"Функции вокруг нас. Необычное в привычном"

Российская Федерация

УПРАВЛЕНИЕ ОБРАЗОВАНИЯ АДМИНИСТРАЦИИ МУНИЦИПАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ ГУСЬ-ХРУСТАЛЬНЫЙ РАЙОН (МУНИЦИПАЛЬНЫЙ РАЙОН) ВЛАДИМИРСКОЙ ОБЛАСТИ

МУНИЦИПАЛЬНОЕ КАЗЕННОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

 ДЕМИДОВСКАЯ СРЕДНЯЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ШКОЛА

(МКОУ  ДЕМИДОВСКАЯ СОШ)

Проект по математике "Функции вокруг нас. Необычное в привычном"

Автор проекта: Дубова Валерия,

ученица 10 класса

Руководитель проекта: Серегина Людмила Александровна,

учитель математики высшей квалификационной категории

2015 г.

Функция – это одно из основных общенаучных и математических понятий, выражающее зависимость между переменными величинами.

Введение

                                                         «Когда математика стала изучать переменные

                                                       величины и функции, как только она научилась описывать процессы, движение, так она стала необходима всем».

Ф. Энгельс

Наука неисчерпаема, но этим она и интересна. Познание ее приносит человеку настоящую радость. Каждая область знаний: физика, химия, биология, социология, лингвистика и т. д. имеет свои объекты изучения, устанавливает свойства и, что особенно важно, взаимосвязи этих объектов.

Функции – математические портреты устойчивых закономерностей природы. Функции позволяют воспринимать зависимость различных величин как живой, изменяющийся процесс. Человек, владеющий ими, способен видеть процесс взаимосвязи явлений окружающего мира в динамике. Это помогает проникать в саму суть физических явлений, заданных аналитически, позволяет решать сложные задачи графически, осуществлять переход от формулы к функциональной зависимости.

         В различных науках и областях человеческой деятельности возникают количественные соотношения, и математика изучает их в виде свойств чисел. Математика рассматривает абстрактные переменные величины и в отвлеченном виде, изучает различные законы их взаимосвязи, которые на математическом языке называются функциональными зависимостями, или функциями. И где бы конкретно ни появилась эта зависимость, сделанное абстрактное математическое заключение можно применять в конкретной ситуации к любым конкретным объектам.

Наблюдая различные процессы и явления, мы стараемся разглядеть самые существенные их черты, самые глубокие закономерности. Часто они оказываются общими для широчайшего круга наблюдаемых событий. Общей оказывается и математическая модель, построенная на основе этих закономерностей.

Функция – это одно из основных общенаучных и математических понятий, выражающее зависимость между переменными величинами.

Математические формулы – лишь удобный язык для изложения идей и методов математики. Сами же эти идеи можно описать используя привычные и наглядные образы из окружающей жизни.

Систематизируя наиболее устойчивые и поддающиеся осмыслению взаимозависимости, человек научился рассматривать их, как частный случай сравнительно немногих общих соотношений. Человек назвал их законами природы. Знание законов природы дало человеку возможность объяснить и предсказывать её разнообразнейшие явления.

Всем известно, что без математики не существует ни одна наука. Как сказал К. Ф. Гаусс: «Математика – царица наук». Бесспорно, ее значение и применение в физике, химии, биологии, экономике, географии, информатике, логистике и других науках трудно переоценить. В них она нужна как строгий, необходимый инструмент, без которого существование этих наук было бы невозможно. Метапредметные и межпредметные связи между этими науками изучаются в школьном курсе. Я считаю, что в изучении любого предмета должна быть связь с реальной жизнью.

В рамках одной работы невозможно полностью показать все многообразие применений функций и их исследований, поэтому

целью моей работы является показать некоторые примеры нестандартного взгляда на применение математических понятий и функций в окружающей нас жизни.

То, что на первый взгляд ускользает из поля зрения, и на что не всегда можно обратить внимание.

Тем не менее, это очень интересно и познавательно - видеть знакомое в незнакомом!

