Исследовательский проект «Решение показательных уравнений с параметрами»

Государственное бюджетное общеобразовательное учреждение

Самарской области гимназия города Сызрани городского округа Сызрань

 Самарской области

Исследовательский проект

 «Решение показательных уравнений с параметрами»
 
 Секция «Математика»
 
 
 

Автор исследовательской работы:
учащаяся 11 класса,
Дуплищева Анна
Научный руководитель:
Константинова Ирина Альбертовна
 

2017 год

Аннотация

Задачи с параметрами играют важную роль в формировании логического мышления и математической культуры учащегося, но их решение вызывает у них значительные затруднения. Это связано с тем, что каждое уравнение с параметрами представляет собой целый класс обычных уравнений, для каждого из которых должно быть получено решение. Такие задачи предлагаются на едином государственном экзамене. По итогам ЕГЭ разных лет можно сделать вывод, что решение задач с параметрами вызывает наибольшею трудность у учащихся. По данным Рособрнадзора  около 87.9% не приступают к выполнению данного типа заданий.

Эти задачи представляют чисто математический интерес, способствуют интеллектуальному развитию учащихся, служат хорошим материалом для отработки навыков.

Цель  моего исследования: поиск оптимальных способов решения показательных уравнений с параметрами. При этом я использовала следующие методы.

Методы исследования:

1. Изучение учебной литературы.
2. Использование информационных ресурсов (интернет).
3.  Обобщение и систематизация материала по данной теме.
4. Анализ условий задач и полученного результата.

Исследовательская составляющая моего проекта содержит решение показательных уравнений с параметрами, анализ корней в зависимости от параметра, решение вопроса о рациональности выбранного способа решения.

Оглавление

1. Введение                                                                                                4-6

2. Основная часть

    Уравнение 1                                                                                           7-8

    Уравнение 2                                                                                           9-10

    Уравнение 3                                                                                           10-11

    Уравнение 4                                                                                           12-13

3. Заключение                                                                                            14

4. Библиографический список                                                                  15

Введение

Актуальность выбранной темы:

1. Необходимость подготовки к итоговой аттестации, т.к. одним из важных проверяемых элементов содержания является умение решать уравнения, составляя математическую модель.
2. Необходимость применений знаний в современной жизни, анализ заданий с изменяющимися условиями.

Проблема исследования: систематизация способов решения показательных уравнений с параметрами.

Объект исследования: показательные уравнения.

Предмет исследования: условия, при которых решения показательных уравнений с параметрами будет рациональным.

Цель исследования: поиск оптимальных способов решения показательных уравнений с параметрами.

Задачи исследования:

1. Использовать знания теорий показательных уравнений для решения показательных уравнений с параметрами.
2. Рассмотреть графический и аналитический способы решения и выяснить, какой из них является наиболее рациональным.
3. Выработать рекомендации к решению уравнений с параметрами для ознакомления с ними обучающихся.

Гипотеза: является ли аналитический способ решения наиболее рациональным.

Теоретические основы решения уравнений с параметрами

Уравнение, в котором переменная содержится в показателе степени, называется показательным. Это уравнение относительно показательной функции, т.е. функции вида . При решении показательных уравнений используется свойство показательной функции.

Свойства показательной функции:

4. Область определения:
   все действительные числа

D(y) = R;

5. Множество значений:
   все положительные числа

E(y) = (0; + ∞);

6. При    а  > 1 функция возрастающая;
   при  0 < а < 1 функция убывающая

          Параметр — величина, значения которой служат для различения групп элементов некоторого множества между собой.  Например, уравнение y = kx + b задаёт множество прямых на плоскости, k и b в данном случае — параметры прямой, то есть, если предположить, допустим, что k = 2 и b = 7, мы получим конкретную прямую y = 2x + 7: один из элементов множества.

