Графики функций и замечательные кривые на уроках физической культуры

Управление образования администрации

муниципального образования «Холмский городской округ»

Муниципальное автономное общеобразовательное учреждение

средняя общеобразовательная школа № 8 г. Холмска

муниципального образования «Холмский городской округ» Сахалинской области

Графики функций и замечательные кривые

на уроках физической культуры

Выполнил проект:

ПАНОВ КИРИЛЛ,

ученик 7 «А» класса;

БУЗУЛУКОВ ДАНИЛА, ученик 6 класса

Руководитель проекта:

МАРТЫНОВА

ЯНА ЛЕОНИДОВНА,

учитель физической культуры

Холмск,

2018

     ВВЕДЕНИЕ

 «Геометрия является самым могущественным средством для изощрения наших умственных способностей и дает нам возможность правильно мыслить и рассуждать.»

 Г. Галилей

Вы когда-нибудь задумывались над тем, чем же являются самые обыкновенные линии в жизни?

Современный человек живет в меняющимся мире связей и зависимостей, а лучшего способа их выразить, чем графики нет.

 Понятие линии (кривой) возникло в сознании человека в доисторические времена. Траектория брошенного камня, очертание цветов и листьев растений, извилистая линия берега и другие явления природы с давних пор привлекли внимание людей. Наблюдаемые многократно, они послужили основой для постепенного установления понятия о линии. Но потребовался значительный промежуток времени для того, чтобы наши предки стали сравнивать между собой формы кривых.

Первые рисунки на стенах пещер, примитивные орнаменты на домашней утвари показывают, что люди умели не только отличать прямую от кривой, но и различать отдельные кривые.

В разговорном языке «кривая», «кривой» «кривое» употребляется, как прилагательные, обозначающие, то что откланяется от прямого, от правильного, от справедливого. Говорят о кривой палке, кривой дороге, о кривом зеркале; «без соли, и стол кривой» - гласит пословица.

Так же и сегодня, все что нас окружает, состоит из множества черт, которые, в свою очередь, складываются из различных кривых. В силу частой встречаемости кривые находят широкое практическое применение: они встречаются в быту, живописи, архитектуре, природе... Например, по круговой траектории движутся люди при катании на колесе обозрения, карусели, по эллипсам движутся планеты вокруг Солнца, по параболе  –  тело в однородном поле силы тяжести, брошенное под углом (баскетбольный мяч)

Знакомство с линями, изучение их свойств позволит расширить геометрические представления, углубить знания, повысить интерес к физической культуре и геометрии; создаст содержательную основу для дальнейшего изучения траектории движения, математики, физики и других наук.

Все вышесказанное подчеркивает актуальность выбранной темы этой работы.

Цель работы: Описать некоторые из упражнений по физической культуре с помощью графиков.

Гипотеза: Мы предположили, что описывая упражнения по физической культуре при помощи графиков повысит интерес к упражнениям и межпредметную связь с математикой.

Объектом проекта явились графики, описывающие траекторию движения.

Задачи:

• Познакомиться с графиками, замечательными кривыми, которые встречаются и имеют практическое применение на уроках физической культуры.
• проанализировать умение старшеклассников сопоставлять графики с траекторией движения.
• изучить знание графиков функций учащимися 9-11 классов нашей школы.

В данной работе нами собран материал с уклоном на практическое построение кривых, большое внимание уделяется применению линий и кривых для описания движения. При работе над темой мы использовали материалы учебников по алгебре и геометрии за 7-11 класс, учебную литературу для ВУЗов и интернет ресурсы. Также нами был проведен анонимный опрос с помощью анкетирования среди обучающихся 9-11 классов нашей школы на предмет знания названия некоторых замечательных кривых и их интерпретации на уроках физической культуры.

 В своей работе изучение каждой кривой мы рассмотрели в трех направлениях:

-графики кривой;

- практическое применение в жизни и быту;

-применение на уроках физической культуры для описания траектории движения.

ГЛАВА 1. КОНИЧЕСКИЕ СЕЧЕНИЯ

Конические сечения -  плоские кривые, которые получаются пересечением прямого кругового конуса плоскостью, не проходящей через его вершину. С точки зрения аналитической геометрии коническое сечение представляет собой геометрическое место точек, удовлетворяющих уравнению второго порядка. Коническими сечениями являются эллипсы, гиперболы или параболы (рис.1).

Конические сечения часто встречаются в природе и технике. Например, орбиты планет, вращающиеся вокруг Солнца, имеют форму эллипсов. Окружность представляет собой частный случай эллипса, у которого большая ось равна малой. Параболическое зеркало обладает тем свойством, что все падающие лучи, параллельные его оси, сходятся в одной точке (фокусе). Это используется в большинстве телескопов-рефлекторов, где применяются параболические зеркала, а также в антеннах радаров и специальных микрофонах с параболическими отражателями. От источника света, помещенного в фокусе параболического отражателя, исходит пучок параллельных лучей. Поэтому в мощных прожекторах и автомобильных фарах используются параболические зеркала.

