Определение местоположения центра тяжести твердых тел

                                                              Секция Физика

                        Определение местоположения центра тяжести твердых тел

                                                   Исследовательская работа

                                                 Дыбулина Ксения Сергеевна и Коровин Дмитрий Алексеевич,      

                                                 обучающиеся 9 «А» класса Некрасовской СОШ

                                                 п. Некрасовское Ярославской области

                                                Научный руководитель – Глазкова Светлана Борисовна,

                                                учитель физики МБОУ Некрасовской СОШ

                                                п. Некрасовское Ярославской области

                                                 г. Ярославль, 2019 г.

         Оглавление:      

1. Введение                                                                                                                                   3
2. Теоретическая часть                                                                                                                3

1. Понятие о центре тяжести                                                                                                      3
2. Методы определения центра тяжести                                                                                   3
3. Виды равновесия твердых тел                                                                                                6
4. Условия равновесия                                                                                                                 6

3. Практическая часть                                                                                                                  7

Ι. Экспериментальная проверка условий устойчивого равновесия тела, опирающегося

 на твердую поверхность                                                                                                                  7

5. Исследование зависимости устойчивости тела, опирающегося на твердую  

поверхность от положения центра тяжести.                                                                                   7

6. Исследование зависимости устойчивости тела, опирающегося на твердую

поверхность от высоты предмета                                                                                                     7

7. Исследование зависимости устойчивости тела, опирающегося на твердую

поверхность от величины площади опоры                                                                                     7

ΙΙ. Определение центра тяжести плоской пластины сложной формы используя

разные методы.                                                                                                                                  8

8. Определение центра тяжести методом разбиения и методом отрицательных

площадей                                                                                                                                            8

9. Определение центра тяжести методом подвешивания                                                        9

ΙΙΙ. Определение центра тяжести системы из двух шаров разной массы, соединенных

стержнем                                                                                                                                            9

ΙV. Определение центра тяжести тела правильной формы с полостью и установление устойчивого равновесия проволочного уголка                                                                            10

4. Заключение                                                                                                                             10

5. Список использованных источников и литературы                                                                 11

6. Приложения                                                                                                                                  12

1. Введение

    При создании машин, механизмов и различных конструкций зданий, мостов, телевизионных вышек и т.д. важно знать, при каких условиях они будут устойчивыми, т.е. находиться в равновесии. Равновесие тела неразрывно связано с его центром тяжести. Центр тяжести имеется у каждого тела. Определение центра тяжести тел и выяснение устойчивости их положения имеет большое практическое значение. Понятие центра тяжести в школьном курсе обучения физике даётся в седьмом классе и отводится всего один урок. В десятом классе эту тему изучают всего два часа. Поэтому этих знаний у учащихся недостаточно для изучения темы «Статика» при подготовке к ЕГЭ. Этим мотивируется выбор темы нашего исследования.

Цель: определение центра тяжести тел аналитическим и опытным путями.

Задачи:
1. Изучить научную литературу по теме «Центр тяжести тел» из раздела «Статика».

2. Узнать методы определения центра тяжести тел различной формы.

3. Выяснить условия устойчивости твердых тел.

Методы исследования: теоретические, экспериментальные, практические, анализ.

Объект исследования: центр тяжести.

Предмет исследования: нахождение центра тяжести у твердых тел.

Средства и приборы для измерения: штатив с лапкой и муфтой, линейка, транспортир, нить, иголка, картон, циркуль, бруски деревянные, бруски железные, проволока медная разного поперечного сечения, шарик пластмассовый, шарик металлический, стержень из пластмассы.

