Исследовательская работа "Необычные фигуры"

РАЙОННАЯ УЧЕБНО-ИСССЛЕДОВАТЕЛЬСКАЯ КОНФЕРЕНЦИЯ

«ЮНОСТЬ ПОМОРЬЯ»

Направление Математика

Необычные фигуры

Исследовательская работа

Выполнена учеником 9 класса

муниципального бюджетного общеобразова-тельного учреждения «Каменская средняя школа Мезенского района»

Полежаевым Кириллом Григорьевичем

Научный руководитель - учитель муниципального бюджетного общеобразовательного учреждения «Каменская средняя школа Мезенского района»

Авдеева Людмила Сергеевна

г. Мезень, 2019

Содержание

Введение

Нельзя понять, как устроено всё вокруг, не зная геометрии. Геометрия – это удивительный мир, который окружает нас с самого рождения. Французский архитектор Корбюзье однажды воскликнул: «Всё вокруг геометрия!». И мы, люди XXI века, можем повторять его слова  с ещё большим изумлением.

Первые, базовые знания об этой замечательной науке мы получаем в школе. Сначала знакомимся с геометрией на плоскости (планиметрией), затем – в пространстве (стереометрией). «В планиметрии изучаются свойства геометрических фигур на плоскости. Стереометрия – это раздел геометрии, в котором изучаются свойства фигур в пространстве» [1, с. 3]. В целом геометрию следует рассматривать как науку, которая изучает форму, размеры и взаимное  расположение фигур. А что же такое геометрическая фигура, которая является основным объектом изучения геометров. Под геометрической фигурой понимаем мысленный образ предмета, учитывающий только его форму и размер.

В геометрии на плоскости большое внимание уделяется многоугольникам. Из всех многоугольников с определённым количеством сторон наиболее приятен для глаза, идеален по форме правильный многоугольник^[1]. Одним из таких многоугольников является квадрат. Интересно, существует ли в геометрии треугольник, у которого, как у квадрата, все стороны равны и все углы по 900? А пятиугольник с такими свойствами?

Тема работы – «Необычные фигуры».

Цель работы – выяснить возможность существования треугольника и пятиугольника, у которых, как у квадрата, равны все стороны и все углы равны по 900.

Задачи:1. Рассмотреть историю возникновения геометрии как науки;

2. Собрать материал о видах геометрии из различных источников;

3. Дать характеристику квадрата;

4.Определить и показать существование треугольника и пятиугольника, определяемые целью работы.

Объект исследования – геометрические фигуры.

Предмет исследования – треугольник, четырёхугольник и пятиугольник с равными сторонами и равными прямыми углами.

Следует отметить, что актуальность данной работы заключается в том, что геометрические знания и умения необходимы любому современному человеку в силу его ежедневных потребностей, они же составляют основу большинства существующих профессий, а геометрическая культура с каждым днём всё больше развивается и распространяется в нашем обществе.

В ходе исследования были использованы методы:

- теоретические - анализ литературы, поиск информации в Интернет-ресурсах;

- экспериментально-теоретические  - моделирование.

Гипотезу этой работы составило мнение о том, что, если в школьном курсе геометрии не изучают треугольник  и пятиугольник с равными сторонами и углами по 900, то существует другая геометрия, в которой треугольник и пятиугольник могут иметь все равные по длине стороны и все равные по 900 углы.

Главным источником информации при написании работы были учебники по геометрии, справочники, энциклопедии и Интернет (статья с сайта).

Глава 1. История возникновения геометрии

Самые первые понятия в геометрии люди приобрели еще в глубокой древности. Практические потребности человека, такие как определение площади участков земли и помещений, практические задачи для мореплавания, строительного дела, желание украсить жилище и одежду и другие, положили начало в построение системы знаний по геометрии.

Основу геометрической науки составили простейшие геометрические свойства, взятые из опыта. Но они были не систематизированы, передавались от поколения к поколению в виде правил и рецептов. Доказательств этих правил не существовало, так как они были ненаучно изложены.  Первые геометрические факты, изложенные научно, относятся к III веку до нашей эры. Название науки «геометрия» происходит из  древнегреческого языка и означает в переводе: geo – «Земля», metreo – «измерения».

«Интересы геометров и направления их научных исследований порой менялись в процессе исторического развития этой науки, поэтому нелегко дать точное и исчерпывающее определение, что такое геометрия сегодня, каковы её предмет, содержание и методы»[7, с.69].