Открывателем конических сечений предположительно считается Менехм  (4 в. до н.э.), ученик Платона и учитель Александра Македонского. Трактаты о конических сечениях, написанные Аристеем и Евклидом в конце 4 в. до н.э., были утеряны, но материалы из них вошли в знаменитые Конические сечения Аполлония Пергского (ок. 260–170  до  н.э.),  которые сохранились до нашего времени. Аполлонию мы обязаны и современными названиями кривых – эллипс, парабола и гипербола.

Замечательные кривые -  эллипс, гипербола и парабола объединяются общим свойством. Каждая из них может быть получена при пересечении конуса плоскостью.

Поэтому их называют коническими сечениями (рис.1) 

Рис.1

1.1 Эллипс

О свойствах эллипсов во всех подробностях могут рассказать специалисты, изучающие движение небесных тел. Согласно закону, открытому в начале XVII в. немецким астрономом Иоганном Кеплером, все планеты движутся вокруг Солнца по орбитам, имеющим форму эллипса (рис.2).

Рис. 2

У эллипса есть несколько замечательных  свойств,  каждое  из  которых можно применять за его определение. Начнем с того, что эллипс – это «сплюснутая», а точнее, равномерно сжатая к своему диаметру окружность. Другими словами, из окружности получается эллипс, если все ее точки приблизить к выбранному диаметру, сократив расстояние в одно и то де число раз.

В нашей жизни эллипсы встречаются гораздо чаще, чем кажется. Например, когда мы режем наискосок колбасу, то получающееся сечение, которое имеет эллиптическую форму.

У эллипса есть целый ряд свойств, которые могут иметь самые неожиданные применения.

В форме эллипса распространяются  акустические  волны,  что  используют архитекторы для создания поразительных звуковых эффектов: «говорящих» бюстов, «магического» шёпота, «потусторонних» звуков Это свойство лежит в основе интересного акустического эффекта, наблюдаемого в некоторых пещерах и  искусственных  сооружений,  своды  которых  имеют эллиптическую форму.

Частным примером эллипса является окружность. Примером окружности является упражнение вращения на перекладине. Любая точка тела учащегося при выполнении этого упражнения будет описывать окружность.

1.2 Парабола

Эта замечательная кривая не так уж редка в природе. Например, камень, брошенный человеком под углом к поверхности Земли, описывает параболу (рис.3)

Рис.3

По легенде, Архимед из Сиракуз сжёг флот римлян, обороняя свой город с помощью параболических зеркал. Свойства таких зеркал применяют при конструировании солнечных печей, телескопов и др.

Согласно проведенного опроса на уроках физической культуры парабола ассоциируется у учащихся с прыжками в высоту, полетом баскетбольного мяча в корзину и траекторией полета волейбольного мяча.

1.3 Гипербола

Термин «гипербола» (греч. ὑπερβολή — избыток) был введён Аполлонием Пергским (ок. 262 год до н. э. — ок. 190 год до н. э.). Гипербола (рис.4) является графиком многих важных физических соотношений, например, закона Бойля (связывающего давление и объем идеального газа) и закона Ома, задающего электрический ток как функцию сопротивления при постоянном напряжении.

Рис.4

Свойства гиперболоида использовали при строительстве радиостанции в Москве (рис.5), Эйфелевой башни в Париже (рис.6).

              Рис.5                                                     Рис.6

Гиперболы используют для определения расстояния до источника звука. При скорости больше 11,1 км/с тело будет двигаться по гиперболе и навсегда уйдёт от Земли.   Не разгоняйтесь очень сильно!

Гипербола в литературе -это художественный приём, который заключается в намеренном преувеличении масштабов явления с целью придания фразе большей выразительности и эмоционального накала. Примеры: «я тебе 100500 раз уже об этом говорил!» 
«у нас ещё патронов вагон и маленькая тележка, прорвёмся!» 
«мне до вашего сердца, мадам, как до Луны пешком!» 

На уроках физической культуры мы не нашли образа для гиперболы, так как еще не развили скорости свыше 11 км/с в беге, чтобы выйти в космос, после каждого прыжка вверх, сила притяжения заставляет нас приземляться.

ГЛАВА 2. ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ КРИВЫЕ

2.1. Циклоида

                                           Рис.1

Изучением кривых занимались многие астрономы, механики, математики. Из большого многообразия кривых можно выделить целое семейство линий, которые похожи на формы цветов, листьев клена, щавеля, ивы и т.д.- это циклоидальные кривые.

Что общего между словами «цирк», «циркуль», «мотоцикл»?... Оказывается, в них прячется одно и то же греческое слово «киклос» - «круг», «окружность». Слово «циклоида» также принадлежит этому ряду, и не случайно.

Циклоидой именуют кривую, которая описывает точка окружности, катящейся без скольжения по неподвижной прямой.

Название кривой дал Галилео Галилей, впервые обративший на нее внимание. Простота и изящество определения циклоиды привлекали к ней многих математиков XVII-XVIII вв.  Ею занимались Паскаль, Лейбниц, Гюйгенс, Даниил Бернулли. Прикрепим к обручу световой источник и будем катить обруч по залу. Проследим траекторию движения точки, она будет вычерчивать кривую (рис. 1), называемую циклоидой. Одному обороту обруча соответствует одна «арка» циклоиды, если обруч будет катиться дальше, то будут получаться еще и еще арки той же циклоиды.

