Занимательные топологические задачи – лист Мёбиуса

Государственное бюджетное образовательное учреждение

«Школа № 2075»

Занимательные топологические задачи –

лист Мёбиуса

Вид работы: исследовательская

Направление: математика

Выполнила:                                                                                      

Гись Софья ,

ученица 5б класса

                                                                                                    Руководитель:

учитель математики

                    Голованева Любовь Викторовна

г.Москва

 2018г

            Занимательные топологические задачи – Лист Мёбиуса

Автор: Гись Софья Андреевна

ГБОУ Школа № 2075 г. Москва, 5 класс

Аннотация

         На одном из уроков математики автор узнала, что в математике есть раздел, который называется топологией и в школе он не изучается, одним из объектов топологии является лист Мёбиуса и в школьном курсе топологические объекты не рассматриваются. Автор считает, что данная тема является актуальной, так как лист Мёбиуса востребован, его применение развивается, и еще много свойств не изучено.

         Так, объектом исследования стал лист Мёбиуса. Поэтому предметом исследования стали свойства листа Мёбиуса. Была выдвинута гипотеза: если знать свойства листа Мёбиуса, то это поможет найти его особое практическое применение.     

         Цель исследования: изучить свойства листа Мёбиуса.

         Были использованы следующие методы исследования: исследовательский (математическое и практическое исследование в анализе специальной и научно-популярной литературе); экспериментальный; статистический (анкетирование, обработка полученных данных).

         В результате исследования автор немного познакомилась с разделом математики «Топология» и одним из её объектов – листом Мёбиуса. Проделав эксперименты с раскрашиванием, узнала, что это односторонняя поверхность. В результате экспериментов с разрезанием удивилась тому,  сколь непредсказуемые результаты можно получить. Убедилась в том, что лист Мёбиуса по-прежнему привлекает к себе внимание ученых, изобретателей, художников. Своими результатами исследования поделилась одноклассниками. Выполнение этой работы помогло автору научиться самостоятельно отбирать нужную литературу, делать выводы. Автор считает, что работа будет интересна любителям математики для расширения математического кругозора. Ее можно использовать как на уроках, так и во внеклассной и кружковой работе.

               Содержание

Введение……………………………………………………………………3

Глава 1. Немного о топологии…………………………………………….5

Глава 2. Лист Мёбиуса – объект топологии……………………………...6

Глава 3.  Моя исследовательская деятельность….....….………………...7

Заключение…………………………………………………………..…….11

Литература…………………………………………………………………12

Приложение………………………………………………………………..13

               Введение

     На уроках математики мы часто решаем числовые ребусы. На одном из уроков наша учительница отрезала от газеты полоску, склеила её в кольцо и предложила нам пролезть сквозь него. У нас не получилось…. Тогда мы  узнали, что в математике есть раздел, который называется топологией и в школе он не изучается.  Меня заинтересовало, что такое топология, что изучает и где применяется. Читая литературу, я узнала, что одним из объектов топологии является лист Мёбиуса и в школьном курсе топологические объекты не рассматриваются. Заинтересовавшись им, решила узнать об этом удивительном листе как можно больше. Появилось много вопросов, на которые надо было найти ответы. Чем больше я читала литературы, тем понятнее становились мне свойства листа Мёбиуса,  и мое увлечение вылилось в исследование.  Актуальность: Лента Мебиуса востребована, ее применение развивается, и еще много свойств не изучено. Так, объектом исследования стал лист Мёбиуса.

     Мы часто слышим, что нашему обществу необходимы люди, обладающие нестандартным мышлением, умеющие ставить и решать новые задачи. А топология - это наиболее успешная тема для развития нестандартного мышления в сознании учащихся. Поэтому предметом исследования стали свойства листа Мёбиуса.

     Была выдвинута гипотеза: если знать свойства листа Мёбиуса, то это поможет найти его особое практическое применение.

     Цель исследования: изучить свойства листа Мёбиуса.

Были поставлены задачи:

1. Сформировать представление о листе Мёбиуса на основе изучения  литературных источников.

      2. Рассмотреть возможности практического применения свойств листа      Мёбиуса.

Были использованы следующие методы исследования:

1. исследовательский (математическое и практическое исследование в анализе специальной и научно-популярной литературе);

2. экспериментальный;

3. статистический (анкетирование, обработка полученных данных).

     Исследование проводилось на базе ГБОУ Школы № 2075 ШЗ 4 в 2017-2018 учебном году.

I этап, 15.09. - 30.09.: подготовительная работа – знакомство с литературой, сбор информации, анализ информации, поиск проблемы;

II этап, 01.10 – 20.10.: определение содержания, формулирование актуальности исследования, его цели, задач, методов исследования;

III этап, 21.10 – 17.11.: изготовление листа Мёбиуса, проведение экспериментов, решение задач, создание презентации;

IV этап, 20.11.: проведение мастер-класса для одноклассников по теме «Занимательные топологические задачи – лист Мёбиуса»;

V этап, 21.11. – 25.11.: доработка исследовательской работы на основе           полученной обратной связи.

