Квадратные уравнения

         КОМИТЕТ  ОБРАЗОВАНИЯ, НАУКИ И МОЛОДЕЖНОЙ ПОЛИТИКИ ВОЛГОГРАДСКОЙ ОБЛАСТИ

          ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

 «ВОЛГОГРАДСКИЙ КОЛЛЕДЖ УПРАВЛЕНИЯ И НОВЫХ ТЕХНОЛОГИЙ»

 (ГБПОУ ВКУиНТ)

ИНДИВИДУАЛЬНЫЙ ПРОЕКТ

по учебной дисциплине

Математика

Тема: Квадратные уравнения, прошлое и настоящее

Выполнил студенты

гр. ЭБ/БД - 17

Бахмачева Е.В.

Исаев В.В.

Руководитель проекта

преподаватель

Зотова И.В.

2018

Содержание

Введение

Данный проект позволяет  взглянуть на данную тему, через призму исторических фактов, узнать о возможности решения квадратных уравнений геометрическим способом, познакомиться с фактами жизни ученых, занимавшихся квадратными уравнениями.

Квадратное уравнение – это фундамент, на котором построено огромное здание алгебры.

История алгебры уходит своими корнями в древние времена. Задачи, связанные  с квадратными уравнениями, решались ещё в Древнем Египте, Индии, Китае и Вавилоне. Теория уравнений интересовала и интересует математиков всех времен и народов.        

На протяжении столетий ученые, писавшие на арабском языке, пользовались громоздкой и труднообозримой словесной записью алгебраических выражений. Алгебра была словесной или риторической – не употреблялось никаких символов. Даже такие условные знаки математики как >, <, а3, символы х, у для обозначения неизвестных появились в семнадцатом веке, знак = и – в шестнадцатом. Начало процесса совершенствования математических обозначений относится к концу XV века[3]. Такое совершенствование становится необходимым условием для дальнейшего прогресса математических знаний. Становление буквенной символики происходило весьма медленно. На протяжении целого столетия накапливались лишь отдельные элементы в усовершенствовании обозначений.

Только в конце XVI века в трудах французского математика Франсуа Виета буквенное исчисление кладется в основу алгебры.

Невольно возникают вопросы: как решали квадратные уравнения, если не было математической символики; кто впервые вывел формулу корней квадратного уравнения, почему Франсуа Виета называют отцом символической алгебры, какие ученые внесли значительный вклад в науку о решении уравнений, существуют ли формулы корней уравнений 3-й и 4-й степеней, что происходило с развитием математических знаний в Европе в XII- XV веках,  почему работы по математике стали возможны в Европе только с XVI века, с какого времени алгебра как наука принимает современный вид. На эти вопросы предстояло ответить при выполнении проектно-исследовательской работы. Работа носит информационный характер, так как происходил сбор информации о решении уравнений, эта информация изучалась, происходил отбор того материала, который отвечал на поставленные вопросы.

Актуальность  темы. Уравнения в школьном курсе алгебры занимают ведущее место. На их изучение отводится времени больше, чем на любую другую тему школьного курса математики. Выбор данной темы обусловлен ее актуальностью в современном мире. Это объясняется тем, что квадратные уравнения широко используются в различных разделах математики, в решении важных прикладных задач.

Цель работы: способствовать формированию единого, а не фрагментарного представления о развитии человеческой общности в заданный исторический период. Показать взаимную связь общественного развития с развитием науки в XVI – XVII века. Проследить за отражением политических событий на жизни конкретных ученых.

Задачи работы:

- познакомиться с информацией о развитии вопроса о решении уравнений в процессе формирования науки алгебры;

- сформировать  представление об исторической эпохе XVI–XVII веков;

- узнать какое участие принимал Франсуа Виет  в исторических событиях;

- узнать, какие математики внесли достойный вклад в создание науки алгебры,  в создание теории  и практики решения квадратных уравнений;

- найти   ответ  на  вопрос:  какие  ученые  математики  привели  решение  квадратных  уравнений  в  более  современный  вид.

Предмет исследования: история развития науки о решении квадратных уравнений.

Объект исследования: вклад математиков разных времен в развитие науки  о решении квадратных уравнений.

          Гипотеза: наука о решении квадратных уравнений развивалась на протяжении многих веков, прошла тернистый исторический путь, в ее развитие сделан вклад многих ученых благодаря пытливости человеческого ума, которая является ключом к развитию науки, не дают покоя во все времена людям мыслящим, любознательным, и разум, желания людей понять себя, свою сущность, свое место в мире, к этому люди стремились во все времена.