В итоге получается, что появление геометрии как науки связано с практической деятельностью людей. В таком виде, в котором существует сейчас, она появилась не сразу. С момента возникновения первых геометрических теорий и размышлений прошло огромное количество лет. За это время наука модифицировалась. Она претерпевала множество изменений на каждом новом этапе развития общества.

Глава 2. Виды геометрии

2.1. Геометрия Евклида

«Отцом современной геометрии» считают Евклида Александрийского (325−265 лет до н. э.). Именно он ввел математическую строгость и аксиоматический метод, используемый и сегодня. Геометрическая теория, основанная на системе аксиом, впервые изложена в «Началах» Евклида (III век до н. э.). Его книгу «Начала» считают учебником всех времен и народов, она была известна всем образованным людям на западе до середины 20-го века.

«Геометрия стала называться наукой лишь тогда, когда её истины начали устанавливаться путём доказательства» [3, с. 40]. В основе геометрии лежит список простейших фактов: постулатов и аксиом^[2]. На их основе с помощью логических рассуждений доказывались все другие свойства (теоремы). Этот процесс известен как аксиоматический подход.

Система аксиом Евклида была разделена на пять групп, построенных на основе пяти постулатов. Изучение аксиоматики Евклида во второй половине XIX века показало её неполноту. Особый интерес математиков – геометров вызывал пятый постулат – аксиома параллельных. Математики пытались заменить её более простой, либо доказать её как теорему, опираясь на другие аксиомы«Начал». Итак, так  называемый  пятый  постулат  Евклида  вызвал   сомнение у математиков. Вот о чём говорится в пятом постулате: «И чтобы всякий раз, когда прямая при пересечении с двумя другими прямыми образует с ними односторонние углы, сумма которых меньше двух прямых, эти пересекались с той стороны от секущей, с которой эта сумма меньше двух прямых углов».[3, с. 95]

      Данное утверждение заметно сложнее остальных аксиом.  Поэтому  пятый постулат часто заменяют на равносильную аксиому параллельности:  «Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной» [3, с. 85].Сложная формулировка пятого постулата и его неубедительность вынуждали многих математиков,  живших  после  Евклида,  исключить этот постулат из списка аксиом, т.е. доказать его  как  теорему  с помощью остальных аксиом Евклида. 

Таким образом, сложившуюся из потребностей, наглядных представлений человека об окружающем мире систему знаний, Евклид обобщил и дал научное обоснование в виде пяти постулатов. Однако, пятый постулат сложностью формулировки и понимания поставил под сомнение существование единственной геометрии.

2.2. Неевклидовая геометрия

Авторы учебника по геометрии 7 класса А.Г. Мерзляк, В.Б. Полонский, М.С. Якир отмечают о том, что «если пятый постулат – это правило, которое мы принимаем, а не теорема, то его можно заменить противоположным утверждением.»  [3, с. 96]. А значит, имеет место противоположное утверждение для аксиомы параллельности прямых: через точку, не лежащую на данной прямой, проходит более одной прямой, параллельной данной. Отсюда появилась новая геометрия.

Бурное развитие физики и астрономии доказало, что евклидова геометрия не способна описать свойства пространства, связанные с перемещениями тел со скоростями, близкими к световой.

2.2.1. Кривизна Гаусса

Карл Фридрих Гаусс был первым, кто впервые обратился к неевклидовой геометрии. Он, рассматривая теорию параллельных, надеялся её доказать, но в итоге пришёл к мысли о построении новой геометрии, которую он назвал неевклидовой.  Геометрию Гаусс рассматривал не только на поверхности, но и в пространстве. Он изучал вопросы геометрии плоскости на поверхностях пространственных тел. Так появляется теория поверхностей, и в науку входит понятие гауссовой кривизны.

Гауссова кривизна — это мера искривления поверхности в окрестности какой-либо её точки. Она является объектом внутренней геометрии поверхностей.

Гауссова кривизна бывает положительной и отрицательной (постоянной и непостоянной), а также равной нулю. Поверхности фигур на плоскости обладают постоянной нулевой кривизной. Сфера имеет постоянную кривизну: постоянную положительную - на внешней поверхности, постоянную отрицательную – на внутренней. Псевдосфера – это пример поверхности с постоянной отрицательной кривизной.

Гаусс вёл краткий дневник своих открытий. В личных записях Гаусса были отражены основные положения неевклидовой геометрии. Гаусс не решался опубликовывать свои работы, потому что боялся быть непонятым. Многие отложенные или заброшенные им идеи позже воскресли в трудах Абеля, Якоби, Коши, Лобачевского и др.  

