Решение текстовых задач

Республиканская научно – исследовательская конференция

XVIIIРождественские чтения

Секция: математика

Исследовательская работа

Текстовые математические задачи

Косарева Валерия Евгеньевна, МБОУ «Гимназия №75», 8 класс,

Московский район, город Казань

Научный руководитель:

учитель математики высшей категории

Федотова Надежда Михайловна

Ризатдинова Гульнар Хасановна

Казань 2019

Оглавление

1. Введение 

1. Обоснование темы работы, актуальность…………………………….3
2. Цель и задачи работы………………………………………………….3
3. Гипотеза………………………………………………………………….4
4. Объект и методы исследования…………………………………..........4
5. Источники информации………………………………………………..4

2. Основная часть

1. Краткая историческая справка………………………………………..4
2. Что такое «текстовая математическая задача»………………….......5
3. Поиск подходящей текстовой задачи…………………………………6
4. Способы решения текстовых задач…………………………………..6

3. Практическая часть

1. Мастер – класс с учениками……………………………………….......7

4. Заключительная часть

4.1Выводы……………………………………………..…………………………...8

5. Список литературы……………………………………………………………….9
6. Приложение………………………………………………………………………10

Лучше решить одну задачу несколькими методами,

чем несколько задач одним».

Д. Пойя

Введение

Современный мир стремительно меняется, изменяется и сама жизнь. В нее входят новые технические изобретения, новые технологии. Только математика и решение задач в традиционном понимании не изменяют себе. Математические законы проверены и систематизированы. Поэтому, человек в важные моменты может положиться на математику, решить любую задачу. Математика никогда не подведет!

Одной из важных особенностей математики, делающих ее прекрасной, является наличие в ней красивых задач и изящных решений. Понимание красоты задачи приходит с годами, по мере усвоения математических знаний.

Я заметила, что одну и ту же задачу одноклассники решают разными способами, кому как удобнее. И задумалась, а сколькими способами можно решить такую задачу? И нужно ли знать эти разные способы решения? Так возникла идея моей работы.

Актуальность данной темы заключается в том, что поиск разных способов решения одной задачи помогает повышению математической грамотности учащихся.

Цель моей работы – текстовая задача, поиск различных способов ее решения,

 мастер – класс с учащимися и анализ полученных результатов.

Для достижения цели требуется решить несколько задач:

1. Краткая история развития математики.
2. Что такое «текстовая математическая задача».
3. Поиск подходящей задачи.
4. Поиск различных способов решения задачи.
5. Мастер – класс с учениками.
6. Анализ полученных данных.

Гипотеза: я предположила, что даже простую текстовую задачу можно решить не одним или двумя, а несколькими способами.

Объект исследования: математическая текстовая задача.

Методы исследования:

- поисковый метод при работе с источниками информации;

- практический метод – выполнение решений задачи изученными способами;

- анализ полученных в ходе исследования данных.

Источники информации: сеть Интернет, научно – практические журналы, статьи.

Основная часть

Краткая историческая справка.

Математика – точная наука, которую называют царицей всех наук. Коротко математику можно охарактеризовать как науку о числах и фигурах. Становление математики как науки, возникновение ее новых разделов тесно связано с развитием потребности людей в измерениях и контроле. Математика придавала законченный вид всем наукам, где она применялась. Точно неизвестно, когда появились у того или другого народа начальные математические понятия о счете, числе и множестве, но с уверенностью можно сказать, что потребность сравнивать и считать разные величины возникла с самого начала развития человеческого общества. Как писал Фридрих Энгельс: «Самый древний источник математических знаний – это пальцы рук».

Бурное развитие математики тесно связано с тем, что сначала практика, а потом и теория выдвигали перед ней все новые и новые задачи. Для их решения приобретенных знаний было недостаточно, приходилось искать новые способы и создавать новые методы формирования знаний.

Академик Андрей Николаевич Колмогоров (25.04.1903 – 20.10.1987) всю историю развития математики разделил на три основных этапа:

- Первый этап – самый продолжительный. Он охватывает тысячелетия. От начала человеческого общества до XVII века. В этот период формировались и разрабатывались понятия действительного числа, величины, геометрической фигуры. Позже были освоены действия с натуральными числами, дробями. Разработаны возможности и способы измерения длины, угла, площади, объема.

