О бедном отрезке замолвите слово…

МАОУ «Средняя общеобразовательная школа №1»

Школьная  научно-практическая конференция «Шаг в будущее»

Секция «Математика»

О бедном отрезке замолвите слово…

     Автор: Наквасина Анастасия,

ученица 7а класса МАОУ СОШ №1

Руководитель: Шитина М.В,

                                                                                            учитель математики МАОУ СОШ №1

Улан-Удэ

2018

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ…………………………………………………………………………..……………… 3

ГЛАВА 1. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ  АНАЛИЗ ПРОБЛЕМЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ЗАВИСИМОСТИ

1.1. Понятие числовой последовательности……………………………………………..….. 4

1.2.Способы задания последовательности …………………………….………………….… 5

ГЛАВА 2. ОРГАНИЗАЦИОННО-МЕТОДИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ИССЛЕДОВАНИЯ

2.1. Организация  исследования ……………………………………………………………… . 5

2.2. Методы исследования ……………………………………………………………………… 6

ГЛАВА 3. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ

3.1. Результаты первого этапа исследования……………………………………………….… .6

3.2. Результаты второго этапа исследования……………………………………………….…. 7

3.3. Результаты третьего этапа исследования…………………………………….……….…… 7

3.4. Результаты третьего этапа исследования…………………………………………….….… 7

3.5. Результаты третьего этапа исследования……………………………………………..…… 8

ЗАКЛЮЧЕНИЕ………………………………………………………………………………………..9

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ……………………………………………………………………….……..9

ПРИЛОЖЕНИЕ…………………………………………………………………………………….

        ВВЕДЕНИЕ

Геометрия является очень мощным средством развития личности в самом широком диапазоне. Среди дисциплин математического цикла она выделяется своим вольнодумством, неким особым свободолюбивым характером, нежелающим подчиняться стандартам, нормам, алгоритмам.Геометрия, впрочем, как и алгебра, является носителем собственного познания мира. Овладение этим методом – важнейшая цель образования. Процесс изучения геометрии должен включать самые разнообразные виды деятельности. В том числе и даже в первую очередь – решение задач. Задача – это не только умения, это и элемент знания. Ученик должен ознакомиться с определенным набором достаточно трудных геометрических задач, научиться решать задачи, следуя известным образцам. В геометрии в отличие от алгебры алгоритмов очень мало, почти нет. Поэтому при обучении возрастает значение опорных задач, обобщающих полезный факт, либо иллюстрирующий метод или приём.

Актуальность моей исследовательской работы заключается в том, что при исследовании мотивирующая (исходная) задача должна обеспечить «видение» учащимися более общей проблемы, нежели та, которая отражена в условии задачи.

Объект исследования: геометрическая задача по теме «Прямая и отрезок».

Предметом изучения является числовой ряд, смоделированный для решения задачи «О количестве отрезков на прямой».

Цель нашего исследования – определитьзависимость количества отрезков на прямой от числа точек, отмеченных на ней.

В соответствии с целью в нашей работе решались следующие задачи:

- проанализировать учебную и специальную математическую литературу;

- выполнить пробы, для получения математическоймодели(Xn) реальной ситуации;

- установить зависимость между  членами последовательности;

- провести доказательство истинности формулы общего члена.

Гипотеза исследования:

- существует правило, по которому любому количеству точекn, отмеченных на прямой, можно привести в соответствие некоторое число отрезков Xn,полученныхна прямой.

Методы исследования. В качестве методов исследования нами использовались

- метод теоретического анализа специальной математической литературы;

- метод экспериментально-теоретического уровня:  проба(испытание)        

- методы математической статистики: математическое выявление связей и зависимостей, анализ данных.

Научная новизна исследования заключается:

в выявлении метода решения задачи по геометрии с помощью описания реальной ситуации на математическом языке в виде математической модели.

Практическая значимость исследования состоит в том, что по мере обретения опыта работы с задачей у школьников сформируется особый подход к решению нестандартных задач: они начинают искать решение, применяя процедуру исследования.