2.2.2. Геометрия Лобачевского

Николай Иванович Лобачевский был современником Гаусса и также изучал вопросы неевклидовой геометрии. Лобачевский Н.И. «заменил лишь одно правило – аксиому параллельности прямых – следующим: через точку, не лежащую на данной прямой, проходит по крайней мере две прямые, не пересекающие данную. Новая аксиома позволила построить новую геометрию…»[3, с. 96].Гаусс поддерживал и «…полностью разделял взгляды  Лобачевского … на геометрию» [2, с. 53].

Именно Лобачевский Н.И., профессор Казанского университета, первым опубликовал идеи неевклидовой геометрии, и поэтому, в России её назвали его именем, геометрией Лобачевского.

Геометрия Лобачевского работает на поверхностях с отрицательной кривизной. Отрицательная кривизна поверхности – поверхность сферического пузырька в жидкости, поверхность полого цилиндра, покрытого пленкой адсорбированного компонента (вогнутая поверхность). Можно сказать, что русский математик Н. И. Лобачевский разработал геометрию, которая приблизилась к реальному описанию пространства.

Таким образом, геометрия Лобачевского — это такая геометрия, в которой не выполняется пятый постулат Евклида, аксиома параллельных. Данный вид геометрии нашёл своё реальное истолкование на поверхности псевдосферы, на поверхности с отрицательной кривизной. Лобачевский назвал свою геометрию «воображаемой».

2.2.3. Геометрия Римана

Геометрия Римана— одна из неевклидовых геометрий, в которых аксиома параллельности заменена некоторым отрицанием. Риман построил вторую разновидность неевклидовой геометрии в противоположность геометрии Лобачевского.

Геометрия Римана – это геометрия не пространства, а поверхности, которая работает на поверхностях с положительной кривизной. Положительную кривизну поверхности имеет поверхность сферической капли, поверхность сплошного цилиндра (выпуклая поверхность).

Риман, как и Лобачевский, думал, что его неевклидова геометрия выполняется на плоскости, но, в последствие оказалось, что она применима только на внешней поверхности сферы.

В итоге получается, что геометрия Евклида не единственна. Открытия Гаусса, Лобачевского, Римана знаменовали собой революцию в области человеческой мысли. Вопросы из каждой геометрии можно объединить понятием кривизны Гаусса. Если геометрия Евклида реализуется в пространстве с нулевой гауссовой кривизной, Лобачевского — с отрицательной, то геометрия Римана реализуется в пространстве с постоянной положительной кривизной. Многие вопросы смогли объяснить после введения понятия кривизны поверхности.

Глава 3. Многоугольники с равными сторонами  и углами по 900

3.1. Квадрат

В школьном курсе геометрии нами достаточно изучены такие правильные многоугольники, как равносторонний треугольник, квадрат и правильный пятиугольник.

Рассмотрим многоугольник, у которого все стороны одной длины и все углы равны 900. Им является квадрат. На уроках геометрии мы не только знакомимся с понятием квадрат, но и изучаем его свойства. Квадрат является примером поверхности евклидовой геометрии, геометрии на плоскости, ведь если положить квадрат на стол, то все точки фигуры будут соприкасаться с его поверхностью. Квадрат – это плоская фигура. Он имеет нулевую гауссову кривизну.

Дать определение квадрату можно несколькими способами:

1. Авторы учебника по геометрии 8 класса А.Г. Мерзляк, В.Б. Полонский, М.С. Якир  дают такое определение: «Квадрат – это прямоугольник, у которого все стороны равны»[4, 36];

2. А в учебнике по геометрии 9 класса этих же авторов отмечено, что «квадрат- это правильный четырехугольник» [5, с. 48], т.е. четырёхугольник у которого все стороны и все углы равны.

Квадрат также можно считать ромбом, все углы которого прямые.

Получается, что квадрат – это прямоугольник, ромб, правильный четырёхугольник. Значит, квадрату присущи свойства всех этих фигур(геометрическую интерпретацию свойств см. в Приложение 1):

1) Все стороны квадрата равны;

2) Все углы квадрата прямые;

3) Диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам;

4) Диагонали равны;

5) Диагонали взаимно перпендикулярны;

6) Диагонали являются биссектрисами его углов.

Подробнее остановимся на свойстве о том, что все углы квадрата прямые. Для дальнейшей работы воспользуемся изготовленным из бумаги квадратом как мерой угла 900 для подтверждения равенства углов следующих фигур данной градусной мере. Добьёмся этого с помощью приёма наложения, так как «два угла называют равными, если их можно совместить наложением» [3,с. 22].

