Исследовательская работа по теме "Аликвотные дроби" 5 класс
Вложение | Размер |
---|---|
alikvotnye_drobi_-yunior.docx | 86.09 КБ |
alikvotnye_drobi.pptx | 687.9 КБ |
Городское научное соревнование «Юниор»
Секция «Точные и технические науки»
Математика
Аликвотные дроби
Автор работы: Животова Алина Денисовна,
МБОУ «Гимназия№41»
5Б класс
Руководитель: Ломонова Ольга Александровна,
учитель математики,
МБОУ «Гимназия№41»
Кемерово 2019 год
Содержание:
Введение……………………………………………………………….……4
1.1 Аликвотные дроби в Древнем Египте………………………………..4
1.2. Значение аликвотных дробей в истории………...……………..……5
Заключение …………………………………………………..………….…10
Список литературы………………………………………….………….….11
Введение
Тема «Аликвотные дроби» является интересной темой для исследования дробей. Столкнувшись с этим термином впервые, понимаешь, почему в Древнем Египте математики «настоящими» дробями считали только аликвотные дроби.
Цель исследования:
Задачи исследования:
Аликвота - (лат. aliquoties, «несколько раз; несколько частей»)
Аликвотная дробь- дробь, числитель которой равен единице.
Аликвотные дроби начали использоваться ещё в древности. Необходимость в дробных числах возникла в результате практической деятельности человека. Потребность в нахождении долей единицы появилась у наших предков при дележе добычи после охоты. Второй существенной причиной появления дробных чисел следует считать измерение величин при помощи выбранной единицы измерения.
Первые дроби, с которыми нас знакомит история, это дроби вида – – так называемые единичные дроби, так как числитель этих дробей единица. Причиной появления этих дробей являлась необходимость разбить единицу на доли. Это нужно было для того:
1. чтобы разделить добычу после охоты, ведь, нужно было знать, сколько частей составляет целое и кому какая часть добычи станет принадлежать.
2. выразить результат измерения длины, времени, площади, массы и вести расчеты за товары
1.1 Аликвотные дроби в Древнем Египте
Аликвотные дроби появились раньше других дробей. В Древнем Египте математики “ настоящими “ считали только аликвотные дроби.
Это дроби вида:
Итак, дроби вида , где числитель 1, а n – натуральное число, (т.е. число, которое используется для счёта предметов), называются аликвотными дробями (от латинского aliguot- " несколько'') или единичными.
В Древнем Египте «настоящими», математики, считали только аликвотные дроби. Поэтому каждую дробь стремились представить в виде суммы меньших аликвотных дробей, причём с разными знаменателями.
Например: =,
=+,
=+.
Так, глаз «Хора» - единица для измерения ёмкостей и объемов,
представляла собой дробь , так как согласно мифам глаз Хора был выбит, а затем восстановлен на . Каждая часть глаза соответствовала определённой дроби и была представлена в виде суммы аликвотных дробей таким образом: + + + + + = .
Аликвотные дроби встречаются в древнейших, дошедших до нас математических текстах, составленных более 5000 лет тому назад, – древнеегипетских папирусах и вавилонских клинописных табличках. Они нужны были для практических целей.
Рассмотрим такую задачу: «Разделить 7 хлебов между 8 людьми» Если разрезать каждый хлеб на 8 частей, придется провести 49 разрезов (7 хлебов по 7 надрезов в каждом хлебе). А по-египетски эта задача решалась так: = + + . Значит, каждому человеку нужно дать полхлеба, четверть хлеба и восьмушку хлеба. Придется сделать почти в три раза меньше разрезов.
Первое понятие дроби появилось в Древнем Египте много веков назад. В русском языке это слово появилось лишь в 8 веке от слов «дробить, разбивать, ломать на части», поэтому в первых учебниках дроби называли «ломанными числами». Современное обозначение дробей берет свое начало в Древней Индии, а дробная черта появилась в записи дробей лишь 300 лет назад, до этого ставили точку между числителем и знаменателем. Сами названия «числитель» и « знаменатель» ввел в употребление греческий ученый- математик Максим Плануд.
Долгое время дроби считались самым трудным разделом математики. У немцев даже сложилась поговорка «Попасть в дроби», что означало оказаться в трудном положении.
Аликвотные дроби можно складывать и вычитать.
Разложить в виде суммы двух аликвотных дробей можно по формуле: + .
Например: ;
;
.