- Второй этап – намного короче. Он охватывает XVII – начало XIX века. В это время зарождаются новые математические теории, которые принадлежат к области высшей математики. Появляется возможность с помощью математических методов изучать движение, процессы изменения величин и геометрических фигур. Огромное значение имело введение системы координат, измерение величин и понятие «функция».

- Третий этап – с XIX века и до наших дней. Он характеризуется интенсивным развитием классической высшей математики. Она переросла предыдущие рамки, ограничивавшие ее изучением чисел, величин, процессов изменения геометрических фигур и их превращений, и стала наукой о более общих количественных отношениях, для которых числа и величины являются лишь отдельными случаями.

Итак, математика, возникшая из практических потребностей человека, преобразовалась в комплексную науку, которая обеспечивает дальнейшее развитие современного общества.

Что такое «текстовая математическая задача».

Текстовой задачей называется описание реальной ситуации из жизни, в которой есть числовые характеристики, с помощью которых надо найти неизвестную величину. Любая такая задача состоит из двух частей: условия   и требования (вопроса). Для решения задачи требуются не только определенные знания, но и умение строить рассуждения по тексту задачи; представлять, что в ней происходит; устанавливать зависимости и связи между данными величинами.

Поиск подходящей текстовой задачи.

Текстовые задачи являются традиционным разделом на экзамене по математике. Как правило, основная трудность при решении такой задачи состоит в правильном прочтении текста, переводе условий задачи на математический язык. Общего способа такого перевода нет. Однако, многие экзаменационные задачи достаточно типичны.

Для своего исследования я выбрала несколько задач из учебников математики за 5 – 8 классы.

Способы решения текстовых задач.

Для решения текстовых задач используют следующие способы:

- арифметический;

- алгебраический;

- графический;

- логический;

- практический.

В принципе, все эти способы решения имеют равные права на применение их при решении задач. Однако не следует забывать, что не все задачи можно корректно решить этими способами. Поэтому арифметический и алгебраический способы наиболее универсальны.

Я систематизировала эти способы и занесла их в таблицу. А также показала методы их применения.

Практическая часть

Сейчас на уроках алгебры мы изучаем новую тему – квадратные уравнения. С получением новых знаний расширяется и круг текстовых задач, которые мы сможем решить с помощью уравнений. Для последующего проведения мастер класса я подобрала несколько задач, в том числе и на новую тему. Нашла несколько способов решения каждой задачи. Только потом предложила эти задачи другим ученикам.

Мастер класс с учениками.

На дополнительном занятии по математике был проведен мастер – класс для учащихся восьмых классов. В нем приняли участие 20 человек. Было предложено несколько задач из учебников математики за 5 – 8 классы.

В процессе мы повторили такие понятия:

- какие задачи называются текстовыми, арифметическими или сюжетными,

- вычислительными;

- что такое условие и требование задачи;

- способы решения текстовых задач.

Рассмотрели предложенные текстовые задачи, подобрали для них различные способы решения, сравнили эти способы. Описали наиболее часто встречающиеся традиционные и редко встречающиеся нетрадиционные способы решения.

По результатам мастер класса мне удалось установить, что:

- арифметический способ подходит для решения простых задач за 1 –5 классы, а уже для решения задач с 6 класса больше используют универсальный алгебраический способ;

-  графический способ очень хорош при решении задач на прямолинейное движение;

- схематический способ значительно упрощает решение задач на смешивание растворов и получение сплавов;

- логический способ применяется всегда, при решении любых задач;

- практический способ применяется при обучении в начальной школе.

Так же мастер – класс показал, что ребята решают такие задачи одним или двумя удобными для них способами. Я думаю, что представленные мною материалы заинтересовали ребят, расширили их взгляды на текстовые задачи и способы их решения.

Заключительная часть

Выводы.

Моя исследовательская работа завершена. Подводя итоги, могу сказать, что все поставленные задачи выполнены, цель достигнута.

