по заданному истинному расстоянию между ними и числовому масштабу карты; числового масштаба карты по расстоянию между заданными пунктами на карте и истинному расстоянию между ними.

Задача №4

Найдите отношение: а) 1 см к 40 м (ответ:1:4000); б) 1 см к 50 км (ответ: 1:5000000);

в) 1см к 23 см (ответ: 1:23).

Задача №5

Длина железной дороги Москва – Санкт- Петербург приближенно равна 650 км. Изобразите отрезком эту дорогу, применив масштаб 1:10 000 000.

1 способ.

Решение:

Поскольку расстояние на карте в 10 000 000 раз меньше, чем на местности, то 650 км надо уменьшить в 10 000 000 раз. Вначале выразим это расстояние в см, а затем выполним деление:

650 км = 65 000 000 см,

65 000 000 : 10 000 000 = 6, 5 (см )

Ответ: расстояние между городами на карте 6, 5 см.

2 способ.

Расстояния на карте и соответствующее расстояние на местности – величины прямо пропорциональные. Значит, эти задачи можно решать с помощью пропорций.

На карте на местности

х см 650км=65 000 000см

1cм 10 000 000 см

Решение.

Пусть х см длина железной дороги на карте.

Составим пропорцию:

Х:1 = 65 000 000:10 00 000

Х*10 000 000=1*65 000 000

Х=65 000 000:10 000 000

Х=6, 5

6, 5 см- длина железной дороги на карте.

Ответ:6, 5см.

Задача №6

 Определить длину дуги экватора (или меридиана) в 15°, 30°, 45° на глобусе масштаба 1:50000000.

Задача №7

Определить на глобусе того же масштаба длину дуги параллелей в 15°, 30°, 45° на широте 50°, 60°, 70°.

Задача №8

Определить площадь участка в м2, га и км2на местности, если на карте 1 : 10000 он составляет 13,4 см. кв.

Задача №9

Определить площадь участка в см2 на плане 1 : 3000, если на местности он составляет 18 га.

Задача №10

Каков линейный масштаб площади карты, если местность в 360 га занимает на ней 10 см2  карты.

Задача №11

Три населённых пункта А, В и С расположены так, что пункт В находится в 2 км к северу и С – в 3 км к северо-западу от А.
            Задача №12

D, E, F – три других населённых пункта, причём пункт Е расположен в 2 км к северо-востоку, а F – в 3 км к востоку от пункта D. Сделать чертёж и доказать, что расстояние между пунктами В и С такое же, как между пунктами Е и F.

Так при изучении темы «Литосфера» в географии рассматриваются столбчатые и круговые диаграммы, градусная мера угла, элементы окружности, проценты, при рассмотрении неравенства экваториального и полярного радиусов как следствие осевого вращения Земли; классификация горных пород по происхождению; изменение температуры с глубиной. Этот материал связан с математическими знаниями.

Задача №13

Рассчитайте примерную температуру горных пород в угольной шахте, если её глубина 1600 м, а температура слоя земной коры, с которого начинается её повышение, составляет 5◦ С (температура повышается на каждые 100 м на 30 С)

Задача №14

Постройте круговую диаграмму «Вещественный состав земной коры», показав долю объёма горных пород: магматические - 71%, осадочные - 9%, метаморфические - 20%.

1.2. Математические методы в географии

Впервые математические методы в географии предложено было использовать в 20-е годы ХХ века Вениамином Петровичем Семёновым-Тянь-Шаньским и Михаилом Михайловичем Протодъяковым [1].

В.П. Семенов-Тянь-Шаньский (1870 – 1942) – русский географ статист, картограф, краевед, сын Петра Петровича Семенова-Тянь-Шаньского (1827-1914).

Протодъяков М.М. – специалист в области горного дела. Разработал шкалу крепости горных пород.

О необходимости использования математики в физической географии писал ещё в середине 30-х годов академик А.А. Григорьев [2]. Он считал, что одной из существенных задач физико-географической науки является выработка показателей, характеризующих количественную сторону природного процесса. Однако пионером внедрения математических методов в географию является Давид Львович Арманд [3, 5].