                                               2.     Теоретическая часть

2.1 Понятие о центре тяжести Каждое тело можно представить, как систему материальных частиц, взаимодействующих с Землей. Суммарный результат этого взаимодействия—равнодействующая элементарных сил тяжести. Точка приложения этой равнодействующей называется центром тяжести тела. Поскольку элементарные силы тяжести образуют систему параллельных сил, то центр тяжести обладает всеми свойствами центра параллельных сил. Следовательно, при любом положении тела в пространстве положение центра тяжести остается неизменным. Центр тяжести - это геометрическая точка, которая может быть расположена и вне тела (например, диск с отверстием, полый шар и т.п.). (1)   2.2 Методы определения центра тяжести: метод симметрии, метод разбиения, метод отрицательных масс, метод подвешивания. Метод симметрии опирается на положения: 1. Если однородное тело имеет плоскость симметрии, то центр тяжести тела лежит в этой плоскости; 2. Если однородное тело имеет ось симметрии, то центр тяжести тела лежит на этой оси. 3.Если однородное тело имеет две оси симметрии, то центр тяжести тела лежит в точке пересечения диагоналей. 

4. Центр тяжести однородного тела вращения лежит на оси вращения.

Метод разбиения заключается в том, что тело разбивают на наименьшее число частей, силы тяжести и положение центров тяжести которых известны. (3) Составить формулы для определения координат центра тяжести сечения: Пусть сила тяжести равна  приложена в точке С (рис.1) с координатами x, у, z. Приложим теперь к телу в другой точке внешнюю силу F такую, чтобы тело находилось в равновесии (подвесить тело в точке D). На тело действуют только две силы  и , то согласно условию равновесия: +=0. Сила равна по модулю и противоположна по направлению силе .   Разобьем тело на элементы          (материальные точки) и запишем условие равновесия, заменяя равнодействующей совокупность элементарных сил тяжести: =0, где =— сила тяжести, действующая на произвольный малый элемент массой . ===  ( m=— масса тела).Таким образом, равнодействующая направлена вниз и равна сумме всех элементарных сил тяжести.

Выполняется и II условие равновесия для моментов всех сил относительно любой неподвижной оси. (ось ОZ) (рис. 2). Момент М равнодействующей  и момент М' силы  должны в сумме давать при равновесии нуль: М' + М = 0   Момент равнодействующей относительно какой-нибудь неподвижной оси равен сумме моментов всех элементарных сил  тяжести относительно той же оси. Момент силы равен произведению силы на плечо. Для силы плечом является координата  элемента малой массы . Поэтому момент силы  равен: , а общий момент всех сил тяжести равен:           Точка, в которой приложена суммарная сила , имеет    координату х. Тогда суммарная сила создает момент относительно той же оси ОZ, равный , то  Координаты точки приложения равнодействующей всех параллельных сил тяжести:,  где - масса тела. Вторая и третья координаты точки приложения суммарной силы:

  (6).  Преобразуем числитель и знаменатель дроби:

ΣΔmi xi=m1x1 +m2x2 +...= ρV1x1 +ρV2x2 +...=ρS1h x1+ρS2h x2+…; m=m1+m2+…=ρV1+ ρV2+…= =ρS1h+ρS2h +... Числитель и знаменатель сократить на ρh, тогда имеем формулы вида:

Где S 1, S2, S3 – площади профилей, мм2; х1, х2, х3, …у1, у2, у3, мм - координаты их центров тяжести относительно выбранных осей координат.

 Указать положение центра тяжести на рисунке, придерживаясь определенного масштаба, и показать расстояние от центра тяжести до координатных осей.

 Выполнить проверку правильности решения, для чего можно изменить положение координатных осей (или одной оси) и найти координаты центра тяжести относительно новых осей. Положение центра тяжести не зависит от того, как выбрана система координатных осей. (2)

 Метод отрицательных масс или отрицательных площадей, отрицательных объемов. Этот метод заключается в том, что тело, имеющее свободные полости, полагают сплошным, а массу свободных полостей считают отрицательной. Вид формул для определения координат центра тяжести при этом не меняется. Зная величину F1 площади фигуры с контуром А и координаты х1 и у1 её центра тяжести С1, а также площадь F2 части, вырезанной по контуру В, и координаты х2 и у2 её центра тяжести С2, можно вычислить координаты центра тяжести оставшейся части фигуры. При этом площадь оставшейся части должна быть равна разности площадей F1 и F2.

