Нестандартные приемы вычислений
Сейчас, в наш век высоких технологий и повсеместного использования компьютера умение быстро и правильно производить в уме достаточно сложные вычисления ни в коем случае не утратило своей актуальности. Гибкость ума является предметом гордости людей, а способность, например, быстро производить в уме вычисления вызывает откровенное удивление. в работе рпссмотрены нестандартные приемы быстрого счета, не рассматриваемые непосредственно на уроках математики.
Скачать:
| Вложение | Размер |
|---|---|
 nestandartnye_priemy_vychisleniy.ppt | 1.2 МБ |
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Введение Сейчас, в наш век высоких технологий и повсеместного использования компьютера умение быстро и правильно производить в уме достаточно сложные вычисления ни в коем случае не утратило своей актуальности. Гибкость ума является предметом гордости людей, а способность, например, быстро производить в уме вычисления вызывает откровенное удивление. Такие навыки помогут человеку в учебе, в быту, в профессиональной деятельности. Кроме того, быстрый счет - настоящая гимнастика для ума, приучающая в самых сложных жизненных ситуациях находить в кратчайшее время хорошие и нестандартные решения.
Проблема : найти и рассмотреть нестандартные приёмы устного быстрого счёта, не рассматриваемые непосредственно в школьном курсе математики Актуальность: нижеперечисленные способы быстрого счёта рассчитаны на ум «обычного» человека и не требуют уникальных способностей. Главное – более или менее продолжительная тренировка. Кроме того освоение этих навыков развивает логику и память, усиливает интерес к математике.
Цель: изучить нестандартные приемы вычислений и освоить приёмы, позволяющие выполнять действия с числами быстро и безошибочно. Задачи: - раскрыть историю возникновения счета; - изучить методы и приемы быстрого счета; - описать старинные способы вычислений - рассмотреть и показать на примерах применение нестандартных способов устного счета.
В старину говорили: « Умножение – мое мученье». Значит, раньше было сложно и трудно умножать. Просты ли наши современные способы различных вычислений, а не только умножения? Овладение приёмами устного счёта позволит повысить качество и скорость вычислений наших одноклассников. Практическая значимость исследования: Гипотеза
Немного из истории Подсчитывать предметы люди научились ещё в древнем каменном веке - палеолите, десятки тысяч лет назад. Как это происходило? Вначале человек научился выделять единичные предметы. Например, из стаи волков, стада оленей он выделял одного вожака, из выводка птенцов - одного птенца и т. д. Научившись выделять один предмет из множества других, говорили: "один", а если их было больше - "много". Частые наблюдения множеств, состоящих из пары предметов (глаза, уши, крылья, руки), привели человека к представлению о числе два. До сих пор слово "два" на некоторых языках звучит так же, как "глаза" или "крылья".
С развитием производства и торгового обмена люди стали лучше понимать, что общего у трёх лодок и трёх топоров, десяти стрел и десяти орехов. Племена часто вели обмен «предмет за предмет»; к примеру, обменивали 5 съедобных кореньев на 5 рыб. Постепенно люди начали использовать для счёта камешки, палочки, научились считать до трех, затем до пяти и до десяти и т.д. Название каждого числа отдельным словом было великим шагом вперед. Для счета люди использовали пальцы рук, ног. Система счисления на основе десяти возникла как естественное развитие пальцевого счета.
Египетский способ умножения на 9, на пальцах Чтобы умножить любое число от 1 до 9 на 9, посмотрите на руки. Загните палец, который соответствует умножаемому числу (например 7 × 9 – загните 7 палец), посчитайте пальцы до загнутого пальца (в случае 7 × 9 – это 6), затем посчитайте после загнутого пальца (в нашем случае – 3). Ответ – 63.
Старинные способы умножения РУССКИЙ КРЕСТЬЯНСКИЙ СПОСОБ УМНОЖЕНИЯ :2 47 35 *2 23 70 11 140 5 280 2 560 1 1120 35+70+140+280+1120 = 1645
Устный счет – гимнастика ума Умножение и деление на 4, на 8, на 16 Чтобы умножить число на 4, его дважды удваивают. 213 · 4 = (213·2) · 2 = 426 · 2 = 852; 537 · 4 = (537 · 2) · 2 = 1074 · 2 = 2148 . Чтобы число разделить на 4 , его дважды делят на 2. 256 : 4 = (256 : 2) : 2 = 128 : 2 = 64; 2648 : 4 = (2648 : 2) : 2 = 1324 : 2 = 662 . Чтобы умножить число на 8 его трижды удваивают. 121· 8 = ((121· 2) · 2) · 2 = 484· 2 = 968; 243· 8 = ((243· 2) · 2) · 2 = 972· 2 = 1944. При делении числа на 8 необходимо его трижды поделить на 2. 256 : 8 = ((256 : 2) : 2) : 2 = 64 : 2 = 32; 2648 : 8 = ((2648 : 2) : 2) : 2 = 662 : 2 = 331 . Чтобы умножить число на 16 его четырежды удваивают и т.д. При делении числа на 16 необходимо его четыре раза поделить на 2.