Разложить в виде разности двух аликвотных дробей можно по формуле: - знаменателями которых являются последовательные числа равные их произведению.
Например: = = - ;
Приложение.
Задачи из журнала «Квант». Решение задач.
А) трёх слагаемых:
1 = .
Б) четырёх слагаемых:
1 = =
.
В) пяти слагаемых:
1 = = + + .
Г) шести слагаемых:
1 = = + + = +
Существует 2 способа представления дроби в виде суммы и один - в виде разности аликвотных дробей. Это, опять-таки, из-за простоты числа 2011.
3. Верно ли равенство?
Равенство верно.
4.
Равенство верно.
5.
Равенство верно.
6. Решить пример.
Олимпиадные задания
Найти сумму
1/(10*11)+1/(11*12)+…+1/(98*99)+1/(99*100)=?
Чтобы найти решение данной задачи необходимо найти сумму
1/(1*2)+1/(2*3)+…+1/(98*99)+1/(99*100)=99/100
И вычесть из нее сумму
1/(1*2)+1/(2*3)+…+1/(8*9)+1/(9*10)=9/10
99/100-9/10=(99-90)/100=9/100=0.09
Найти сумму
½+1/6+1/12+1/20+1/30+1/42+1/56+1/72+1/90=
1/(1*2)+1/(2*3)+1/(3*4)+1/(5*6)+1/(6*7)+1/(7*8)+1/(8*9)+1/(9*10) =9/10
3.Заключение.
Таким образом, при разработке данной темы, я узнала, что первыми дробями, которыми оперировали люди, были аликвотные дроби.
Задачи с использованием аликвотных дробей составляют обширный класс нестандартных задач. Аликвотные дроби используются тогда, когда требуется что-то разделить на несколько частей с наименьшим количеством действий для этого.
Разложение дробей на две аликвотные дроби систематизировали в виде формулы, преобразовав которую, легко решили олимпиадные задачи по математике разных лет.
Решив проблему разложения аликвотных дробей на две аликвотные дроби, мы пришли к выводу, что разложение на три, четыре, пять и т.д. аликвотных дробей можно произвести, разложив одно из слагаемых на две дроби, следующее слагаемое еще на две аликвотные дроби и т.д.
Таким образом, аликвотные дроби (с числителем 1) долгое время были единственными дробями, с которыми как-то умел оперировать человек, а правила действий с произвольными дробями разработаны «сравнительно недавно».
Используемая литература:
Слайд 1
Школьная конференция «Шаг в будущее» Тема: Аликвотные дроби Автор : Животова Алина МБОУ «Гимназия№41» , 5«Б» класс Руководитель: Ломонова Ольга Александровна г.Кемерово,2019Слайд 2
Происхождение аликвотных дробей это первые дроби, с которыми нас знакомит история, называются единичными или аликвотными ( в переводе с латинского aliguot - «несколько ») Причиной появления этих дробей являлась необходимость разбить единицу на доли . Это нужно было для того: 1 . чтобы разделить еду или добычу после охоты , ведь нужно было знать, сколько частей составляет целое и кому какая часть добычи станет принадлежать. 2 . позже, чтобы выразить результат измерения длины, времени, площади , массы и вести расчеты за товары
Слайд 3
Дроби были известны еще в Древнем Египте примерно 3000 лет назад. Для обозначения единичной дроби египтяне над обычным числом ставили специальный иероглиф « » - обозначающий «рот» Поэтому в Древнем Египте дроби выглядели вот так: 1 2
Слайд 4
Дроби в Древнем Египте Часть папируса Ахмеса Задача «о хлебах » Разделить 7 хлебов между 8 людьми . РЕШЕНИЕ:
Слайд 5
Ещё в древнем Египте у людей возникла потребность записывать дроби как суммы долей. Поэтому каждую дробь стремились представить в виде суммы меньших аликвотных дробей, причем с разными знаменателями: Например: 8/15 записывали как 1/3 + 1 /5 1/2 = 1/3 + 1/6 1/4 = 1/5 + 1/20 Все правила счёта древних египтян основывались на умении складывать и вычитать, удваивать числа и дополнять дроби до единицы . Для дробей были специальные обозначения . Дроби вида 1/ n , где числитель - 1 , а n – натуральное число , которое в Древнем Египте считали «настоящим».