ХС= ( F1х1 -  F2х2) / F1 -  F2           уС = ( F1у1 -  F2 у2) / F1 -  F2

 Метод подвешивания. Плоская фигура подвешивается на иглу сначала в точке А, а потом в точке В. С помощью отвеса, закреплённого на той же игле, на фигуре прочерчивают линию, соответствующую нити отвеса. Центр тяжести т. С будет находиться в точке пересечения вертикальных линий, нанесённых при подвешивании фигуры в точках А и В. (5)

3. Виды равновесия твердых тел: устойчивое, неустойчивое и безразличное.

– Устойчивое равновесие — это равновесие, при котором выведенное из положения равновесия тело вновь к нему возвращается. При таком равновесии, центр тяжести тела располагается ниже оси вращения и находится на вертикальной прямой, проходящей через эту ось. Равновесие устойчиво, если при малом отклонении от положения равновесия есть сила, стремящаяся вернуть его в это положение. Устойчиво такое положение, в котором его потенциальная энергия минимальна.

– Неустойчивое равновесие — это равновесие, при котором тело, выведенное из положения равновесия, не возвращается в начальное положение. При неустойчивом равновесии центр тяжести тела расположен выше оси вращения и находится на вертикальной прямой, проходящей через эту ось.

–Безразличное равновесие - это равновесие, при котором тело, выведенное из положения равновесия и предоставленное самому себе, не меняет своего положения (состояния). При безразличном равновесии ось вращения тела проходит через центр тяжести.

Тело, не имеющее ось вращения (шар, лежащий на выпуклой, вогнутой и горизонтальной поверхностях, изображенный на рис. а).

Рис а (1) - неустойчивое положение равновесия

Рис а (2) - устойчивое положение равновесия

Рис а (3) – безразличное положение равновесия

Тело, имеющее ось вращения (например, однородная линейка, которая может вращаться вокруг оси, проходящей через точку О, изображенная на рисунке б)

Рис б (1) - неустойчивое положение равновесия, т.к. центр тяжести С выше оси вращения.

Рис б (2) - равновесие устойчивое, т.к.  центр тяжести находится ниже оси вращения

Рис б (3) - равновесия безразличное, т.к. центр тяжести и ось вращения совпадают. (6)

4. Условия равновесия.

I условие равновесия: Тело находится в равновесии, если геометрическая сумма внешних сил, приложенных к телу, равна нулю. ∑ F=0. II условие равновесия: Сумма моментов сил, действующих по часовой стрелке, должна равняться сумме моментов сил, действующих против часовой стрелки. ∑ M по часовой =∑ M против часовой. М = F d, где М – момент силы, F - сила, d – плечо силы – кратчайшее расстояние от точки опоры до линии действия силы. (2)

3. Практическая часть

Ι. Экспериментальная проверка условий устойчивого равновесия тела, опирающегося на твердую поверхность.

1. Исследование зависимости устойчивости тела, опирающегося на твердую поверхность от положения центра тяжести.

 Цель: Проверить зависимость устойчивости тела от положения центра тяжести тела.

 Ход работы: 1) Собрать установку из наклонной плоскости, закрепленной в штативе. Упор закрепить к наклонной плоскости при помощи скотча, в виде спички (приложение 1 рис. 1)

2) Склеить несколько 3 деревянных бруска и один железный брусок двойным скотчем и установить полученное тело у упора (железный брусок внизу).

 3) Аккуратно поднимать край наклонной плоскости до тех пор, пока бруски не опрокинутся.

4) Измерить высоту подъема края наклонной плоскости мерной лентой и результаты записать в таблицу 1(приложение 1).

 5) Повторить опыты для тела, состоящего из того же количества брусков, изменяя только положение железного бруска (железный брусок вверху). Результаты записать в таблицу 1.