Умножение и деление на 5 Чтобы умножить число на 5, нужно его умножить на 10 и разделить на 2. 218 · 5 = (218 · 10) : 2 = 2180 : 2 = 1090; 644 · 5 = (644 · 10) : 2 = 6440 : 2 = 3220. Чтобы число разделить на 5, нужно умножить его на 0,2, то есть в удвоенном исходном числе отделить запятой последнюю цифру. 275 : 5 = 275 · 0,2 = 275 · 2 : 10 = 55,0; 451 : 5 = 451 · 0,2 = 451 · 2 : 10 = 90,2.
Умножение на 9 Записываем умножение 9 на 1, 2, …, 9 по порядку, 9 · 1 = 0 9 9 · 2 = 1 8 9 · 3 = 2 7 9 · 4 = 3 6 9 · 5 = 4 5 9 · 6 = 5 4 9 · 7 = 6 3 9 · 8 = 7 2 9 · 9 = 8 1 9 · 10 = 9 0 . Затем с конца (снизу вверх), после равно, ставим цифры 9, 8, 7, 6,…, 0 . Затем сверху вниз подставляем цифры 9, 8, 7,…, 0 . Получаем исходную таблицу умножения на 9.
Умножение на 1,5 Чтобы умножить число на 1,5, нужно к исходному числу прибавить его половину. 48 · 1,5 = 48 + 24 = 72; 128 · 1,5 = 128 + 64 = 192; 367·1,5 = 367 + 163,5 = 550,5.
Умножение на 11 1 способ. Чтобы число умножить на 11, к нему приписывают 0 и прибавляют исходное число. 56 · 11 = 560 + 56 = 616; 345 · 11 = 3450 + 345 = 3795. 2 способ. Этот метод ещё называют «Методом Ферроля». «Краешки сложи, в серединку положи» - эти слова помогут легко запомнить данный способ умножения на 11.
УМНОЖЕНИЕ НА 11
Умножение на 22, 33,…, 99 Чтобы двузначное число умножить на 22, 33, 44…, 99, надо этот множитель представить в виде произведения однозначного числа (от 2 до 9) на 11, то есть 33 = 3 · 11; 44 = 4 · 11 и т.д. Затем произведение первых чисел умножить на 11. 42 · 22 = 42 ·2 · 11 = 84 · 11 = 924; 16 · 33 = 16 · 3 · 11 = 48 · 11 = 528; 23 · 44 = 23 · 4 · 11 = 92 · 11 = 1012; 15 · 55 = 15 · 5 · 11 = 75 · 11 = 825; 12 · 66 = 12 · 6 · 11 = 72 · 11 = 792; 24 · 99 = 24 · 9 · 11 = 216 · 11 = 2376.
Умножение на 101, 1001 Чтобы умножить число на 101, нужно приписать к нему два нуля и прибавить исходное число. 145 · 101 = 14500 + 145 = 14645; 27 · 101 = 2700 + 27 = 2727. Чтобы умножить число на 1001, нужно приписать к нему три нуля и прибавить исходное число. 53 · 1001 = 53000 + 53 = 53053; 461 · 1001=461000 +461=461461.
Возведение в квадрат числа, оканчивающегося цифрой 5 Чтобы возвести в квадрат число, оканчивающееся цифрой 5 (например, 75), умножают число его десятков (7) на число десятков, увеличенное на 1 (на 7+1 = 8), и к полученному числу приписывают 25 (7 * 8 = 56 Ответ: 5625). 95 2 = 9025 (9 ·10); 85 · 85 = 7225; 125 2 = 15625 (12 · 13).