3.2. Треугольник с равными сторонами и равными прямыми углами

Ключевой фигурой планиметрии является треугольник. В евклидовой геометрии «часть плоскости вместе с отрезками AB, BC и CA называют треугольником» [3, с. 46]. Множество треугольников разнообразно. Всем им характерно свойство, которое представлено следующей теоремой: «Сумма углов треугольника равна 1800»[3, с. 103].См. Приложение 2 а.

В геометрии Лобачевского «сумма всех углов треугольника меньше 180 градусов» [6]. Значит, на псевдосфере сумма углов любого треугольника будет всегда меньше 1800. Поэтому нет смысла рассматривать треугольник с равными сторонами и углами по 900  на псевдосфере (см. Приложение 2 б).

Если теоретически на сфере построить любой треугольник, то сумма его углов будет всегда больше 1800(см. Приложение 2 в).

В евклидовой геометрии невозможно было бы представить треугольник, все углы которого равны 900. Обратимся к неевклидовой геометрии за поиском подобного треугольника.

Если рассмотреть сферу, то на её внешней поверхности можно построить треугольник, углы которого равны 900. В этом просто убедиться, если в качестве сферы мы возьмём глобус: отметим любую точку на экваторе, поднимемся под прямым углом к полюсу, а затем от полюса опустимся под прямым углом снова на экватор, остаётся только соединить две полученные на экваторе точки (см. Приложение 3).

Аналогичным образом можно построить треугольник с прямыми углами из любой точки сферы.

Воспользуемся для построения такого треугольника шаром, потому что его поверхность имеет сферическую форму. Каждая иголка – вершина треугольника. В качестве сторон треугольника будем использовать нитки.  Выберем произвольную точку и обозначим её иголкой. Для удобства расположим шар так, чтобы точка была сверху. Из этой точки опустимся вниз на расстояние равное четверти длины окружности, описывающей форму шара. Отметим эту метку как вторую вершину треугольника. Под углом 900 отложим такое же расстояние вправо (влево), тем самым получив третью точку. Соединим первую и третью точки. Получим, так называемый, треугольник. Убедиться в том, что все углы равны 900, можно, наложив на них угол плоского квадрата (см. Приложение 4 а и б). С помощью нитки убедились, что длины всех сторон треугольника равны.

Чтобы наглядно показать получившуюся фигуру, можно сделать её из бумаги (см. Приложение 4 в). Полученная фигура не будет являться плоскостью, потому что, прикладывая её к плоскости стола, мы будем видеть лишь касание плоскости стола тремя точками, которые являются вершинами фигуры. Остальная часть фигуры будет «нависать» над плоскостью стола. Данная фигура обладает положительной гауссовой кривизной.

3.3. Пятиугольник с прямыми углами

А можно ли построить похожую фигуру, но с пятью сторонами и углами соответственно?

В евклидовой геометрии существует правильный пятиугольник, но градусная мера его углов равна 1080. Это можно подсчитать, зная что «каждый угол правильного n-угольника равен»  [5, с.48].Из ресурсов Интернета стало ясно, что существует способ построения правильного пятиугольника с помощью линейки и циркуля (в школе не изучается): пусть O – центр окружности, A– точка на окружности и E– середина отрезка OA. Перпендикуляр к радиусу OA, восстановленный в точке O, пересекается с окружностью в точке D. Пользуясь циркулем, отложим на диаметре отрезок CE=ED. Длина стороны вписанного пятиугольника равна DC. Откладываем на окружности отрезки DC и получим пять точек для начертания правильного пятиугольника. Соединим точки. См. Приложение 5.

Возможно ли построить пятиугольник в неевклидовой геометрии? Если взять для построения сферу, то градусная мера каждого угла правильного пятиугольника будет больше 900, потому что на плоскости углы уже больше 900. А при  создании пятиугольника на сфере их градусная мера увеличится. См.  Приложение 6 а.

Рассмотрим в качестве поверхности для построения пятиугольника псевдосферу. Псевдосфера имеет отрицательную кривизну, из-за этого градусная мера углов будет уменьшаться.

Предмет, имеющий форму псевдосферы найти достаточно трудно. Поэтому воспользовались самодельным предметом, изготовленным из древесины, внешне похожим на псевдосферу (см. Приложение 6 б).

Способ построения пятиугольника на псевдосфере не освещён на ресурсах Интернета, не был найден нами в литературных источниках. Поэтому решились попробовать построить пятиугольник на псевдосфере, используя вышеупомянутый способ построения правильного пятиугольника с помощью циркуля. Пятиугольник получился. Получился пятиугольник с равными сторонами и равными углами по 900 (см. Приложение 6 б). Проверить прямые углы достаточно просто: наложили прямой угол бумажного квадрата на каждый угол пятиугольника. Углы совпали. Проверили равенство сторон нитью. Следовательно, искомый пятиугольник найден.