Методы исследования: аналитический и поисковый.

Ожидаемые результаты: В ходе выполнения данной работы, можно расширить свои знания в области математики, ответить на поставленные вопросы, выяснить, взаимную связь общественного развития с развитием науки в XVI – XVII века, проследить, как политические события отражаются на жизни и деятельности  некоторых математиков ученых, сделавших большой вклад  в развитие алгебры.

Глава I. История развития квадратных уравнений

1.1. Классификация   квадратных  уравнений

Квадратным уравнением называется уравнение вида      , где x – переменная, a, b и c – некоторые числа, причем

а)  Полные и неполные.

Полное квадратное уравнение – это квадратное уравнение, у которого коэффициенты  b и  c отличны от нуля.

Квадратное уравнение   называют неполным, если хотя бы один из коэффициентов b или c равен нулю. Таким образом, неполное квадратное уравнение есть уравнение одного из следующих видов:
    1) ,  b=0, c=0

2) , b=0

3), c=0

Подчеркнем, что в этих уравнениях коэффициент a не равен нулю. Способы решения неполных квадратных уравнений.

       1)  если b = 0 и c = 0 , то уравнение принимает вид   ,  значит , откуда x =0.  

       2)  если b = 0, то уравнение принимает вид  ,  откуда                 x  = ,    тогда  ,    .  

        3) если с = 0 , то уравнение принимает  вид ,   вынесем x за скобки, получим ,  откуда-либо  x = 0, либо  x = .

Б)  Приведенные и не приведенные.

Квадратные уравнения, в которых старший коэффициент равен 1, называются приведенными, в остальных случаях не приведенными.

Чтобы из не приведенного уравнения вида  получить приведенное, необходимо разделить каждое слагаемое на первый коэффициент , получим приведенное квадратное уравнение [8].

Глава II. Квадратные уравнения в различные века

2.1.  Древний Вавилон (I тысячелетие до н.э.)

Имена математиков этого времени не сохранились. Вся информация  современных ученых заимствована из клинописных табличек. Математика  в то время считалась знанием для избранных, ей владели жрецы, которые тщательно оберегали информацию от  непосвященных.  Основным принципом того времени было указание к действию (делай как Я). Объяснение при решении уравнений в то время отсутствует. Вывода формул нет. Дается только рецепт решения конкретного квадратного уравнения, алгоритм носит общий характер. Правило решения этих уравнений, изложенное в вавилонских текстах, совпадает по существу с современным, однако неизвестно, каким образом дошли вавилоняне до этого правила. Несмотря на высокий уровень развития алгебры в Вавилоне, в клинописных текстах отсутствуют понятие отрицательного числа и общие методы решения квадратных уравнений.

Перенесемся теперь в Античный мир.

2.2. Античный мир (II век до н. э. – IV век н.э., Архимед, Евклид)

Метод решения квадратных уравнений разработал Евклид. Раньше уравнения решали по образцу, ничего не объясняя (существовало правило –  делай как я). 
В Античности появляется обязательное требования объяснять решение (почему что-то случилось, что произошло?). Поэтому теперь посмотрим  на квадратное уравнение с точки зрения геометрии.

Задача 1.

Дано уравнение: 

Отрицательных чисел  в те века еще не знали, приблизился к ним только   Диофант. Поэтому рассматриваем решение, используя только положительные числа.

В этом уравнении коэффициенты  р > 0,  q > 0.         x =  .  

Записанное выражение напоминает теорему Пифагора. Если рассматривать , то проводя параллель с теоремой Пифагора можно догадаться, что находим катет (т.к. стоит знак минус). В этом случае гипотенуза равна , катет .

.

Выполним построение прямоугольного треугольника  с помощью циркуля:

С центром в точке Р построим полуокружность радиусом РА =  (РА – гипотенуза). От точки Р  отложим вправо отрезокРМ =  (отрезок РМ – катет).

В этом случае расстояния СМ и КМ:

СМ = x1 = , КМ = x2 = , (РС = РА = РК = ).

Для решения алгебраической задачи использовалась геометрия. В древности  часто  встречался  синтез алгебры с геометрией [4].

Теперь отправимся дальше.