Из предложенной нами анкеты ученики старших классов нашей школы с циклоидой сравнивают прыжки-многоскоки.

 А если мы прикрепим источник света к голове и сделаем несколько кувырков вперед, то получим удлинённую циклоиду (рис.2), что и показали результаты проведенного анкетирования.

Рис.2

2.2 Синусоида.

Синусоида – волнообразная плоская кривая, которая является графиком тригонометрической функции y = sin x в прямоугольной системе координат (рис. 3).

Рис.3

Практическое применение в жизни – это колебания маятника, колебания напряжения в электрической сети, гармонические колебания воздуха – звук. В медицине – гармонические колебания работы сердца синусоидальный ритм (рис.4). 

Рис.4

Лишь некоторые из учеников смогли соотнести эту кривую с траекторией движения, определив ее, как след от передвижения при беге змейкой. Мы бы от себя добавили, что этим графиком характеризуется передвижения широким шагом.

2.3 Спираль Архимеда и логарифмическая спираль.

Безобидная воронка, образованной вытекающей из ванны водой; свирепый смерч, опустошающий все на своем пути; величественный круговорот гигантского космического вихря туманностей и галактик  –  все они имеют форму спиралей.

В переводе с латыни спираль означает «изгиб», «извив».

2.3.1 Спираль Архимеда.

Геометрическим свойством, характеризующим спираль Архимеда (рис.5), является постоянство расстояний между витками.

Рис. 5

По спирали Архимеда идёт, например, звуковая дорожка (рис.6).

Рис. 6

2.3.2 Логарифмическая спираль

Слово логарифм происходит от греческого (число, отношение), и переводится как отношение чисел (рис.7)

 Расстояния между витками у спирали Архимеда одинаковы, а в логарифмической спирали - нет.

Рис.7

Логарифмическая спираль часто встречается в природе.

Рис.8

Раковины морских животных могут расти лишь в одном направлении. Чтобы не слишком вытягиваться им приходиться скручиваться, причём каждый следующий виток подобен предыдущему. Поэтому раковины многих моллюсков, улиток (рис.9), а так же рога таких млекопитающих как архары (горные козлы), закручены по логарифмической спирали (рис.10). А такой рост может совершаться лишь по логарифмической спирали, можно сказать, что эта спираль является математическим символом соотношения форм роста.

Рис. 9                                                         Рис.10

По логарифмическим спиралям закручены и многие галактики, в частности, галактика, которой принадлежит Солнечная Система.

Рис.11

По спирали кружит светлячок и гимнастическая лента, при раскручивании ее по окружности.

2.4 Кардиоида и Улитка Паскаля

Понаблюдаем за какой-нибудь точкой окружности, когда последняя катится по внешней стороне неподвижной окружности равного радиуса. Траекторией точки будет кардиоида (рис. )

Рис.

По мнению математиков, придумавших название кривой, она отдаленно напоминает форму сердца (греческое слово «кардиа» означает «сердце»).  

Рис.

Это сердце, которое бьется в нашей груди. Мы всем сердцем любим наших родных и близких, наших друзей, нашу замечательную школу, наших преподавателей и их уроки.

Заключение

 Подводя итоги нашей работы, напомним, что целью работы переложить траектории движения на уроках физической культуры в графики, а так же их применение не только в математике, но и в жизни человека.

По результатам анкетирования можно сказать, что ученики нашей школы испытывают затруднения в названиях графиков функций, некоторые путают названия гиперболы и параболы. Также нами было замечено, что опрошенные затрачивают много времени на то, чтобы вспомнить движение, соответствующее графику.

Это еще раз убедило нас в актуальности нашей работы.

Несмотря на все его разнообразия форм, черт, линий, можно представить, что этот мир состоит из множества кривых.  

Замечательные кривые часто встречаются в природе и жизни. Мы их видим каждый день!

Список  литературы 

1. А. И. Маркушевич «Замечательные кривые»; Москва; ―Наука - 1978г. 32

 2. Г. Штейнгауз «Математический калейдоскоп»; Москва; ―ГосТехИздат  - 1949г.

3. Г. Н. Берман «Циклоида»; Москва; ―ГосТехИздат - 1954г.

4. М. Д. Аксенова «Энциклопедия для детей. Математика том11», Москва; Издательский центр «Аванта+», 1998г.

5. Энциклопедический словарь юного математика/Сост. Э-68 А. П. Савин. – М.: Издательство «Педагогика», 1989 г.

6. http://www.college.ru/mathematics/

ПРИЛОЖЕНИЕ 1

Анкета

ПРИЛОЖЕНИЕ 2

Кроссворд

1. Сплюснутый круг.

2. Учитель Менехма -открывателя конических сечений.

3. График квадратичной функции.

4. Ученый из Сиракуз.

5. «Кардиа» в переводе с греческого.  

6. График функции, описывающей закон Ома для участка электрической цепи.

7. В честь какого ученого была названа кардиоида.

8. Название какой кривой дал Галилео Галилей?