Проект по математике "Фигурные числа"

Слайд 1

Фигурные числа Руководитель-учитель математики : Тарасова Ольга Константиновна 2019 год Проектно-исследовательская работа учащихся 6 «Б» класса Зияевой Фирузы Адахамовой Камилы Камаловой Акзийнат

Слайд 2

В мире нет места для некрасивой математики. Г. Харди «Все есть число » Пифагор

Слайд 3

Гипотеза исследования: Выкладывая различные правильные многоугольники, мы получаем разные классы многоугольных чисел . Предположительно от фигурных чисел возникло выражение: «Возвести число в квадрат или в куб». Любое натуральное число можно изобразить в виде геометрической фигуры

Слайд 4

Цель работы Изучить и исследовать одно из понятий математики-фигурные числа В соответствии с поставленной целью решались следующие задачи: И зучить историю происхождения фигурных чисел; Р ассмотреть виды фигурных чисел; У знать применение фигурных чисел в математике ; Научиться «выкладывать» фигурные числа и вычислять любое фигурное число по общей формуле; Показать связь фигурных чисел с жизнью. Методы исследования : - обработка и анализ научных источников; - анализ научной литературы и пособий по исследуемой проблеме. - изготовление макетов фигурных чисел

Слайд 5

История возникновения фигурных чисел.

Слайд 6

Фигурные числа были известны ещё в глубокой древности. Предполагают, что впервые они появились в школе Пифагора. Числа пифагорейцами мыслились зримо, в виде камешков, расположенных на песке или на счётной доске – абаке. Фигурные числа , по мнению пифагорейцев, играют важную роль в структуре мироздания. О них много говорится в пифагорейских учебниках арифметики. Изучением фигурных чисел занимались многие математики античности: Эратосфен, Гипсикл и другие. Диофант Александрийский написал большое исследование о свойствах многоугольных чисел, фрагменты которого дошли до наших дней.

Слайд 7

Фигурное представление чисел помогало пифагорейцам открывать законы арифметических операций, а также легко переходить к числовой характеристике геометрических объектов - измерению площадей и объемов. Так, представляя число 10 в двух формах: 5*2=2*5, легко "увидеть" переместительный закон умножения: a * b=b * a .

Слайд 8

Счёт на камушках оставил глубокий след в истории математики. Древние греки, когда им приходилось умножать числа, рисовали прямоугольники; результатом умножения трёх на пять был прямоугольник со сторонами три и пять. Это – развитие счёта на камушках.

Слайд 9

В дальнейшем многие математики интересовались этими числами. Про них доказано много важных и трудных теорем. В Новое время фигурными числами занимались Эйлер, Лагранж, Гаусс и другие. Лагранж Гаусс Эйлер

Слайд 10

Числа- камушки раскладывались в виде правильных геометрических фигур, эти фигуры классифицировались. Так возникли числа, сегодня именуемые фигурными. Определение и виды фигурных чисел.

Слайд 11

Виды фигурных чисел Линейные числа Плоские числа Телесные числа. Многоугольные числа Треугольные числа Квадратные Числа Шестиугольные числа Пятиугольные числа

Слайд 12

Линейные числа 5 7 Линейные числа (простые) – числа, которые делятся на единицу и на самих себя, представимы в виде последовательности точек, выстроенных в линию.

Слайд 13

Многоугольные фигурные числа

Слайд 14

Плоские числа 10 Плоские числа – числа, представимые в виде произведения двух сомножителей (плоское число 6=2∙3). Прямоугольные числа

Слайд 15

Треугольные числа Треугольное число – это число кружков, которые могут быть расставлены в форме равностороннего треугольника. Последовательность треугольных чисел Tn для n = 0, 1, 2, … начинается так 0, 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55…

Слайд 16

Схема последовательного вычисления треугольных чисел Какой же вид имеют треугольные числа? Заметим, что 1 = 1 3 = 1 + 2 6 = 1 + 2 + 3 10 = 1 + 2 + 3 + 4 15 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 . . . Эта закономерность сохраняется и дальше. Можно вывести формулу для получения треугольных чисел: Тn = 1 + 2 + 3 + ... + n . На вид она довольно проста, но для вычислений не пригодна, поэтому представим ее в следующем виде:

Слайд 17

Кроме треугольных чисел существуют также числа квадратные , пятиугольные , шестиугольные и т. п. Они связаны соответственно с квадратом, правильным пятиугольником, правильным шестиугольником и т. д. Квадратные числа - представляют собой произведение двух одинаковых натуральных чисел, то есть являются полными квадратами: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, …, n ², … Пятиугольные числа 1, 5, 12, 22, 35, 51, 70, 92, 117, 145… Шестиугольные числа 1, 6, 15, 28, 45, 66, 91, 120, 153, 190, …, 2 n 2 − n , … Общая формула для вычисления многоугольных чисел имеет вид:

Слайд 18

Квадратные числа квадратные числа получаются при выкладывании из камушков квадратов. Вот они какие: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100 и т. д. Второй- это два ряда, каждый из двух камушков: 2*2=4 . Третий - три ряда по три камушка: 3*3=9. Четвертый- 4 ряда по 4 камня: 4*4=16. Неспроста про числа 2*2, 3*3, 4*4 говорят " два в квадрате", "три в квадрате", "четыре в квадрате"!

Слайд 19

Свойства квадратных чисел Последовательность квадратных чисел: 1 ; 4; 9; 25; 36; 49; 64; 81; 100; … 1) Каждое четное квадратное число равно учетверенной сумме двух последовательных треугольных чисел (пример 36 = 4(3+6 ), 64= 4(6+10 ). 2) Каждое нечетное квадратное число равно сумме восьми равных треугольных чисел и 1.

Слайд 20

Пятиугольные числа Правильный пятиугольник-пентагон

Слайд 21

Шестиугольные числа Шестиугольные числа - это числа, которые составляют шестиугольники. (1, 7, 15, 28, 45, 66, 91, …)

Слайд 22

Пространственные фигурные числа

Слайд 23

Телесные числа можно представить в виде произведения трёх сомножителей (8,12,18,20,24,27,28,...): Кубическое число 8: 8 = 2∙2∙2

Слайд 24

Кубические числа Очень интересны кубические числа, возникающие при складывании кубиков: 1, 2*2*2=8 (два этажа из квадратов 2*2). 3*3*3=27 (три этажа из квадратов 3*3) 4*4*4=64 (четыре этажа из квадратов 4*4) 5*5*5=125, 6*6*6=216, 7*7*7=343 , 8*8*8=512, 9*9*9=729, 10*10*10= 1000 и так далее. Теперь понятно, почему про такие числа говорят: "два в кубе", "три в кубе", "десять в кубе"?

Слайд 25

Пирамидальные числа возникают при складывании круглых камушков горкой так, чтобы они не раскатывались. Получается пирамида. Каждый слой в такой пирамиде - треугольное число. Наверху один камушек, под ним - 3, под теми - 6 и т.д.: 1, 1+3=4, 1+3+6=10, 1+3+6+10=20, …

Слайд 26

Фигурные числа и наше время

Слайд 27

Применение фигурных чисел в жизни человека

Слайд 28

Треугольные числа Квадратные числа

Слайд 29

Фигурные числа в наши дни Площадь прямоугольника a b S = a ∙ b а-ширина. b - длинна. Плоское число Телесное число

Слайд 30

Выводы Итак, работая по данной теме, мы пришли к следующим выводам: Фигурные числа, действительно, существуют: они выкладываются в виде геометрических фигур; Выделяются несколько видов данных чисел; Фигурное представление чисел помогло «открыть» ряд математических законов Фигурные числа – это интересно!

Слайд 31

Список использованной литературы: Ван-дер-Варден Б.Л . Пробуждающаяся наука. Математика Древнего Египта, Вавилона и Греции. Бендукидзе А. Фигурные числа. Физико-математический журнал, Квант,, 1974г., №6. Детская энциклопедия: Я познаю мир. Математика. Сост. А.П. Савин, В. В. Станцо , А. Ю. Котова Энзенбергер Х.М. Дух числа. Математические приключения. Харьков. 2005

Слайд 32

Спасибо за внимание