Вывод: Чем выше располагается железный брусок в теле (центр тяжести на большей высоте от наклонной плоскости), тем тело менее устойчиво, угол наклона плоскости наименьший. При более низком положении железного бруска (центр тяжести на меньшей высоте от наклонной плоскости), тело было более устойчиво. Падало тело в тот момент, когда точка центра тяжести располагалась не над площадью опоры тела, а выходила за ее пределы.

2. Исследование зависимости устойчивости тела, опирающегося на твердую поверхность от высоты предмета.

Цель: выяснить как зависит устойчивость тела от его высоты.

 Ход работы: 1) Скрепить 2 деревянных бруска вместе двухсторонним скотчем и установить их у упора (приложение 2 рис.1)

 2) Поднимать край наклонной плоскости до тех пор, пока бруски не опрокинутся.

 3) Измерить высоту подъема края наклонной плоскости мерной лентой и результаты записать в таблицу 2 (приложение 2).

4) Выполнить опыты для тел, состоящих из разного количества брусков (четырех, восьми), изменяя тем самым высоту тела. Результаты занести в таблицу 2.

 Вывод: Чем больше высота предмета, тем угол наклона плоскости был меньшим. Чем ниже было тело, тем оно более устойчиво. Так как тело было однородным, то центр тяжести находился в его центре.

3. Исследование зависимости устойчивости тела, опирающегося на твердую поверхность от величины площади опоры. Цель: выяснить зависимость устойчивости тела от площади его опоры.

Ход работы: 1) Скрепить 4 одинаковые столбика деревянных брусков вместе скотчем и установить их у упора (приложение 3 рис.1).

2) Поднимать край наклонной плоскости до тех пор, пока бруски не опрокинутся.

 3) Измерить высоту подъема края наклонной плоскости мерной лентой и результаты записать в таблицу 3.

 4) Выполнить опыты для тела, состоящего из 2 рядов деревянных брусков, изменяя тем самым площадь опоры тела. Результаты занести в таблицу 3 (приложение 3).

Вывод: Чем больше площадь опоры предмета, тем угол наклона плоскости был большим, тело более устойчиво. Центр тяжести тела в данном эксперименте находился в его центре.

Вывод: тело, опирающееся на горизонтальную плоскость, находится в равновесии, пока вертикальная линия, проходящая через центр тяжести, проходит внутри площади опоры; устойчивость тела зависит от положения центра тяжести, от величины площади опоры, от высоты предмета.

ΙΙ. Определение центра тяжести плоской пластины сложной формы используя разные методы.

4. Определение центра тяжести методом разбиения и методом отрицательных площадей.

Ход выполнения работы: 1) Выбрать сложную фигуру рис. 1

              2)  Разбить фигуру на простые фигуры:

2 прямоугольных треугольника, прямоугольник,    круг.

                       Рис.1

3. Центры тяжести простых фигур С1, С2 -  у прямоугольных треугольников это пересечение медиан, С3 – у прямоугольника это пересечение диагоналей.
4. Ось ОХ проходит по нижнему основанию фигуры от её начала, ось ОУ проходит перпендикулярно оси ОХ.  
5. Вычисление площади простых фигур и координат центров тяжести:

• Прямоугольного треугольника S1 = 0,5•5•45=112,5 (мм2), х1=3,4 мм, у1=45/3=15 мм

• Прямоугольного треугольника S2 = 0,5•5•45=112,5 (мм2), х2=16,6 мм, у2=45/3 = 15 мм
• Прямоугольника S3=10•45=450 (мм2), х3=10 мм, у3= 45/2= 22,5 мм
• Круг S4 = πd2/4, А4 =3,14•82/4=50,24 (мм2), х4=10 мм, у4=15 мм

6. Вычисление координат центра тяжести сложной фигуры:  

S 1 X1 + S2х2 + S3х3 – S4х4 =112,5•3,4 + 112,5•16,6 + 450•10 – 50,24•10 = 6247,6

 S 1y1 + S 2y2 +S 3y3 –S4у4 =112,5•15+ 112,5•15+450•22,5 – 50,24•15 = 12746,4

  S 1+S2+S3-S4 = 112,5+112,5+450-50,24 =624,76;

ХС = 6247,6/624,76 =10,0 мм, УС =12746,4/624,76 = 20,4 мм. Координаты центра тяжести фигуры: (10,0; 20,4). Погрешность измерения: ΔХ=1 мм+0,5 мм=1,5 мм, ΔУ=1мм+0,5мм=1,5 мм.