Под термином "уравнение с параметром", фактически, скрывается целое семейство "почти одинаковых уравнений", которые отличаются друг от друга только одним числом (одним слагаемым или одним коэффициентом) и одинаково решаются. Параметр - это число, которое меняется от уравнения к уравнению. В уравнениях с параметрами параметр, будучи фиксированным, но неизвестным числом, имеет как бы двойственную природу. Во-первых, предполагаемая известность позволяет «общаться» с параметром как с числом, а во-вторых, степень свободы общения ограничивается его неизвестностью. Так, деление на выражение, содержащее параметр, извлечение корня чётной степени из подобных выражений требуют предварительных исследований. Как правило, результаты этих исследований влияют и на решение, и на ответ.

При решении уравнений с параметрами надо сделать то, что делается при решении любого уравнения или неравенства – привести заданные уравнения к более простому виду.

Тип 1. Уравнения, которые необходимо решить для всех значений параметра или для значения параметра из заданного промежутка.

Тип 2. Уравнения, где требуется найти количество решений в зависимости от значений параметра.

Тип 3. Уравнения, где необходимо найти значения параметра, при которых задача имеет заданное количество решений.

Тип 4. Уравнения, в которых необходимо найти значения параметра, при которых множество решений удовлетворяет заданным условиям.

В данной работе рассматриваются показательные уравнения с параметрами и определённые алгоритмы, которые могут помочь в решении столь нелёгких заданий.

Основная часть

1.Найти, при каком значении параметра а, уравнение    имеет единственный корень.

Решение:  

Выполним замену: , тогда уравнение примет вид

Получили квадратное уравнение. Данное квадратное уравнение будет иметь единственный корень (два одинаковых) при условии D=0. Этот корень будет равен . Тогда:  не будет иметь решений.

Рассмотрим случай, когда квадратное уравнение будет иметь 2 различных действительных корня. Дискриминант уравнения имеет вид:

D

D > 0, если . Решим неравенство:

При полученных значениях параметра a D>0, а значит квадратное уравнение имеет 2 различных корня. Но данное показательное уравнение будет иметь один корень при условии, что корни квадратного уравнения будут иметь разные знаки. Это выполняется при условии

 , ,

Значит, .        

Следует также отметить, что уравнение будет иметь одно решение, если один из корней квадратного уравнения равен 0, а другой положительный. По условию данного уравнения эта ситуация невозможна, т.к. если один корень равен 0, то тогда второй будет отрицательным.

Ответ:

Рассмотрим графический способ решения этого же уравнения.

Обозначим , тогда уравнение примет вид

Рассмотрим функцию, стоящую в левой части уравнения

Это показательная функция, она возрастающая, график её не пересекает ось x, а пересекает ось y в точке (0;2+b). Построим график функции при b=0. 

График не пересекает ось x, значит данное уравнение при b=0 решения не имеет.

При положительных значения b график поднимется на b единиц вверх, что приведёт к тому, что пересечения с осью x также не будет. График пересечёт ось x только в том случае, когда b будет отрицательным числом. Значит b < 0,   <0, т.е. .

Ответ:

2. При каких значениях параметра  уравнение  имеет 2 корня?

Решение:   (1)

Выполним замену

Уравнение примет вид     (2). Уравнение 1 будет иметь два корня, если уравнение 2 будет иметь 2 корня, и они оба будут положительными. Это выполняется при условии

Решим получившееся неравенство:

Условия, когда оба корня уравнения 2 будут положительными

;         

Ответ:

Рассмотрим графический способ решения этого уравнения.

Пусть тогда уравнение примет вид

Рассмотрим функцию, стоящую в левой части уравнения и построим ее график при  Область определения функции R. Точки пересечения графика с осями координат: с осью OX: ; c осью OY:

Производная функции равна

, значит функция убывает на промежутке

Получается, что при  уравнение будет иметь одно решение. Уравнение будет иметь 2 решения, если .

Ответ:

3. При каких значениях параметра  уравнение   (1) не имеет решений.

Выполним замену: . Уравнение примет вид: . Уравнение 1 не будет иметь решений, если уравнение 2 не будет иметь решений () или уравнение 2 будет иметь решения, и они будут отрицательными, т.е.