     Самый главный раздел работы посвящён первому объекту топологии – Листу Мёбиуса и его свойствам. Работа будет интересна любителям математики для расширения математического кругозора. Ее можно использовать как на уроках, так и во внеклассной и кружковой работе.

     В процессе исследования я использовала такие книги как: «Математические чудеса и тайны» М.Гарднера, «Наглядную геометрию» И.Шарыгиной и Л.Еранжиевой, «Россыпи головоломок» С.Барр, «Энциклопедию для детей. Математика» и др., ресурсы Интернета.

Глава 1. Немного о топологии

     Топология - один из новейших разделов математики. Дать определение топологии очень трудно. Её часто называют «геометрией на резиновом листе», поскольку ее наглядно можно представить себе как геометрию фигур, нарисованных на идеально упругих резиновых листах, которые подвергаются растяжению, сжатию или разгибанию.

В топологии изучаются свойства фигур и тел, которые не меняются при их непрерывных деформациях (как если бы они были сделаны из резины).

     Я узнала, что с точки зрения топологии баранка  и кружка -  это одно  и тоже. Сжимая и растягивая  кусок резины, можно перейти от одного из этих тел ко второму (рис.2)

     А вот баранка и шар – разные объекты: чтобы сделать отверстие, надо разорвать резину ( рис.1).

     Я так же узнала, что любую фигуру тополог имеет право сгибать, скручивать, сжимать и растягивать – делать с ней что угодно, только не разрывать и не склеивать. Представьте себе бублик из податливой, но необычайно прочной резины, который вы можете, как угодно крутить, сжимать и растягивать в любом направлении. Независимо, как деформируется бублик, некоторые его свойства остаются  неизменными. Например, в нем всегда есть дыра. В топологии принято называть  тором. Соломинка, через которую вы пьёте коктейль, тоже тор, только вытянутый. С точки зрения топологии бублик и соломинка ничем не отличаются. 

Глава 2. Лист Мёбиуса – объект топологии

     Лист Мёбиуса относится к числу «математических неожиданностей». Говорят, что открыть свой «лист» Августу Фердинанду Мёбиусу помогла служанка, сшившая однажды неправильно концы ленты. В 1858 году Лейпцигский профессор Август Фердинанд Мёбиус (1790-1868), ученик Карла Фридриха  Гаусса, астроном и геометр, послал в Парижскую академию наук работу, включавшую сведения об этом листе. Семь лет он ждал рассмотрения своей работы и, не дождавшись, опубликовал ее результаты. Одновременно с Мёбиусом изобрел этот лист и другой ученик К. Ф.  Гаусса — Иоганн Бенедикт Листинг (1808-1882), профессор Геттингенского университета. Свою работу он опубликовал на три года раньше, чем А.Ф.Мёбиус,  — в 1862 году.

    Что же поразило этих двух немецких профессоров?

У каждого из нас есть представление о том, что такое «поверхность». Поверхность листа бумаги, поверхность стен класса, поверхность земного шара известны всем. Может ли быть что-нибудь таинственное в таком обычном понятии? Пример листа Мёбиуса показывает, что может. Мы же привыкли к тому, что у всякой поверхности, с которой мы имеем дело две стороны, а у листа Мёбиуса всего одна сторона. Лента Мёбиуса положила начало новой науке – топологии.

     Лист Мебиуса – узкая полоска бумаги, концы которой склеены после одного перекручивания. 

Глава 3.  Моя исследовательская деятельность

     Чтобы изучить свойства листа Мёбиуса, я провела

несколько экспериментов.

                Эксперимент 1.

Лист Мебиуса я попробовала закрасить в два цвета – одним с внешней, а другим    с внутренней стороны. 

        Результат: мне это не удалось.

Эксперимент 2.

Лист Мебиуса я красила, не переворачивая его. 

        Результат: лист Мебиуса закрасился полностью. Он имеет одну поверхность.

Эксперимент 3. 

Обычное кольцо решила закрасить в один цвет, не отрывая карандаша.

        Результат: мне это не удалось. Обычное кольцо имеет 2 поверхности.

Эксперимент 4.

Вырезала из бумаги человечка и отправила его вдоль края листа Мебиуса.

        Результат: человечек вернулся в точку отправления, но в перевернутом виде.

Вывод. На основании этих экспериментов мне удалось убедиться в том, что лист Мебиуса имеет один край и одну сторону.

     Проводя эксперименты с бумажной полоской, я приятно удивилась тому,  сколь непредсказуемые результаты можно получить.

Эксперимент 5.

Простое кольцо разрезала посередине.

Результат: получила 2 кольца, длина окружности которых осталась прежней, а ширина уменьшилась в 2 раза.

Эксперимент 6.