7. Правильность определения центра тяжести проверяется экспериментально: геометрический центр фигуры помещают на остриё иглы. Фигура находится в равновесии, значит, расчеты верны.

1. Определение центра тяжести методом подвешивания (фигура из опыта 2.1)

Ход работы: 1) Выполнить отверстия в фигуре. Просверлить три отверстия, края отверстий должны быть гладкими, а диаметр отверстий несколько больше диаметра иглы для подвешивания фигуры.

2. Подвесить фигуру сначала в одной точке (отверстии), прочертить карандашом линию, совпадающую с нитью отвеса. То же повторить при подвешивании фигуры в других точках.
3. Центр тяжести т. С будет находиться в точке пересечения вертикальных линий, нанесённых при подвешивании фигуры в этих точках (приложение 4).

Вывод: центр тяжести фигуры, найденный методами разбиения, и подвешивания совпал. Фигура находится в равновесии, значит, центр тяжести вычислен верно.

ΙΙΙ. Определение центра тяжести системы из двух шаров разной массы, соединенных стержнем.

Ход работы: 1) Соединить стержнем, массой которого можно пренебречь по сравнению с массами шаров, шары различных масс. Длина стержня значительно превышает радиусы шаров. Тогда шары можно считать материальными точками.

2. Точка приложения равнодействующей параллельных сил тяжести делит расстояние между точками приложения этих сил на отрезки, обратно пропорциональные модулям сил.    Данное равенство определяет положение центра тяжести рассматриваемого тела. (5)
3. Измерили длину стержня: l=12,00+_0,15 см, массу шаров: m1=7,00+_0,01 г, m2=49,17+_0,01 г.                                                                                  

4. Вычисление местоположения центра тяжести: F1=m1g,           F1=0,0686Н   F2=m2g, F2=0,4819Н.

               d1=0,105м=10,50 см   d1=10,50+-0,15 см      d2=12,00-10,50=1,50 см, d2=1,50+-0,15см.

5. По расчётам получили, что центр тяжести системы, состоящей из двух шаров, находится на расстоянии 10,5 см от центра шара меньшей массы. Закрепив систему на нити в данной точке, убедились, что стержень принимает горизонтальное положение, следовательно, система находится в равновесии. Погрешность измерения: Δd=1 мм+0,5 мм=1,5 мм=0,15см (приложение 5).

Вывод: Точка приложения равнодействующей параллельных сил тяжести делит расстояние между точками приложения этих сил на отрезки, обратно пропорциональные модулям сил.

ΙV. Определение центра тяжести тела правильной формы, у которой центр тяжести лежит вне фигуры и установление устойчивого равновесия проволочного уголка.

Ход работы: 1) Центр тяжести угольника т. С расположен в середине отрезка, соединяющего центры прямоугольников.

2. Определив положение центра тяжести относительно сторон уголка, рассчитать угол отклонения от вертикали при устойчивом равновесии для медных проволок, длиной  м, имеющих разное поперечное сечение.
3. Проволока однородна и имеет одинаковое поперечное сечение вдоль всей длины, следовательно, центр тяжести находится в точке C, расположенной посередине отрезка C1C2 (см. рис.10). Из прямоугольного равнобедренного треугольника C 1 СВ с учётом, что C 1B= l/4 (l- полная длина проволоки).  . Из треугольника C 1CA по теореме синусов , следует . ,  . , то sin α = 0,342. Следовательно, α = 200. Проведя эксперимент по установлению устойчивого равновесия проволочного уголка для медных проволок разного поперечного сечения, измерили угол отклонения от отвеса, угол равен 200. Вывод: угол отклонения проволочного уголка, занимающего устойчивое равновесие, вычисленный теоретическим и опытным путями оказался одинаковым. Если проволока имеет постоянное поперечное сечение и сделана из однородного материала, то результат не зависит от площади поперечного сечения проволоки (приложение 6).