ГЛАВА 1. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ  АНАЛИЗПРОБЛЕМЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ЗАВИСИМОСТИ

1. Понятие числовой последовательности

Теоретический анализ исследований по проблеме установления  зависимости показал, что одним из основных понятий функции натурального аргумента является  натуральный ряд чисел1,2,3,…,n,…

Если каждому числу n из натурального ряда чисел поставлено в соответствие вещественное число  Xn, то множество вещественных чисел X1,X2,X3,…,Xn, … называется числовой последовательностью или просто последовательностью.

Числа X1,X2,X3,…,Xn,…  называются элементами (или членами) последовательности. Символ Xn - общий элемент (член) последовательности, а n- его номер. Сокращенно последовательность обозначается символом чисел  (Xn) 

.Пример 1.

(N2 ) означает последовательность 1,4,9,16,25,…,N2,…

Пример2.

Зная несколько первых элементов последовательности1,9,25,49,81,… , можно написать формулу общего элемента.

Видно, что каждый элемент последовательности представляет собой квадрат нечетного числа: 12 , 32 , 52 , 72 , 92, …

Последовательность нечетных чисел есть 2n-1.

Следовательно, формула общего элемента искомой последовательности может быть представлена в виде: Xn=(2n-1)2

Заметим, что знание нескольких первых элементов последовательности еще не определяет саму последовательность. Поэтому задачу отыскания формулы общего элемента последовательности по ее первым элементам необходимо рассматривать как задачу отыскания простой закономерности.

Кроме того, вид формулы для Xn, определяемый по первым элементам последовательности, не является единственным.

1.2.Способы задания последовательности

Последовательность может быть задана как с помощью:

- формулы общего элемента ;

- в виде таблицы;

- графическим способом;

- с помощью рекуррентных соотношений(когда задаются первый элемент (несколько первых элементов) последовательности и формула, определяющая следующий элемент через предыдущий (несколько предыдущих).

Учитывая всё вышесказанное, нужно заметить, что в математике все явления и зависимости описываются с помощью функций. Функция – одно из основных математических и общенаучных понятий, выражающее зависимость между переменными величинами. “Величины, зависящие от других так, что с изменениями вторых изменяются и первые, принято называть их функциями” (Л. Эйлер).

Итак, признаваячто функции служат «математическими портретами» законов природы и жизненных ситуаций, нужно отметить, что какими бы ни были пути их определения, приводящие к способу их задания, важнее то, как их можно использовать для обогащения опыта решения задач по геометрии.

Исходя из цели данной работы и необходимости дальнейшего изучения функции натурального аргумента,  мы провели экспериментальное исследование одного из наиболее значимых его аспектов – нахождении формулы n-го члена.

ГЛАВА 2. ОРГАНИЗАЦИОННО-МЕТОДИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ИССЛЕДОВАНИЯ

2.1. Организация исследования

        Какой исследователь не задает себе вопросы, похожие на те, которые возникают в голове? И какой школьник не превращается в исследователя, обдумывая новый математический факт, или решая ту или иную задачу?

         Данное исследование появилось не в результате строгих логических рассуждений, а именно при попытке ответить на простой вопрос: « А что, если …?». Умение задавать себе вопрос, привели меня к поиску  ответа на вопрос. При  изучении  темы «Прямая и отрезок»  мы решали такую задачу: Проведите прямую и отметьте на ней  три  точки. Сколько отрезков получилось на прямой?

        После рассмотрения этой задачи у меня возникла такая мысль, а сколько же  отрезков может быть на прямой, если число точек на прямой более трёх. Для решения данной проблемы посредством проведения всевозможных проб,попыток решения частных проблем, варьирования числовыми даннымиу меня появилась математическая модель – числовая последовательность.

Экспериментальное исследование включало в себя пять этапов:

1 этап –проведение проб при n=1,2,3,4,5 (n-количество точек);

2 этап – систематизация и анализ полученного материала;

3 этап – выдвижение гипотез в ходе выявления особенностей систематизированного фактического материала;

4 этап – проверка гипотез посредством ещё одного испытания (новой пробы);

5 этап – доказательство истинности гипотезы.

2.2. Методы исследования

Выбор методов и конкретных методик исследования для получения необходимой информации осуществлялся в соответствии с целями и задачами настоящей работы.Для исследования полученной математической модели мы применяли метод теоретического анализа специальной литературы, метод экспериментально-теоретического уровняи  методы математической статистики – количественный и качественный анализ данных.

С помощью метода экспериментально-теоретического уровня (проба) осуществлялось основное исследование.