Итак, уравнение 2, а значит и уравнение 1 не будет иметь решений при

Рассмотрим вторую ситуацию:

 будет выполняться, если  

 .

Объединяя результаты двух ситуаций получим решение:

Ответ:.

Рассмотрим графический способ решения: Получим уравнение .  Рассмотрим функцию, стоящую в правой части неравенства  .   Построим ее график. График не пересекает ось

=. Найдем критические точки, решив уравнение ,        (0)>0,  (2)<0. Значит,  График имеет вид:

График функции и прямая не имеют точек пересечения при

Ответ:

4.Решить уравнение p · 4x – 4 · 2x + 1 = 0 и указать число решений в зависимости от параметра p 

При каких значениях p уравнение (1) имеет один корень?

Если   одно решение. t = 0  – нет решений, при t < 0 – нет решений.

. 

 Это необходимое условие того, чтобы был единственный корень в уравнении (1). Достаточность нужно проверить.  

одно решение

Если p ≠ 0, D > 0.

Уравнение будет иметь единственное решение при условии. Что дискриминант уравнения (2) есть число положительное, но корни при этом имеют различные знаки. Эти условия достигаются с помощью теоремы Виета. Чтобы корни квадратного трёхчлена были действительными и имели различные знаки, необходимо и достаточно выполнение соотношений.

Итак, уравнение (1) имеет единственное решение при p ≤ 0, p = 4.

При каких условиях исходное уравнение (2) имеет два решения? Это возможно, если уравнение (2) имеет два корня и оба они положительны. По теореме Виета для того, чтобы корни квадратного трёхчлена были действительными и при этом оба были положительными, необходимо и достаточно выполнение соотношений.

Исходное уравнение имеет два корня при 0 < p < 4.

Осталось выяснить при каких значениях p исходное уравнение не имеет корней. Это возможно в двух случаях. Если  D < 0, и если D > 0, то уравнение (2) имеет корни, но они оба отрицательны.

Итак, D < 0, 16 – 4p < 0, p > 4. При p > 4 – нет решений. Второе условие равносильно следующим соотношениям.

Значит уравнение (1) не имеет решений при p > 4.

Ответ: 

1. При p = 4, p ≤ 0  одно решение.
2. При 0 < p < 4  два решения.

При p > 4  нет решений

Заключение

Собрав и изучив способы решения показательных уравнений с параметрами, графический и аналитический, я пришла к выводу, что рациональность того или иного способа зависит от вида уравнения. Если уравнение содержит функцию, исследование и построение графика которой возможно без применения производной, то графический способ более рациональный. Если же построение графика связано со сложным исследованием функции, с применением производной, то более рационален аналитический способ решения. Также, если параметр легко можно выразить в уравнении как функцию, то решение также рационально.

Для меня теоретическая значимость данного исследования заключается в том, что предложенные мною алгоритмы поиска решения полностью обоснованы.

Процесс решения уравнений помог мне приобрести достаточно устойчивые навыки решения уравнений, способствуя тем самым лучше подготовиться к успешной сдаче ЕГЭ.

Практическая значимость заключается в том, что материалы, собранные мной, могут быть использованы одноклассниками для подготовки к ЕГЭ по математике.

Библиографический список

1. Горбачев В.И. Общие методы решения уравнений и неравенств с параметрами. Математика в школе, № 6/1999, с.60-68.
2.Гронштейн П.И.. Полонский В.Б., Якир М.С. Необходимые условия в задачах с параметрами.  Квант, № 11/1991, с. 44–49.
3.Дегтяренко В.А Три решения одной задачи с параметром. Математика в школе, №5/2001, с.62-64.
4.Дорофеев Г.В. и др. Математика: Для поступающих в вузы: Учеб. пособие.(М.: Дрофа,1996.
5.Кожухов С.К. Различные способы решения задач с параметром. Математика в школе, №6/1998, с.9-12.