О применении прогрессий в нашей жизни

Безносова Анастасия

9Г класс

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение «Средняя общеобразовательная школа №50», город Новосибирск

Петрова Марина Анатольевна, математика

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение «Средняя общеобразовательная школа №50», город Новосибирск

petrovama13@gmail.com 

О применении прогрессий в нашей жизни

«…Не мог он ямба от хорея как мы не бились отличить…».

В 9 классе я учусь и мне стало интересно!!! Действительно ли прогрессии играют большую роль в нашей жизни? Мы же всегда говорим или подчас … и где она пригодится, эта математика???

Для этого мною проведен анализ, исторический экскурс с целью установления авторства теории о прогрессиях. Приведены примеры применения прогрессий в различных отраслях хозяйства. Спасибо учителю по географии. Сделан анализ влияния размножения живых организмов в геометрической прогрессии на жизнь на Земле. И опять большое спасибо учителю биологии и химии.

Почему это важно для нас?:

В 9 классе мы изучаем прогрессии: дали определение, научились находить по формулам любой член прогрессии, сумму первых членов прогрессии. Найдя ответы на вопросы: имеет ли это какое-либо практическое значение и как давно люди знают последовательности, как возникло это понятие, мы подтвердим или опровергнем утверждение о том, что математика – наука очень древняя и возникла она из практических нужд человека, что алгебра является частью общечеловеческой культуры.

Действительно ли прогрессии играют большую роль в повседневной жизни?

Рассмотрим последовательности: арифметическую и геометрическую прогрессии.

Выясним практическое применение этих прогрессий.

На уроках математики мы много раз слышали о том, что математика – наука очень древняя и возникла она из практических нужд человека. Видимо, и прогрессии имеют определенное практическое значение.

Установим картину возникновения понятия прогрессии и выявим примеры их применения.

С этой целью изучим встречающиеся задачи на прогрессии с практическим содержанием в различных учебных пособиях.

Выясним:

• когда и в связи с какими потребностями человека появилось понятие последовательности, в частности – прогрессии;
• какие ученые внесли большой вклад в развитие теоретических и практических знаний по изучаемой проблеме.

Методы исследования были мною выбраны следующие:

• анализ школьных учебников математики; математической, справочной литературы; литературы по истории математики, материала из Интернета.
• обобщение найденных фактов в учебниках.

Вот какие задачи мною были выделены с практическим содержанием из современных учебников по алгебре:

• Алгебра. 9 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений / Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Суворова С.Б./ под ред. С.А. Теляковского. -М.: Просвещение, 2009, -271с. № 581, 582, 583, 598, 614, 616, 629,637, 638, 639, 640, 641, 642, 674 (14 задач).
• Алгебра. 9 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений / Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Феактистов И.Е. . -М.: Мнеозина, 2008, -447с. № 698, 699,702,725,734, 788, 789 (7 задач)
• Математика. Алгбра. Функции. Анализ данных.9 кл.: Учебник для общеобразовательных учебных заведений/ Г.В. Дорофеев, С.Б. Суворова, Е.А. Бунимович, Л.В. Кузнецова, С.С. Минаева; под ред. Г.В. Дорофеева.-М.:Дрофа, 2000,-352с.: № 511, 514, 515, 527(в-г), 539, 540, 542, 543, 563-566, 573-578, 591, 595 - 601, 604, 605, 620,622-626, 628, 638 - 643, 645, 647, 648, 650, 651, 653-659 (54 задачи).
• Алгебра. 9 класс, в 2ч. Ч.2. Учебник для общеобразовательных учреждений / Мордкович А.Г., П.В. Семенов, -М.: Мнемозина, 2010, -224с.: № 16.63-16.66, 17.35, 17.46, 17.51. 17.58 (8 задач).

Арифмети́ческая прогре́ссия – числовая последовательность, в которой каждое последующее число, начиная со второго, получается из предыдущего увеличением его на определённое число.

Имеет вид: a1, a1+d, a1+2d, a1+3d, …, a1+(n-1)d,…

Геометри́ческая прогре́ссия – последовательность чисел, в которой каждое последующее число, начиная со второго, получается из предыдущего умножением его на определённое число.