4. Заключение

   Нахождение центров тяжести тел является важной технической задачей, так как от положения центров тяжести зависит устойчивость мостов, плотин, зданий, телевизионных вышек, автомашин, ракет на старте и т.п. Поэтому необходимо знать методы нахождения центров тяжести тел. В технике и повседневной жизни мы встречаемся с телами самой различной формы. Часто они состоят из стержней и дисков (колесо на оси, спортивная штанга и т. д). Многие плоские фигуры состоят из прямоугольных и треугольных пластин. При определении положения центра тяжести подобных тел проще всего вначале определить положение центров тяжести отдельных его частей простой формы. У тел простой формы можно сразу указать положение центра тяжести, руководствуясь соображениями симметрии. У всех однородных фигур, имеющих центр симметрии, центр тяжести совпадает с этим центром.

  Определив положения центров тяжести составных частей тела сложной формы, можно найти, где расположен центр тяжести всего тела. Для этого надо заменить тело системой материальных точек, каждая из которых помещается в центре тяжести соответствующей части тела и имеет массу этой части.

  Если тело имеет неправильную форму или если оно неоднородно (например, в нем есть пустоты), то расчет положения центра тяжести часто затруднителен, и это положение удобнее найти посредством опыта. Подвешивая тело в разных точках и проводя вертикальные прямые, то все они пересекутся в одной точке. Эта точка и есть центр тяжести тела.

Вывод: 1. Тело, опирающееся на горизонтальную плоскость, находится в равновесии, пока вертикальная линия, проходящая через центр тяжести, проходит внутри площади опоры; устойчивость тела зависит от положения центра тяжести, от величины площади опоры, от высоты предмета. 

2. Методы для определения центра тяжести тел: метод симметрии, метод разбиения, метод отрицательных масс, метод подвешивания.
3. Если центр тяжести тела занимает наинизшее положение по сравнению со всеми возможными соседними положениями, то равновесие устойчивое.

5.Список использованных источников и литературы

1. Билимович Б.Ф. Законы механики в технике. Пособие для учащихся. М., «Просвещение», 1975.
2. Иванов А.С., Проказа А.Т. Мир механики и техники: Кн. Для учащихся. – М.: Просвещение, 1993. – 223 с.: ил.
3. Лукьянов А.А. Нахождение центров тяжести плоских фигур разной формы. Потенциал, март, 2015 № 3 стр.48 -56.
4. Наумчик В.Н. Физика. Решение задач повышенной сложности. Мн.: «Мисанта», 2003. -320 с.
5. Элементарный учебник физики под редакцией академика Г.С. Ландсберга. Том 1. Механика. Теплота. Молекулярная физика. М., 1995 г., 656 стр. с ил.
6. Физика. 10 кл. Профильный уровень: учебн. для общеобразоват. учреждений / В.А. Касьянов. – 8-е изд., перераб. И доп. – М.: Дрофа, 2005. – 431, с.: ил.

6.Приложения

Приложение 1

Рис.1

Таблица 1 Зависимость устойчивости тела от положения центра тяжести тела

 Погрешность измерения: Δd=1 мм+0,5 мм=1,5 мм=0,15см

Приложение 2

Рис. 1   

 Таблица 2 Зависимость устойчивости тела, опирающегося на твердую поверхность от высоты предмета.

Погрешность измерения: Δd=1 мм+0,5 мм=1,5 мм=0,15см

Приложение 3

Рис.1

Таблица 3 Зависимость устойчивости тела, опирающегося на твердую поверхность от величины площади опоры.

Погрешность измерения: Δd=1 мм+0,5 мм=1,5 мм=0,15см

Приложение 4

Приложение 5

Приложение 6