Приближенное решение алгебраических уравнений

Слайд 1

ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ Школьная научно-практическая конференция Ученица 11 класса Косаренко Анна Учитель Абкадырова Р.А.

Слайд 2

Уравнение вида a 0 x + a 1 x +...+a n x = 0 – алгебраическое уравнение Решим уравнение f(x)=0 , (1) где f(x) -некоторый многочлен.

Слайд 3

Если f(x) -линейная или квадратичная функции, то известны формулы, выражающие корни уравнения(1) через коэффициенты многочлена. Если f(x) -кубический трехчлен или многочлен четвертой степени, то существуют аналогичные, но громоздкие формулы Кардано и Феррари для решения уравнения (1). Если f(x) -многочлен выше четвертой степени, то не существует формул, выражающих корни уравнения (1) через коэффициенты многочлена f(x) . Один из способов решения уравнения (1), когда функция f(x) -многочлен выше второй степени – графический : корнями уравнения(1) будут абсциссы точек пересечения графика функции с осью О x .

Слайд 4

Пусть график функции y=f(x) пересекает ось Ох в точке х 0. Тогда х 0 – корень уравнения (1). Для х 0 можно указать отрезок [ х 1 ; х 2 ] оси Ох, где х 1 и х 2 соседние для х 0 целые числа, которые будет приближенными значениями корня с точностью до целых (один по недостатку, а другой по избытку). Найдя целые значения корня х 0 , на отрезке [ х 1 ;х 2 ] можно найти подбором значения корня с любой заданной степенью точности.

Слайд 5

ТЕОРЕМА (Больцано-Коши): Пусть функция F (х) определена и непрерывна на отрезке [ a ; b ] и на концах этого отрезка принимает значения разных знаков. Тогда между a и b найдется точка с, в которой функция обращается в нуль: f (с)=0 ( a 0 f (с) =0 f (а )<0

Слайд 6

Найдем приближенные корни уравнения Х 3 -4Х+2=0 с точностью до 0.01. Решение. Построим график функции f(x) =Х 3 -4Х+2 D(f)=R f `(x)= 3x 2 - 4 Критические точки: -2 3 √3 ≈ -1.1; 2 3 √3 ≈ 1.1 Составим таблицу: Х - ∞

Слайд 7

Уравнение имеет 3 действительных корня , принадлежащих трем отрезкам [ -3;-2 ] , [ 0;1 ] и [ 1;2 ] . На первом отрезке имеем х 1 ≈ -3(по избытку), х 2 ≈ -2 (по недостатку). у х 0 2 1 2 -3 -2 х х 3 -4х Х 3 -4х+2 -2,6 -17,58 10,4 -5,18 -2,3 -12,17 9,2 -0,97 -2,2 -10,65 8,8 0,15 -2,29 -12,01 9,16 -0,85 -2,28 -11,85 9,12 -0,73 -2,22 -10,94 8,88 -0,06 -2,21 -10,79 8,84 0,05

Слайд 8

Следовательно, х ≈ -2,22 ( по недостатку) и х≈ -2,21 (по избытку). Если уравнение (1) является уравнением четвертой степени и выше ,то при нахождении критических точек функции у = f(x) получим кубическое 9 или выше степени) уравнение. В таких случаях для построения графика следует представить выражение f(x) в виде f(x)=g(x)-q(x) , g(x) и q (x)- многочлены. Тогда решение уравнения (1) равносильно решению уравнения g(x)=q(x) (1) Решение которого сводится к отысканию абсцисс точек, пересечения графиков функций у = g(x) и у = q(x) . Докажем, что уравнение х 4 +5х 3 +15х-9=0 (2) Имеет два корня: один отрицательный, другой положительный.

Слайд 9

Решение. Запишем уравнение (2)в виде Х 4 +5х 3 =9-15х и построим графики функций у=х 4 +5х 3 и у=9-15х в одной и той же системе координат. График функции у=9-15х-прямая. Для функции у=х 4 +5х 3 имеем: D(y)=R y `(x) = 4x 3 +15x 2 =x 2 (4x+15) ; Критические точки: -3,75; 0 . Составим таблицу: х - ∞

Слайд 10

Строим график функции, найдя несколько дополнительных точек: По графику видно, что уравнение (2) имеет два действительных корня х 0 и х 0 ` : х 0 [ -6;-5 ] и х 0 `[0 ; 1] , т.е. х 0 ≈-6 <0 и х 0 ` ≈ >0 . 10 х2 1 х1 -6 -5 -3,75 0 -66 х у