Имеет вид: b1, b1q, b1q2, b1q3,… ,b1qn-1,…

А теперь немного о том, как я сама изучала:

1) Шаг первый – по страницам школьных учебников (выше приведен пример);

2) Прогрессии в природе;

3) Прогрессии в старых учебниках (учитель подсказала);

4) Последовательность и путешествия (заглянула вглубь веков);

5) Прогресс в банковских расчетах и промышленности (Это раздел меня увлек больше всего, и я решила описать для всех);

6) Прогрессии в журналах и книгах по занимательной математике.

Прогрессии в банковских расчетах, в промышленности, в разных отраслях науки, в сельском хозяйстве.

Прогрессии и банковские расчеты

Представьте себе, что вы открыли в банке вклад в сумме а р. Под р% годовых на t лет. У вас есть две стратегии поведения: либо в конце каждого года хранения вклада снимать проценты по вкладу, т.е. полученную прибыль в размере            р., либо прийти в банк один раз – в конце срока хранения вклада. Kaкой доход вы получите в том и другом случаях?

В первом случае при t = 1 вы получите (а +ра/100)р., при t = 2 ваша итоговая сумма составит   (а +2ра/100)р., при t = 3 (а +3ра/100)р. и т.д. Математическая модель ситуации ‒ конечная арифметическая прогрессия а, а +ра/100, а +2ра/100,а +3ра/100,   а +tpa/100.

Итак, при первой стратегии поведения за t лет вы получит) а(1 + tp/100) ‒ это так называемая формула простых процентов.

Если вы решили прийти в банк только в конце срока хранения вклада, то при t = 1 получаемая сумма составит, как и в первом случае, (а +ра/100)р., т.е. а (1 +р/100)р.; сумма вклада увеличится в (1 +р/100)раз.

Во столько же раз она увеличится и к концу второго года хранения, и к концу третьего года хранения и т.д.

Математическая модель ситуации ‒ конечная геометрическая прогрессия а, а(1 +ар/100), а(1 +ар/100)2,а(1 +ар/100)3,…, а(1 +ар/100)t.

Итак, при второй стратегии поведения за t лет вы получите а(1 +ар/100)tруб.‒ это так называемая формула сложных процентов.

Рассмотрим конкретный пример.

Пусть вклад составляв 10 000 р., банк дает 10% годовых, срок хранения вклада ‒ 5 лет. Если вы выбрали стратегию простых процентов, то к концу срока хранения вы получите в итоге сумму, равную10 000 • (1 +5 • 10/100), т.е. 15 000 р. Если же вы выбрали стратегию сложных процентов, то к концу срока хранения вы получите в итоге сумму, равную 10 000 •  ( 1 + 10/100)5, т. е. 16 105,1 р.

Как говорится в одном рекламном слогане, почувствуйте разницу.

[Алгебра. 9 класс, в 2ч. Ч.1. Учебник для общеобразовательных учреждений/ Мордкович А.Г., П.В. Семенов ,-М.:Мнемозина,2010,-224с.(с.169-171)].

«Геометрическая прогрессия в банковских задач в ЕГЭ 2017г.

Для обеспечения достойного проживания в новых для России рыночных условиях каждый человек должен больше знать о существующих экономических закономерностях. Молодежи эти знания просто необходимы. Очевидно то, что чем раньше мы поймём суть вкладов, процентов, кредитов и начнём ориентироваться в сложных экономических вопросах, тем увереннее будем чувствовать себя во взрослой жизни. Именно такого рода задачи добавили во вторую часть экзамена по математике.

Чтобы найти правильный ответ на жизненный экономический вопрос, нужны умения производить хотя бы несложные процентные расчеты. Желание приобрести это умение и определило тему данной работы.

В настоящее время люди проявляют огромный интерес к разному роду кредитам. И этот интерес вполне понятен, многие хотят упростить свою жизнь. Ведь кредиты позволяют достичь желанной цели немедленно, когда нам это необходимо. Благодаря кредитованию любой человек может приобрести машину, мебель, слетать в отпуск и даже приобрести недвижимость, не дожидаясь полного накопления необходимой для этого суммы.

Давайте разберёмся! При всей выгодности приобретения любой покупки в кредит перед каждым человеком встает проблема ежемесячной выплаты ощутимой суммы из зарплаты и ожидание того момента, когда наконец-то он освободится от финансовой зависимости, а порой кабалы.

Мне не пришлось попасть в подобную ситуацию на сегодняшний день, но не разобравшись и не поняв, как работает эта система желания пробовать не возникает, но ко всему прочему я не имею ничего против банковской системы. Но понять хочется заранее: каким предложением можно воспользоваться, а каким ни в коем случае, если нет желания оказаться в долговой яме!