2.3. Средневековый Восток (IX век н.э. аль-Хорезми)

В эти века все вычисления производились в уме, все объяснялось на словах,  поэтому за решение очень сложно уследить, т.к. всё считается устно и вся информация держится в голове.
Задачи решались геометрическим способом. Мы знаем среднеазиатского математика аль-Хорезми, он дал классификацию линейных и квадратных уравнений и способы их решения. Общее решение квадратного уравнения он не рассматривал, т.к. его не интересовали уравнения, у которых не было ни одного положительного корня. Он старался записать уравнение так, чтобы все его члены выступали в качестве слагаемых, а не вычитаемых.  Аль-Хорезми рассматривал пять типов квадратных уравнений:

ax2 +bx=c ; ax2 +c=bx ;ax2 =bx+c ;ax2 =bx ;ax2  = c.

Почему? В то время еще не  знали отрицательных чисел, Идея отрицательных чисел вносит общие методы решения, упрощает алгоритм. Кроме алгебраического способа нахождения корня уравнения аль-Хорезми обычно предлагал и геометрический [8].

Задача 2.

Квадрат  и десять его корней равны 39. Рассмотрим  геометрическое решение уравнения х2 + 10х = 39.
Рисуем квадрат,  сторона которого обозначается неизвестной величиной х.
x2  –  площадь квадрата со стороной x, 10x – площадь прямоугольника со сторонами 10 и x.

Раздвои число корней (корней 10, раздвоили, получили 5).

Построй большой квадрат.
Площадь маленького квадрата 25.Площадь заштрихованной фигуры 39.
Что можем  найти? Площадь большого квадрата равна  39 + 25 = 64
Вся площадь целиком  SABCD = 64. т.е. (х + 5) = 64, х = 3
Возникает вопрос: «Где ещё один корень?». Второй корень отрицательный.  (По теореме Виета  – 39 : 3 = – 13 ).  х2 = – 13  
(Раздвоить прямоугольники удалось легко за счёт четного коэффициента. Это  наглядно, красиво, просто, но тяжело для других уравнений. Поэтому такой способ решения не развился дальше.)

2.4.  Европа. Эпоха Возрождения

 (рассмотрим конкретное время – XVI век н. э. Франсуа Виет)

Невозможно сейчас представить математику специальных обозначений. Создателем алгебраической символики и формул  по праву считается  французский математик Франсуа Виет. Он писал: «Искусство, которое я излагаю, ново или, по крайней мере, настолько испорчено временем и искажено влиянием варваров, что я счел нужным придать ему совершенно новый вид». Хотя символика Виета и обладала некоторыми недостатками, тем не менее это был огромный шаг вперед. А вот древние математики вполне обходились без буквенных обозначений и специальных правил оперирования с ними.

Сын прокурора, Виет получил юридическое образование и начал адвокатскую практику. Но вскоре он стал секретарем и домашним учителем в доме знатного дворянина-гугенота де Партеней. Тогда Виет очень увлекся изучением  астрономии и тригонометрии. Знакомство Виета с Генрихом Наваррским, будущим королем Франции Генрихом IV помогло Виету занять видную придворную должность – тайного советника. 
Одним из самых замечательных достижений Виета на королевской службе была разгадка шифра, в котором насчитывалось более 500 знаков, менявшихся время от времени. Этим шифром пользовались недруги французского короля  в Нидерландах для переписки с испанским двором.  Хотя французы часто перехватывали письма из Испании, расшифровать их никто не мог. Только Виет быстро нашел ключ. Испанцы не представляли себе всего могущества человеческого ума. Они думали, что  французам помогает  дьявол. Они даже жаловались римскому папе и просили его  уничтожить  дьявольскую силу[1].

Основа метода – любое полное уравнение заменой переменных сводим к неполному квадратному уравнению. Эта идея дала толчок развитию математики. Появился вопрос: «А можно ли решать уравнения третьей, четвёртой, пятой и высших степеней. Существует ли  общий метод решения более сложных уравнений?» Формула решения квадратного уравнения известна с незапамятных времен. В XVI в. Итальянские алгебраисты решили в радикалах уравнения третьей и четвертой степеней. Было установлено, что корни любого уравнения не выше четвертой степени выражаются через коэффициенты уравнения формулой, в которой используются только четыре арифметические операции (сложение, вычитание, умножение и деление) и извлечение корней степени не превышающей степень уравнения. Кроме того все уравнения данной степени можно «обслужить» одной формулой. После этого естественно возник вопрос: а есть ли похожие формулы для решения уравнений пятой степени и выше. Общей формулы для таких уравнений не существует. Это доказал молодой норвежский ученый Нильс Хенрик Абель. Однако, это не означает, что невозможно решить те или иные  частные виды уравнений высоких степеней. Новые открытия в решении уравнений  сделал французский ученый Эварист Галуа. Эварист Галуа погиб на дуэли в 20 лет. Свои результаты он изложил в письме, написанном в ночь перед поединком. Потребовались десятилетия, чтобы теория Галуа стала понятна математикам  квадратных уравнений, а в простейших случаях находить и корни уравнений[7].