Лист Мёбиуса разрезала посередине.

         Результат: 1 лист Мёбиуса, который перекручен дважды, но вдвое длиннее и   уже.

Эксперимент 7.

Лист Мёбиуса разрезала по двум линиям, проведённым на равном расстоянии от краёв ленты.

Результат: 2 кольца, один из которых вдвое длиннее первоначальной ленты и вдвое перекручен. Другой лист перекручен 1 раз и состоит из центральной части исходной ленты.

Эксперимент 8.

Я начала проводить карандашную линию вдоль листа    Мебиуса.

Результат: я возвратилась в исходную точку.

                Значит, если мы будем двигаться вдоль края такой фигуры, то обнаружим,         что он представляет собой одну непрерывную замкнутую линию (одну петлю).

     Вывод: Выполняя эксперименты с бумажной полоской, я удивилась тому,  сколь многое можно из нее извлечь,  несмотря на то, что растяжения полоски невозможны.

     Мы с руководителем решили узнать, что же знают мои одноклассники о листе Мёбиуса и его свойствах.  Составили анкету и провели анкетирование. Анкета содержала следующие вопросы:

Ответьте, пожалуйста, на следующие вопросы:

1. Знаете ли Вы, что такое топология?

- нет

- да, это - ______________________

2. Знакомо ли Вам понятие «Лист Мёбиуса»?

          - я знаю, что это такое

          - только слышал о таком понятии

          - не знакомо

3. Знаете ли Вы о свойствах листа Мёбиуса?

          - нет

          - да, это следующие свойства - ______________________

4. Знаете ли Вы, где применяется Лист Мёбиуса?

         - нет

        - да, он применяется - _______________________________

     В анкетировании приняло участие 30 респондентов  (обучающиеся 5б класса): 17 мальчиков и 13 девочек.

               Получили следующие результаты:

1. Знаете ли Вы, что такое топология?

а) да, это – 3%

б) нет – 97%

2. Знакомо ли Вам понятие «Лист Мёбиуса»?

а) я знаю, что это такое – 100%

б) только слышал(а) о таком понятии  - 30%

в) незнакомо – 60%

               3) Знаете ли Вы о свойствах Листа Мёбиуса?

а) нет – 97%

б) да, это следующие свойства – 3%

4. Знаете ли Вы, где применяется Лист Мёбиуса?

а) нет – 100%

б) да, он применяется – 0%

     Анкетирование показало, что большинству опрошенных не знаком лист Мёбиуса и всё, что с ним связано. Поэтому мы с учителем математики провели урок «Занимательные топологические задачи – лист Мёбиуса», на котором я поделилась с одноклассниками своими результатами исследования.

     На уроке мы показали, что если знать свойства листа Мёбиуса, то это поможет найти его особое практическое применение в науке, технике, литературе, искусстве, живописи, архитектуре и ещё во многих областях.

        Заключение

     Когда я стала изучать эту тему, мне хотелось получить ответы на разные вопросы: что такое топология и для чего она нужна; кто такой Мёбиус и что он изобрел. Я хотела сама применить на практике полученные знания.

     Во время нахождения ответов на интересующие меня вопросы, я узнала, что лист Мебиуса – первая односторонняя поверхность. Позже математики открыли еще целый ряд односторонних поверхностей. Но эта – самая первая, положившая начало целому направлению в геометрии - топологии, по-прежнему привлекает к себе внимание ученых, изобретателей, художников.

     С помощью экспериментов я достигла своей цели. Мною не исчерпаны эксперименты с листом Мебиуса. Они бесконечны, интересны и зависят от собственной фантазии.

     Подтвердила выдвинутую гипотезу, что если знать свойства листа Мёбиуса, то это поможет найти его особое практическое применение в науке, технике, литературе, искусстве, живописи, архитектуре и ещё во многих областях.

     Выполнение этой работы помогло мне сформировать навык творческого подхода к заданиям по математике, научиться самостоятельно отбирать нужную литературу, делать выводы. Я сумела получить интересный математический материал. Своими результатами исследования листа Мебиуса я поделилась со своими одноклассниками. Думаю, что это их заинтересовало.

     Я считаю, что моя работа будет интересна любителям математики для расширения математического кругозора. Ее можно использовать как на уроках, так и во внеклассной и кружковой работе.

Список использованной литературы

1. М. Гарднер, Математические досуги. М. Мир,1972.

2. М. Гарднер, Математические чудеса и тайны. Наука, 1978.

3. Энциклопедия для детей. Математика, Аванта +, 2001 г., стр. 111-112.

4. С. Барр,  Россыпи головоломок. Москва, Мир, 1987.

5.К.Е.Левитин, Геометрическая рапсодия. Издательство «Знание», Москва,1984

6. Б.А. Кордемский «Топологические опыты своими руками», научно-популярный журнал «Квант» 1974 г., №3, стр. 73-75.

7. Ресурсы Интернета.