И чтобы не испортить себе жизнь, надо вооружаться знаниями и научиться считать!

Выведем формулу для расчета платежа по кредиту.

Применим полученную формулу на практике.

31 декабря Алексей взял в банке 9 930 000 рублей в кредит под 10% годовых. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга, затем Алексей переводит в банк определённую сумму ежегодного платежа. Какой должна быть сумма ежегодного платежа, чтобы Алексей выплатил долг за три года?

№34. 31 декабря Тимофей взял в банке 7 007 000 рублей в кредит под 20% годовых. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга, затем Тимофей переводит в банк платёж. Весь долг Тимофей выплатил за 3 равных платежа. На сколько рублей меньше он бы отдал банку, если бы смог выплатить долг за 2 равных платежа?

В данном задачнике собраны задания для ЕГЭ-2017г., которые можно решить с помощью формулы суммы геометрической прогрессии, знания формул простых и сложных процентов, умения находить дробь от числа и умений считать и логически мыслить. Мы пока не готовимся к ЕГЭ! Мы готовимся к ОГЭ! Но!!! Мы готовимся к жизни!

А вот еще интересные примеры, которые я демонстрировала на элективном курсе по математике.

Задачи на прогрессии

Директоры двух заводов А и В встретились на совещании. Из их беседы выяснилось, что оба завода выпустили за последний год одинаковые количества продукции, а именно по 1000 т металлических изделий. На совещании было решено добиваться дальнейшего роста продукции, причём был намечен ежегодный прирост на 40%.

Директор завода А выполнял задание следующим образом. В первый год после совещания его завод выпустил на 40% больше, чем раньше, т.е. на две пятых, а именно:

1000 +1000 • 2/5 = 1000 + 400 =1400.

За второй год завод выпустил ещё на 400 т больше, т. е.

1400 + 400=1800, и так далее.

В результате выпуск изделий за последующие 4 года оказался таким:

до совещания.1000, 1-й год..........1400, 2-й »........ 1800, 3-й ».......... 2200, 4-й ».......... 2600.

Директор завода В поступил иначе. За первый год после совещания он выпустил на 40% больше, чем раньше, т.е.

1000 +1000 • 2/5 =1400 т.

За второй год директор завода В добился дальнейшего, роста производительности труда, и завод выпустил за второй год на 40% больше, чем за первый год:

1400 + 1400 • 2/5 = 1400 + 560 = 1960 т.

На третий год он составил план по тому же принципу: опять увеличить выработку на 40% по сравнению с предыдущим годом:

1960+ 1960 • 2/5 = 1960 + 784 = 2744 т.

За четвёртый год завод В дал такую выработку:

2744 + 2744 • 2/5 = 2744 + 1098 = 3842.

В результате выпуск изделий заводом В оказался следующим:

до совещания.......1000, 1-й год..........1400, 2-й »........ 1960, 3-й ».......... 2744, 4-й ».......... 3842.

Заметим, что коэффициент увеличения здесь равен 7/5, так как выпуск каждого года составляет 140% предыдущего года, 140%= 140/100 = 7/5.

Через 4 года директоры заводов А и В снова встретились на совещании и сравнили выработку обоих заводов. Оказалось, что завод В выпустил значительно больше изделий, чем завод A.

Завод А сохранял всё время одну и ту же надбавку, равную 400 т в год. Завод В сохранял неизменным отношение выработки двух соседних лет, т.е. коэффициент увеличения k = 7/5.

Мы берем задачи из жизни, но в сборниках по математике, так вот еще есть какие.

Как сосчитать количество бревен?

Представьте, что вы – учетчик на стройке. Привезли большое количество бревен строевого леса. Нужно быстро определить, сколько бревен привезли, чтобы закрыть наряд шоферу.

В данном случае, чтобы подсчет бревен осуществлялся по простым формулам, один из способов – использовать естественное расположение бревен так, чтобы в каждом верхнем ряду их оказалось на единицу меньше, чем в нижнем. Тогда число бревен ряда образует арифметическую прогрессию и общее количество легко подчитывается по формуле суммы арифметической прогрессии с разностью, равной единице.

Еще две технические задачи.

После каждого движения поршня разрежающего насоса из сосуда удаляется 20% находящегося в нём воздуха. Определите давление воздуха внутри сосуда, после 6 движений поршня, если первоначально давление было 760 мм.рт.ст.