5 этап – доказательство истинности гипотезы

ГЛАВА 3. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ

3.1. Результаты первого этапа исследования

Проведение проб при n=1,2,3,4,5  (n-количество точек, отмеченных на прямой)

1)                                                                                          [0]

2)                                                                                          [1]

3)                                                                                          [3]

4)                                                                                          [6]

5)                                                                                          [10]

3.2. Результаты второго этапа исследования

Систематизация (таблица результатов) и анализ полученного материала

3.3. Результаты третьего этапа исследования

Выдвижение гипотез в ходе выявления особенностей систематизированного фактического материала:

1. Каждое следующее число Xn равняется предыдущему Xn - 1,сложеннному с числом точек, соответствующих ему:1=0+1;   3=1+2;   6=3+3;   10=6+4.

Значит,  Xn=Xn- 1+ (n-1).

2. Каждое следующее число хn равняется половине произведения соответствующего ему числа n и предыдущего числа  n-1 точек:

Значит, .

3. Каждое следующее число хn равняется сумме всех натуральных чисел, предшествующих числу n:

1=1; 3=1+2;   6=1+2+3;   10=1+2+3+4.

Значит, Xn=1+2+3+…+(n-1).        

3.4. Результаты четвёртого этапа исследования

Проверка гипотез посредством ещё одного испытания (новой пробы)

Пусть n =6.

Тогда:а)фактическое число отрезков X6  =15;

                 1           2         3          4      5

        б) число отрезков согласно гипотезе:

I) X6 =10 +(6-1)=10+5=15;

II)  X6= (5·6):2 =15;

III)  X6=1+2+3+4+5=15.

Заключение по проверке:

 гипотеза 1 получила подтверждение;

 гипотеза 2 получила подтверждение;

 гипотеза 3 получила подтверждение.

3.5. Результаты пятого этапа исследования

Доказательство  (опровержение)  гипотез

1. Гипотеза 1 равносильна гипотезе 3.

 Действительно,

xn =хn -1 + (n-1) = хn -2 + (n-2) + (n-1) = хn -3 + (n-3) + (n-2) + (n-1)=…= хn – ( n -1) + (n-(n-1))+… +(n-3)+(n-2)+(n-1)= х1 +1+…+ (n-3) + (n-2) + (n-1) = 1+2+3 +… + (n-1).

2)Гипотеза 2 равносильна гипотезе 3.

Действительно,

1+2+3+…+(n-1)=

3)Докажемгипотезу 3.

A1A2A3AiAn-1Аn

Пусть на прямой отмечено n точек:А1,А2,А3,…,Аn -1, Аn .

Тогда число всех отрезков, левый конец которых находится в 1-й точке, равно  (n-1) , во 2-ой точке -  (n-2) , в 3-й-

 ( n-3) и т.д.,в (n-1)-й точке - 1.

Значит,число всех отрезков,образующихся на прямой при выделении на ней n точек,будет равняться сумме последовательных натуральных чисел от 1 до (n-1),т.е. xn=1+2+3+…+(n-1),

что и требовалось доказать.

Поскольку гипотезы 1-3 равносильны,то все их можно считать доказанными

С точки зрения исследуемой проблемы, наше внимание привлекли «изолированные» и  «оттесненные» учащиеся. Именно они могут испытывать состояние одиночества, так как в классе не находят полноценного общения со сверстниками.  

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В  результате проведенного исследования  по определению зависимости  количества отрезков на прямой от числа точек, отмеченных на неймы получилиформулу n-го члена для смоделированной математической модели.

Мы пришли к выводу, что данную зависимость можно рассматривать как функцию натурального аргумента.

Таким образом, гипотеза нашего исследования нашла подтверждение. Цель исследования – достигнута.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Бевз Г.П.Справочник по элементарной математике. — Киев: Наукова думка, 1993.
2. Баранова Е.В. Как увлечь школьников исследовательской деятельностью.- Арзамас,2004.
3. Арцев М. Н. Учебно-исследовательская работа учащихся (методические рекомендации для учащихся и педагогов) // Журнал «Завуч». – 2005. – № 6. – С.4 – 29

3. Харламенкова Н.Е. Методы исследования для школьников. // журнал КВАНТ 1999. - № 2

4. http://.1september.ru