Отношение географов к математическим методам не единодушно. Прямой перенос математических методов в географию часто приводит к упрощённой трактовке сложной географической реальности. Одним из первых, кто стал писать о нецелесообразности преувеличения роли математики в географии, отводя ей роль полезного, но второстепенного, подсобного орудия, был академик С. В. Калесник. Об этом писал и В. А. Анучин: «Обработка эмпирического материала при помощи электронно-вычислительной техники в целом ряде случаев, особенно в исследовании географических процессов, приводит к грубым ошибкам по той простой причине, что эти процессы далеко не всегда могут быть количественно выражены. В географии, например, математика часто не только «укорачивает» научные определения, но и сильно искажает их... Часто математическое моделирование в географии сводится к «портретным моделям», лишённым какого-либо дополнительного содержания, что с не меньшим (а часто большим!) успехом может быть выражено при помощи картографии» [4].

Большое значение для внедрения математических методов в отечественную географию имела и деятельность ученых-географов различных специализаций:

• экономико-географов – Ю.Г. Саушкина, Н.И. Блажко, В.М. Гофмана, Ю.В. Медведкова;

• физико-географов – Д.Л. Арманда, Ю.Г. Симонова, А.М. Трофимова, Т.Д. Александрова, И.Г. Черванева;

• картографов – А.М. Берлянта, М.К. Бочарова, С.Н. Сербенюка, А.В. Червякова и других [5].

1.3. Причины слияния математики и географии

Математические методы имеют универсальное общенаучное значение и в географии применяются на всех стадиях научного исследования - при сборе и первичной обработке исходной информации, ее систематизации, выявлении закономерностей и теоретических обобщений.

Необходимость использования математических методов в географических исследованиях обусловлена большим объемом количественной информации, поступающей из различных отраслей географических знаний, требующей обработки, оценки их объективности, анализа.

Таким образом, задача географии сегодняшнего дня:

 1) теоретическое осмысление накопленных фактов в различных областях географической науки;

2) поиск закономерностей, определяющих пространственную и временную картину природных и социально-экономических явлений.

Успешному решению этих задач способствует внедрение математических методов и соответствующих программ, разработанных для ПЭВМ, позволяющих не только обрабатывать большой объём количественных данных, но и, что немаловажно для географии, представлять их в виде аналоговой картинки, осуществлять моделирование, а также пространственно-временные преобразования [1].

В зависимости от характера исследования и степени сложности изучаемого объекта пути математического решения могут быть: аналитические и статистические (вероятностные).

Применение аналитического метода основано на привлечении методов дифференциального и интегрального исчисления, элементов аналитической геометрии для описания различных компонентов или факторов географической оболочки. На определённой стадии исследования выбираются главные, наиболее изученные явления, которые описываются формулами или уравнениями. Они составляют содержание аналитического направления.

Из различных разделов современной математики в географии наиболее широко используется статистика. На ее долю приходится не менее 80% всех проведенных экспериментов. В зависимости от цели исследований и характера изучаемых объектов в географии применяются как методы математической статистики, так и методы социально-экономической статистики. Методы математической статистики позволяют оценивать надежность и точность выводов, сделанных на основе ограниченного статистического материала. В физической географии наиболее употребительны математико-статистические методы проверки гипотез, корреляционный и регрессионный анализы, методы многомерной статистики (факторный анализ, метод главных компонент), статистическое моделирование. Социально-экономическая статистика применяется при изучении различного рода социальных, экономических и других явлений и процессов, в том числе и в территориальном разрезе [6].

Пик изучения математики через географическую призму приходится на 1950—1960 гг. Для многих учёных применение математических алгоритмов в географии явилось новым направлением в данной дисциплине. Но вопреки мнению большинства, часть деятелей науки продолжали видеть нецелесообразность синтеза географии и математики. В 1970-х г. даже стали появляться работы, в которых высказывалась подобная мысль.

Арманд Давид Львович — основоположник изучения географии с помощью математических методов в России. На данный момент в географии используются различные методы математического алгоритма. Основным аспектом внедрения математики является необходимость обобщения, полученной за многие годы информации.

В наши дни математика используется для географического прогноза, что помогает получать более правдивые сведения. Но так ли всё просто? Нет. Существует ряд причин, препятствующих безупречному развитию математики в географии, такие как:

• отсутствие прочной базы знаний по использованию математических алгоритмов у специалистов;

• малая официализация знаний и понятий;

• протекающие природные явления зачастую очень трудно описать математическим языком.

Заключение

Таким образом, математика встречается в географии:

•  в масштабировании; в определении масштаба;

• в вычислении количества жителей населённого пункта;

• в вычислении плотности населения;

• в измерении географических объектов (например, измерение горных высот или низменностей);

• при обозначении географических координат (широта и долгота);

• при нахождении географического объекта при помощи широты и долготы;

• при вычислении площади географических объектов.

Приведённые примеры показывают, что между математикой и географией существует связь, которая проявляется в разных аспектах.