Для наглядности сделали такой пятиугольник из бумаги. Все его стороны равны и все углы по 900 (см. Приложение 6 в)

Из наглядных представлений ясно, что этот пятиугольник, как и треугольник с равными сторонами и с углами по 900 не будет являться плоской фигурой. Если наложить его на плоскость, то не все точки фигуры будут лежать в ней.  

Подводя итог третьей главе, делаем вывод, что на евклидовом плоском листе бумаги можно построить и треугольник, и квадрат, и пятиугольник с равными сторонами и равными углами, но лишь квадрат будет подходить под заданные нами условия. Углы треугольника и пятиугольника не будут равняться 900 в то время, как неевклидовая геометрия позволяет построить и треугольник, и пятиугольник с равными сторонами и равными прямыми  углами.

Заключение

Для успешной жизни и удовлетворения потребностей человечество постоянно сталкивалось с рядом вопросов о форме окружающих его предметов, вычислениях, связанных с землемерием, строительным делом и т.д. Все это способствовало формированию и накоплению геометрических сведений.

Вклад в развитие геометрии как науки внесён Евклидом. Этот учёный сформулировал некоторое количество аксиом, из которых логически выводятся все теоремы геометрии. Однако, не всё написанное Евклидом удовлетворяло живших после него математиков. Было поставлено под сомнение существование единственной геометрии. Появление неевклидовой геометрии позволило построить и треугольник, и пятиугольник с равными сторонами и равными по 900 углами.

Цель работы доказана. Гипотеза, как предположение о существовании нешкольной геометрии и возможности построения треугольника и пятиугольника со сторонами одной длины и углами, равными 900, оправдалась.

Теоретическая значимость заключается в том, что результаты работы могут заинтересовать читателя геометрией, мотивировать его на изучение геометрии открытие новых, неизвестных сторон этой удивительной науки. Практическая значимость обусловлена тем, что полученные результаты можно использовать для развития интереса обучающихся, повышения их кругозора на классных часах и  на внеурочных занятиях.

Из фигур, полученных в ходе исследования, становится понятно, что невозможно полностью отобразить сферическую и псевдосферическую поверхность на евклидову плоскость. Это большая проблема для картографов, с которой они сталкиваются при необходимости нарисовать карту Вселенной. Данный вопрос может лечь в основу следующей исследовательской работы.

Список использованных источников

1. Математика: алгебра и начала анализа, геометрия. Геометрия. 10-11 классы : учеб. для общеобразоват. организаций : базовый и углубл. уровни / [Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др.]. – 4-е изд. – М.: Просвещение, 2017. – 255 с.
2. Математика. Справочник школьника/ Г.М. Якушева. – М.: Филол. Общ-во«СЛОВО»; ООО «Изд-во АСТ», 2001. – 574,[2] c.
3. Мерзляк А.Г. Геометрия : 7 класс : учебник для учащихся общеобразовательных организаций / А.Г. Мерзляк, В.Б. Полонский, М.С. Якир. – М. : Вентана-Граф, 2015. – 192с. : ил.
4. Мерзляк А.Г. Геометрия : 8 класс : учебник для учащихся общеобразовательных организаций / А.Г. Мерзляк, В.Б. Полонский, М.С. Якир. – М. : Вентана-Граф, 2016. – 208с. : ил.
5. Мерзляк А.Г.  Геометрия : 9 класс :учебник для учащихся общеобразовательных организаций / А.Г. Мерзляк, В.Б. Полонский, М.С. Якир. – М. : Вентана-Граф, 2017. – 240 с. : ил.
6. Факты геометрии. [Электронный ресурс]. //  Удивительные факты. Сборник самых интересных фактов, которые могут вас удивить! Режим доступа: http://amazing-facts.ru/science/fakty_o_geometrii.html. - (Дата обращения: 01.11.18).
7. Энциклопедия для детей. Т. 11. Математика/Глав. Ред. М. Д. Аксёнова. – М.: Аванта+, 1999. – 688 с.; ил.

Приложения

Приложение 1.

Свойства квадрата

                        Приложение 2.

        Треугольник в разных видах геометрии

Приложение 3.

Треугольник с равными сторонами и равными углами по 900 на сфере

Приложение 4.

Треугольник с равными сторонами и равными прямыми углами на сфере и из бумаги

Приложение 5

Построение правильного пятиугольника на плоскости

Приложение 6

Пятиугольник с равными сторонами и углами по 900 на псевдосфере и из бумаги