Слайд 6
глаз «Хора» - единица для измерения ёмкостей и объемов , представляет собой дробь 63/64, так согласно мифам : глаз Хора был выбит, а затем восстановлен на 63/64 и каждая часть глаза соответствовала определенной дроби. Это можно представить в виде суммы аликвотных дробей: 63/64 = 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + 1/64
Слайд 7
В оба слагаемых могут входить одинаковые доли, и тогда при сложении появится дробь вида 2/ n . А таких дробей египтяне не допускали. Поэтому папирус Ахмеса начинается с таблицы, в которой все дроби такого вида от 2/5 до 2/99 записанную в виде сумм долей, т.е. в виде суммы двух, трёх или четырёх аликвот . Эти таблицы египтяне заучивали наизусть, как мы сейчас таблицу умножения. И надо сказать, что действия с дробями составляли особенность египетской арифметики , в которой самые простые вычисления порой превращались в сложные задачи
Слайд 8
Дроби вида 2 /n и 2 /(2n + 1) можно записать по формулам : 2/42 = 1/42 + 1/86 + 1/129 + 1/301 А вот число 2/43 оказалось более сложно разложить на сумму 4 аликвотных дробей 2/n = 1/n + 1/n, 2 /(2n + 1) = 1/(2n +1) + 1 / (2n + 1), и ли 2/(2n + 1) = 1/(n +1) + 1 (2n + 1)(n +1).
Слайд 9
Действия с а ликвотами Аликвоты можно складывать. Аликвоты можно вычитать. Аликвоты можно умножать. Аликвоты можно делить.
Слайд 10
Сложение и вычитание дробей Разложить в виде суммы двух аликвотных дробей можно по формуле : 1/n = 1/(n +1) + 1/n(n + 1 )
Слайд 11
Сложение и вычитание дробей Разложить в виде разности двух аликвотных дробей можно по формуле: 1/n(n +1) = 1/n - 1/(n + 1)
Слайд 12
Занимательные дроби Когда бы люди ни использовали деньги, они обязательно встречаются с дробями: в средневековье, 1 английский пенс = 1/12 шиллинга; в настоящее время , российская копейка =1/100 рубля. Мерные системы тоже несут в себе дроби : 1сантиметр = 1/10 дециметра = 1/100 метра. В любые времена в моде присутствовали дроби. Всегда актуален фасон рукава ¾, а укороченные брюки 7/8 - это прекрасная деталь гардероба. С дробями можно встретиться на разных уроках. Например, в географии: «Во времена существования СССР, Россия занимала одну шестую часть суши. Теперь Россия занимает одну девятую часть суши». В изобразительном искусстве – при изображении фигуры человека. В музыке – ритм, размер музыкального произведения. Человек встречается со словом «дробь» в жизни постоянно!
Слайд 13
1/100- процент 1/1000-промилли 1/288-скрупулус 1/24-семиунция 1/8-сескунция Такие дроби имели разные названия , но все вместе назывались аликвотами . 1 / 2 - половина, полтина 1 / 3 – треть 1 / 4 – четь 1 / 6 – полтреть 1 / 8 - полчеть 1 / 12 – полполтреть 1 / 16 - полполчеть 1 / 24 – полполполтреть (малая треть) 1 / 32 – полполполчеть (малая четь ) 1 / 5 – пятина Вот еще насколько интересных названий дробей
Слайд 14
«Попасть в дроби» В древности , как и в средние века, учение о дробях считалось самым трудным разделом арифметики. Римский оратор Цицерон говорил, что без знаний дробей никто не может признаваться знающим арифметику. А у немцев сохранилась поговорка: «ПОПАСТЬ В ДРОБИ», что означает оказаться в трудном положении. Дремучий пес дробей 7/13 9/7 9/35 1/91 17/34 89/60
Слайд 15
Заключение Учение о дробях считалось самым трудным разделом математики во все времена и у всех народов. Кто знал дроби, тот был в почете. Таким образом, при разработке данной темы, я узнала много нового и интересного, познакомилась с историей развития дробей. 1. Первыми дробями, которыми оперировали люди, были аликвотные дроби. 2. Задачи с использованием аликвотных дробей составляют обширный класс нестандартных задач. Аликвотные дроби используются тогда, когда требуется что-то разделить на несколько частей с наименьшим количеством действий для этого. 3. Таким образом, аликвотные дроби (с числителем 1) долгое время были единственными дробями, с которыми как-то умел оперировать человек.
Астрономы получили первое изображение черной дыры
Фильм "Золушка"
Северное сияние
Астрономический календарь. Март, 2019
Прекрасная химия