В процессе выполнения работы я расширила свое представление о способах решения текстовых задач, освоила и сравнила эти способы, показала их практическое применение. Таким образом, была подтверждена моя гипотеза, что даже простую текстовую задачу можно решить не одним или двумя способами, а несколькими.

Владея этими способами, я научилась быстрее и рациональнее решать задачи, и теперь буду увереннее себя чувствовать на уроках математики. А также надеюсь, что моя работа принесет пользу моим сверстникам и одноклассникам.

Список литературы

- metior.ru

- infourok.ru

- ООО «Школьная пресса», «Математика для школьников 4» 2011г.

- Виленкин Н.Я. Математика: учебник для 5 класса общеобразовательных учреждений//, Н.Я. Виленкин, В.И. Жохов, А.С. Чесноков, С.И. Шварцбурд. – М.: Мнемозина, 2004 – 2010.

- Виленкин Н.Я. Математика: учебник для 6 класса общеобразовательных учреждений//, Н.Я. Виленкин, В.И. Жохов, А.С. Чесноков, С.И. Шварцбурд. – М.: Мнемозина, 2004 – 2010.

- Алимов Ш.А. Алгебра: учебник для 7 класса общеобразовательных учреждений//, Ш.А. Алимов, Ю.М. Колягин, Ю.В. Сидоров и др. – М.: Просвещение, 2004 – 2011.

- Шевкин А.В. Материалы курса «Текстовые задачи в школьном курсе математики».

- Алгебра. 8 класс: учебник для общеобразовательных организаций/А45 (Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков и др.); под ред. С.А. Теляковского. – 7-е изд. – М.: Просвещение, 2018.

Приложение

Таблица способов и методов решения текстовых математических задач.

Выбранные задачи и способы их решения.

Задача 1.

«Коля и Миша, работая вместе, собирают стиральную машинку за 6 часов. Коля, работая самостоятельно, может собрать машинку за 15 часов. Сколько часов на эту же работу потребуется Мише?».

Решение 1 (арифметический способ)

 Для решения задачи введем некоторые понятия:

Об.в.р. – объем выполненной работы.

Пр.тр. – производительность труда.

Вр.р. – время работы.

Об.в.р. = Пр.тр. * Вр.р.

Пр.тр. = Об.в.р. : Вр.р.

Вр.р. = Об.в.р. : Пр.тр.

В нашем случае объем выполненной работы – это стиральная машинка. Принимаем его за 1. Для упрощения решения этой задачи оформим условие в виде таблицы.

1. 1/6 – 1/15 = (5 – 2)/30 = 3/30 = 1/10 – производительность труда Миши.
2. 1 : 1/10 = 10 (ч.) – время работы Миши.

Ответ: 10 часов.

Решение 2 (арифметический + логический способ)

Так как Коля собирает машинку за 15 часов, то за 6 часов совместной работы он делает: 6/15 = 2/5 всей работы. Значит, остальные 3/5 делает Миша. Поэтому, самостоятельно Миша собирает машинку за:

6 :3/5 = (6*5): 3 = 30 : 3 = 10 часов

Ответ: 10 часов.

Решение 3 (практический способ)

Скорость процесса можно находить за любой промежуток времени. Я возьму 30 часов.

Так как, совместно Коля и Миша делают машинку за 6 часов, то получается, что за 30 часов они сделают 5 машинок.

За 30 часов Коля делает 2 машинки, значит, оставшиеся 3 машинки делает Миша.

30 :3 = 10 часов понадобится Мише на сборку 1 машинки.

Ответ: 10 часов.

Решение 4 (алгебраический способ)

Всю работу принимаем за 1.

Пусть x – время работы Миши.

Из приведенной таблицы возьмем следующие данные:

1/15 – производительность труда Коли.

1/х – производительность труда Миши.

1/6 – совместная производительность труда.

Составляем уравнение:

1/15 + 1/х = 1/6

1/х = 1/6 – 1/15

1/х = 1/10

х = 1 :1/10

х = 10 часов.

Ответ: 10 часов.