I. Функции в математике

1. Из истории возникновения функции. Определения функции.

Люди впервые поняли, что окружающие их явления взаимосвязаны, достаточно давно. Они ещё не умели считать, писать, но уже интуитивно чувствовали, и на практике проверяли некоторые закономерности и делали выводы. С развитием скотоводства и земледелия, ремесла и обмена увеличилось количество известных людям зависимостей между величинами.

Идея функциональной зависимости восходит к древности, она содержится уже в первых математически выраженных соотношениях между величинами, в первых правилах действий над числами, в первых формулах для нахождения площади и объема тех или иных фигур.

Однако явное и вполне сознательное применение понятия функции и систематическое изучение функциональной зависимости берут своё начало в XVII в. в связи с проникновением в математику идеи переменных. Оно сыграло и поныне большую роль в познании реального мира.

Чёткого представления понятия функции в XVII в. ещё не было, однако путь к первому такому определению проложил Декарт, который систематически рассматривал в своей «Геометрии» лишь те кривые, которые можно точно представить с помощью уравнений, притом преимущественно алгебраических. Постепенно понятие функции стало отождествляться таким образом с понятием аналитического выражения – формулы.

Термин «функция» (в некотором более узком смысле) был впервые использован Лейбницем (1692 год).

Первоначально понятие функции было неотличимо от понятия аналитического представления. Впоследствии появилось определение функции, данное Эйлером (1751 год), затем — у Лакруа (1806 год) — уже практически в современном виде. Наконец, общее определение функции (в современной форме, но для числовых функций) было дано Лобачевским (1834 год) и Дирихле (1837 год).

К концу XIX века понятие функции переросло рамки числовых систем. Первыми это сделали векторные функции, вскоре Фреге ввёл логические функции (1879), а после появления теории множеств Дедекинд (1887) и Пеано (1911) сформулировали современное универсальное определение.

 Слово «функция» (от латинского functio – совершение, выполнение) Лейбниц употреблял с 1673 г. в смысле роли (величина, выполняющая ту или иную функцию). Как термин в нашем смысле выражение «функция от x» стало употребляться впервые в 1718 г. одним из учеников и сотрудников Лейбница, выдающимся швейцарским математиком Бернулли: «Функцией переменной величины называют количество, образованное каким угодно способом из этой переменной величины и постоянных». Оно привело в восхищение престарелого Лейбница, увидевшего, что отход от геометрических образов знаменует новую эпоху в изучении функций.

Многие из этих функций нельзя было явно выразить с помощью ранее известных операций. Поэтому один из самых замечательных математиков XVII в. Леонард Эйлер (1707 – 1783), вводя в своём учебнике понятие функции, говорит лишь, что «когда некоторые количества зависят от других таким образом, что при изменении последних и сами они подвергаются изменению, то первые называются функциями вторых».

Леонард Эйлер во «Введении в анализ бесконечных» (1748) примыкает к определению своего учителя И. Бернулли, несколько уточняя его. Определение Л. Эйлера гласит: «Функция переменного количества есть аналитическое выражение, составленное каким - либо образом из этого количества и чисел или постоянных количеств». Так понимали функцию на протяжении почти всего XVII в. Даламбер, Лагранж и другие видные математики.

В формировании современного понимания функциональной зависимости приняли участие многие крупные математики. Описание функции, почти совпадающее с современным, встречается уже в учебниках математики начала XIX в. Активным сторонником такого понимания функции был Н. И. Лобачевский.

Почему мы обозначаем функцию символом f, и когда он появился? Этот символ изобрел в 1733 г. французский математик Клеро. А появился этот символ, когда формировался общий подход к понятию функции, когда потребовалось обозначение «функции вообще».

Функция (отображение, оператор, преобразование) — математическое понятие, отражающее связь между какими - либо значениями. Можно сказать, что функция — это «закон», по которому одна величина зависит от другой величины.

Математическое понятие функции выражает интуитивное представление о том, как одна величина полностью определяет значение другой величины.