Тело в первую секунду движения прошло 7 м, а за каждую следующую секунду – на 3 м больше, чем за предыдущую. Какое расстояние тело прошло за восьмую секунду?

В каких процессах ещё встречаются такие закономерности? 

• Деление ядер урана происходит с помощью нейронов. Нейтрон, ударяя по ядру урана раскалывает его на две части. Получается два нейтрона. Затем два нейтрона, ударяя по двум ядрам, раскалывают их еще на 4 части и т.д. ‒ это геометрическая прогрессия.
• При повышении температуры в арифметической прогрессии скорость химической реакции вырастает в геометрической прогрессии.
• Возведение многоэтажного здания ‒ пример арифметической прогрессии. Каждый раз высота здания увеличивается на 3 метра.
• Вписанные друг в друга правильные треугольники ‒ это геометрическая прогрессия.
• Денежные вклады под проценты ‒ это пример геометрической последовательности. Зная формулы суммы членов геометрической последовательности, можно подсчитывать сумму на вкладе.
• Равноускоренное движение ‒ арифметическая прогрессия, т.к. за каждые промежутки времени тело увеличивает скорость в одинаковое число раз.

Задачи на применение прогрессий встречаются в книгах по занимательной математике. Древняя индийская легенда.

Царь древней Индии Шерам пригласил к себе изобретателя шахмат Сета и спросил, какую бы награду хотел бы он получить за изобретение столь мудрой игры.

Тогда Сета попросил царя на первую клетку шахматной доски положить 1 зерно, на вторую – 2 зерна, на третью – 4, на четвертую – 8 и т.д., т.е. на каждую клетку вдвое больше зерна, чем на предыдущую клетку.

Поначалу царь удивился столь “скромному” запросу изобретателя и поспешно повелел выполнить ту просьбу.

Однако, как выяснилось, казна царя оказалось слишком “ничтожной” для выполнения этой просьбы.

Действительно, чтобы выполнить эту просьбу, потребовалось бы количество зерен, равное сумме 1 + 2 + 22 +... + 263, а эта сумма равна 18446744073709551615.

Если считать, что 1 пуд зерна содержит 40000 зерен, то для выполнения просьбы потребовалось бы 230 584 300 921 369 пудов зерна. Если полагать, что в среднем ежегодно собирается 1 000 000 000 пудов зерна, то для выполнения указанной просьбы нужно работать (не расходуя ни одного зерна) на протяжении 230584 лет.

Столько зёрен должен был получить изобретатель шахмат:

S64=264-1=18446744073704551615

Всего зерен 18 квинтиллионов 446 квадриллионов 744 триллиона 73 миллиарда (биллиона) 709 миллионов 551 тысяча 615

S 64 = 264 - 1 = 1,84 · 1019 ‒ стандартный вид данного числа.

Это задача из «Сборника старинных занимательных задач по математике» Игнатьева Е.И.

Однажды богач заключил выгодную, как ему казалось, сделку с человеком, который целый месяц ежедневно должен был приносить по 100 тыс. руб., а взамен в первый день месяца богач должен был отдать 1 коп., во второй-2 коп., в третий-4 коп., в четвертый-8 коп. и т. д. в течении 30 дней. Сколько денег получил богач и сколько отдал? Кто выиграл от этой сделки?

Считают “мужик” и “купец”

“Мужик” заплатил: S30 = 100 000• 30 = 3 000 000 (рублей).

“Купец” заплатил: 1; 2; 4;… q=2/1=2.

S30 =1• (230 – 1):(2-1)= 2 30 -1= =1 073 741 824 -1 =1 073 741 823 (коп.) т.е. 10 738 418 руб.23коп

О поселковых слухах: Удивительно, как быстро разбегаются по посёлку слухи! Иной раз не пройдет и двух часов со времени какого-нибудь происшествия, которое видели всего несколько человек, а новость уже облетела весь посёлок: все о ней знают, все слышали. Итак, задача:

В поселке 16 000 жителей. Приезжий в 8.00 рассказывает новость трем соседям; каждый из них рассказывает новость уже трем своим соседям и т.д. Во сколько эта новость станет известна половине посёлка?