Решение 5 (алгебраический способ)

Попробуем решить эту задачу, как задачу на движение навстречу друг другу (сближение). Для решения введем некоторые понятия.

Объем выполненной работы возьмем за расстояние, и обозначим – S.

Время работы как время в пути – T.

Производительность труда как скорость движения – V.

По условию задачи, Коля собирает машинку за 15 часов, т.е. работает со скоростью:

V коли = S/15

Пусть Миша делает эту работу за А часов, тогда его скорость:

V Миши = S/A

Совместная скорость:

V сов. = S/15 + S/A

Таким образом, время, за которое они выполняют работу, находим по формуле:

S/(S/15 + S/A), а по условию задачи оно равно 6. Составляем уравнение:

S/(S/15 + S/A) = 6. Сокращаем на S, получаем:

1/(1/15 +1А) = 6

1/15 +1/А = 1/6

1/А = 1/6 – 1/15 = 1/10

А = 1 : 1/10 = 10 часов.

Ответ: 10 часов.

Решив задачу пятью разными способами, и получив одинаковый ответ, я с полной уверенностью могу сказать, что задача решена верно.

Задача 2.

 «Который теперь час?» – спросил Андрей у отца. «А вот сосчитай: до конца суток осталось втрое меньше того времени, которое прошло от их начала». Который час был тогда?

Решение 1 (арифметический способ)

Поскольку, оставшаяся часть втрое меньше прошедшей, то время, составляющее сутки, можно разделить на:

1+3=4 части.

24 : 4= 6 часов составляет 1  часть.

24-6=18 часов было тогда.

Решение 2 (алгебраический способ)

Пусть х – время с начала суток.

Тогда (24 – х) – время, оставшееся до конца суток.

Поскольку, оставшаяся часть втрое меньше прошедшей, получим уравнение:

х = 3*(24 – х)

х = 72 – 3х

х+3х = 72

х = 72 : 4

х = 18 часов.

Ответ: 18 часов.

 Решение 3 (геометрический способ)

 Пусть отрезок ВА изображает оставшееся в сутках количество часов

На прямой, а от точки В отложим отрезок СВ = 3 ВА, изображающий прошедшее в сутках количество часов. Тогда отрезок СА изображает количество часов в сутках (24 часа), следовательно, отрезок ВА изображает 24 : 4 = 6 часов, значит, отрезок СВ представляет 18 часов. .

Ответ: 18 часов.

 Решение 4 (метод перебора всевозможных случаев)

 Представим число 24 в виде суммы двух натуральных чисел, кратных 3. Получим следующие представления: 3 + 21; 6 + 18; 9 + 15; 12 + 12. Условию задачи удовлетворяет только пара чисел 6 и 18, следовательно, прошло 18 часов.

Ответ: 18 часов.

Решение 5 (практический способ)

 Пусть отрезок АВ изображает количество часов в сутках. Разобьем его т C на две равные части, тогда AC = CB = 12 часам.

Разобьем отрезок CB т D на две равные части, тогда CD = DB = 6 часам, а отрезок AD= 18 часам. Так как, оставшаяся часть суток втрое меньше прошедшей части, то отрезок AD как раз и будет изображать прошедшую часть суток. Иными словами, с начала суток прошло 18 часов.

Ответ: 18 часов.

Задача 3.

«В кинотеатре число мест в ряду на 8 больше числа рядов. Сколько рядов в кинотеатре, если всего в нем имеется 884 места?»

Решение 1 (алгебраический способ)

Пусть x – число рядов в зале.

(8 + x) – число мест в ряду.

(8 + x)*x – общее количество мест в зале, а по условию оно равно 884.

Составляем уравнение.

(8 + x)*x = 884

х2 + 8x – 884 = 0

a = 1; b = 8; c = - 884

b – четное, b = 2*4, k = 4

D = k2 – ac

D = 42 – 1*(-884) = 16 + 884 = 900

x =

x1 = - 4 + 30 = 26

x2 = - 4 – 30 = -34 – не удовлетворяет условию задачи.

Ответ: 26 рядов.

Решение 2 (способ подбора)

Решение 3 (графический способ) 

Ответ: 26