2.5. Решение квадратных уравнений принимает  современный вид

Исследование было бы не полным, если бы не был найден ответ на вопрос: какие математики завершили работу Виета, привели решение квадратных уравнений к современному виду.

Назовем еще одно имя – Декарт. Вначале  он готовился к военной карьере, но увлекся математикой, которая привлекла его достоверностью своих выводов. Но и ему не было условий для научной работы. Иезуиты выступают против учения Декарта, угрожают ему расправой и заставляют покинуть Францию. Декарт внес большой вклад в геометрию, алгебру. С его именем связаны такие понятия, как координаты, произведение, парабола, овал и другие.

Декарт всю жизнь опасался неодобрения со стороны  могущественного ордена  иезуитов. Еще  свежи в   памяти страшные преследования инквизиции и, конечно, боялся преследований иезуитов. Декарт был мишенью для яростных нападок церковников. Впоследствии произведения Декарта были присуждены к сожжению как еретические[10]. 

В «Библиографическом словаре деятелей в области математики» (авторы Бородин А.И., Бугай А.С.) найден ответ на вопрос, кто дал окончательный вывод общей  формулы для решения полного квадратного уравнения ах2+bх+с=0. Это сделал голландский математик Альберт Жирар в своем главном труде «Новые открытия в алгебре» в 1629 году. Жерар дал геометрическое объяснение отрицательным корням уравнения как направленным отрезкам, первым признал нуль корнем уравнения, и, следовательно, числом[1].

Заключение

Назовем имена ученых, которые внесли достойный вклад в развитие теории решения квадратных уравнений:

Штифель (1486 – 1567, Германия)  в 1544 году сформировал общее правило решения квадратных уравнений, приведённых  к  единому каноническому виду  х2 + b x = c при всевозможных комбинациях знаков и коэффициентов b  и  c.

Франсуа Виет (1540 – 1603, Франция) вывел формулы решения квадратного уравнения в общем виде, однако он  признавал только положительные числа.

Итальянские  учёные Тарталья (1500-1557), Кардано (1501-1576), Бомбелли (1526-1572) среди первых в XVI веке учитывают, помимо положительных, и отрицательные корни.

В XVII веке благодаря трудам Жирара (1595-1632, Голландия), Декарта (1596-1650, Франция), Ньютона (1643-1727, Англия) и других учёных, способ решения квадратных уравнений принимает современный вид[11].

 В проекте мы  постарались  найти и дать ответ на вопрос: какова взаимная связь общественного развития с развитием науки того сурового времени, когда господствовала католическая церковь со своим церковным судом-инквизицией, проследили за отражением политических событий на жизни конкретных ученых.

 Выводы

• Развитие науки о решении квадратных уравнений прошло длинный и тернистый путь.
• Только после трудов Штифеля, Виета, Тартальи, Кардано, Бомбелли, Жирара,  Декарта, Ньютона наука о решении квадратных уравнений приняла современный вид.
• Ученые не могли оказаться вне событий, которыми жило общество того времени. И Виет оказался вовлечен в водоворот этих событий. С одной стороны  – он занимался юридической деятельностью, а с другой - научной деятельностью.
• Пытливость человеческого ума, которая является ключом к развитию науки, не дают покоя во все времена людям мыслящим, любознательным. Разум. Понять себя, свою сущность, свое место в мире люди стремились во все времена – вот что двигало ученых в такое непростое время заниматься наукой, даже под угрозой смерти[9].  

Список использованных источников:

1. Дорофеева А.В. Страницы истории на уроках  математики: книга для учителя/.- М.: Просвещение,2015.-96с.;

2. Самин Д. К. 100 великих ученых/. - М.: Вече, 2014 – 522 с.;

3. Энциклопедия для детей. Т.11.Математика/.-М.:Аванта+, 1998.-688с.;

4. http://ru.wikipedia.org/wiki

5. taina.aib.ru/biography/fransua-viet.htm

6. mathc.chat.ru/gm/g_math8.htm

7. bibliotekar.ru/100otkr/44.htm

8. lineyka.inf.ua/history_math/viyet/

9. ru.wikipedia.org/wiki/Квадратное_уравнение

10. ru.wikipedia.org/wiki/Святая_инквизиция