Решение. Итак, в 8. 15 утра новость была известна только четверым: приезжему и трём местным жителям. Узнав эту новость, каждый из трёх граждан поспешил рассказать её трём другим. Это потребовало также четверти часа. Значит, спустя полчаса после прибытия новости в город о ней узнали уже  4+3·3=13 человек. Каждый из девяти вновь узнавших поделился в ближайшие четверть часа с тремя другими гражданами, так что к 8.45 утра новость стала известна 13+9·3= 40 гражданам. Если слух распространяется по посёлку и далее таким способом, то есть каждый узнавший эту новость успевает в ближайшие четверть часа передать её трём согражданам, то осведомление посёлка будет происходить по следующему расписанию:

   в 9.00 новость узнают 40+27 ·3=121 (человек);

      9.15                           121+81 ·3 =364 (человек);

      9.30                           364+243 ·3=1093 (человек);

      9.45                           1093+729 ·3=3280 (человек);

     10.00                          3280 + 2187 ·3 =9841(человек).

Эту задачу можно решить по-другому, используя формулу сумму n первых членов геометрической прогрессии.

В данном случае:  q = 3, b1 = 1,  Sn  =  8000, n –неизвестно.

Чтобы найти n, заметим, что  36 = 729, 32 =9, 38 = 36· 32= 729 · 9=6561, 39=19683.

Значит, n должно быть не меньше 9.

Значит, на 9-ом шаге более половины жителей города будут знать новость. Легко подсчитать, что это произойдёт в 10.00 утра.

Задачи на прогрессии есть и в книгах Я.И. Перельмана

Прогрессии в литературе: строки из “Евгения Онегина”.

«…Не мог он ямба от хорея

Как мы не бились отличить…». Это для самые неожиданные примеры прогрессии!

Отличие ямба от хорея состоит в различных расположениях ударных слогов стиха.

Ямб – это стихотворный размер с ударением на четных слогах 2; 4; 6; 8;…Номера ударных слогов образуют арифметическую прогрессию с первым членом 2 и разностью прогрессии 2.

Хорей – это стихотворный размер с ударением на нечетные слогах стиха. Номера ударных слогов образуют арифметическую прогрессию 1; 3; 5; 7;..

Примеры.

Ямб. «Мой дЯдя сАмых чЕстных прАвил…», прогрессия 2; 4; 6; 8;…

Хорей. «Я пропАл, как звЕрь в загОне»Б.Л.Пастернак, «БУря  мглОю  нЕбо  крОет» А.С. Пушкин, прогрессия 1; 3; 5;7.

Выводы.

• Установила, что сами по себе прогрессии известны так давно, что нельзя говорить о том, кто их открыл.
• Убедилась в том, что задачи на прогрессии, дошедшие до нас из древности, также как и многие другие знания по математике, были связаны с запросами хозяйственной жизни: распределение продуктов, деление наследства и другими.
• Выяснила, что в развитие теории о прогрессиях внесли ученые Архимед, Пифагор и его ученики, французские математики Леонард Фибоначчи и Баше де Мезириака, немецкие математики М. Штифель, Н. Шюке и К. Гаусс.
• Нашла много задач на арифметическую и геометрическую прогрессию в старых и в современных учебниках по математике. Заметила, что арифметическая прогрессия в практических задачах встречается чаще геометрической. Много задач с практическим содержанием в учебнике для 9 класса под редакцией Г.В. Дорофеева[4].

Список использованных источников

1. Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч.1. Учебник для общеобразовательных учреждений/ А.Г.Мордкович. – 9-е изд., стер. – М.:Мнемозина, 2007. – 231 с.;
2. Алгебра. 9 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений/ Ю.Н. Макарычев и др. под ред. С.А. Теляковского –М.: Просвещение, 2009 – 271 с.;
3. Алгебра. 9 класс,: Учебник для общеобразовательных учреждений / Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Феактистов И.Е. . -М.: Мнеозина, 2008, -447с. № 698, 699,702,725,734, 788, 789 (7 задач)
4. Математика. Алгебра. Функции. Анализ данных.9 кл.: Учебник для общеобразовательных учебных заведений/ Г.В. Дорофеев , С.Б. Суворова, Е.А. Бунимович, Л.В. Кузнецова, С.С. Минаева; под ред. Г.В. Дорофеева. -М. :Дрофа, 2000,-352с.;
5. Пичурин Л.Ф. За страницами учебника алгебры. Книга для учащихся 7-9 классов средней школы -М.: Просвещение, 1990.-224сю;
6. http://n-t.ru/tp/iz/zs.htm
7. http://festival.1september.ru/articles/568100/