Возведение в квадрат числа, близкого к 50 Если хочешь возвести в квадрат число, близкое к 50, но большее 50, то поступай так: 1) вычти из этого числа 25; 2) припиши к результату двумя цифрами квадрат избытка данного числа над 50. Например, 37 2 = 1369 Объяснение: 37 – 25 = 12, 50 - 37 = 13, 132 =169, 48 2 = 2304 Объяснение: 48 – 25 = 23, 50 – 48 =2, 22 = 4, 482 = 2304. 58 2 = 3364 Объяснение: 58 – 25 = 33, 82 = 64, 582 = 3364.
Умножение на число 111, 1111 1. Если сумма цифр первого множителя меньше 10, надо мысленно раздвинуть цифры этого числа на 2, 3 и т.д. шага, сложить цифры и записать соответствующее количество раз их сумму между раздвинутыми цифрами. Количество шагов всегда меньше количества единиц на 1. 35·111=3(3+5) (3+5)5=3885 (количество шагов - 2) 35·1111=3(3+5)(3+5)(3+5)4=38885 (количество шагов - 3) 35 ·111 111 = 3 (3+5) (3+5) (3+5) (3+5) (3+5) 5 = 3888885(количество шагов – 5). Если единиц 7, то шагов будет 6 и т.д. 2. Умножение двузначного числа на 111, 1111, 1111 и т.д., сумма цифр которого равна или больше 10. Устно выполнять это умножение немного сложнее. 86 · 111 = 8 (8+6) (8+6) 6 = 8 (14) (14) 6 = (8+1) (4+1) 46 = 9546. В этом случае надо к первой цифре 8 прибавить 1, получим 9, далее 4+1 = 5; а последние цифры 4 и 6 оставляем без изменения. Получаем ответ 9546. 79 · 111 = 7 (7+9) (7+9) 9 = 7 (16) (16) 9 = (7+1) (6+1) 69 = 8769. 92 · 111 = 9 (9+2) (9+2) 2 = 9 (11) (11) 2 = (9+1) (1+1) 12 = 10212.
Умножение на 37 Прежде чем научиться (устно) умножать на 37, надо хорошо знать признак делимости и таблицу умножения на 3. Чтобы устно умножить число на 37, надо это число разделить на 3 и умножить на 111. 12 · 37 = (12 : 3) · 37 · 3 = 4 · 111 = 444; 54 · 37 = (54 : 3) · 111 = 18 · 111 = 1998; 234 · 37 = (234 : 3) · 111 = 78 · 111 = 8658.
Анкетирование учащихся
Анкетирование учащихся
ЗАКЛЮЧЕНИЕ Описывая старинные способы вычислений и современные приёмы быстрого счёта, мы попытались показать, что как в прошлом, так и в будущем, без математики, науки созданной разумом человека, не обойтись. Мы нашли и рассмотрели некоторые нестандартные приёмы устного быстрого счёта, не рассматриваемые непосредственно в школьном курсе математики. Все рассмотренные нами методы устного умножения говорят о многолетнем интересе ученых, и простых людей к игре с цифрами.
Приемы устного счета позволят нам научиться организовывать себя в различных жизненных ситуациях. Данная тема нам очень интересна, и в дальнейшем мы обязательно, расскажем о нестандартных приемах вычислений нашим одноклассникам. Как мы видим, быстрый счёт это уже не тайна за семью печатями, а научно разработанная система. Раз есть система, значит, её можно изучать, ей можно следовать, ею можно овладевать. Поэтому изучение действия умножения – тема перспективная.
Список используемой литературы «Устный счёт – гимнастика ума» Г.А.Филиппов. «Алгоритмы ускоренных вычислений» Л.В. Бикташева. Кордемский Б.А., Ахадов А.А. Удивительный мир чисел: Книга учащихся,- М. Просвещение, 1986. «Устный счет». Э.Л.Струнников. «Математическая шкатулка» Ф.Ф.Нагибин Е.С.Канин. «Развитие вычислительной культуры учащихся» НЛ. Мельникова Библиотечка «Первое сентября». 6. http ://sch69.narod.ru/ mod /1/6506/ hystory.html . 7. https://xn--j1ahfl.xn--p1ai/library/nestandartnie_priemi_ustnogo_scheta_111544.html. 8. https://nsportal.ru/ap/library/drugoe/2016/06/09/issledovatelskaya-rabota-nekotorye-nestandartnye-priemy-ustnogo-schetaю
Спасибо за внимание! Спасибо за внимание!
Астрономический календарь. Октябрь, 2018
Рисуют дети водопад
Как нарисовать зайчика
Три орешка для Золушки
Астрономы получили первое изображение черной дыры