Исследовательская работа "Пифагор и его теорема"

МУНИЦИПАЛЬНОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ «СРЕДНЯЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ШКОЛА с. ПЕРУНЬ»

Информационно-реферативная работа

«Пифагор и его теорема»

Работу выполнила

Ученица 10 класса:

Батманова Олеся.

Руководитель

Учитель математики:

Алексеева Т.А.

                                                                                 2017

Содержание:

1. Введение.

2. Основная часть.

      Глава 1. Жизнеописание Пифагора.

      Глава 2. Теория Пифагора.

               1. О теореме Пифагора.

               2. Различные доказательства теоремы Пифагора.

               3. Применение теоремы Пифагора.

               4. Карточка задач.

     Глава 3. Учение о числе.

     Глава 4. Пифагоровы тройки.

     Глава 5. Таблица Пифагора.

3. Заключение.

4. Литература.

5. Приложение.

Введение.

В курсе геометрии есть интересная теорема, известная, как оказалось с древнейших времён: 
«Сумма квадратов катетов прямоугольного треугольника равна квадрату гипотенузы».
Обычно открытие этого утверждения приписывают древнегреческому философу и математику Пифагору (VI век до н.э). Но изучение древних рукописей показало, что это утверждение было известно задолго до рождения Пифагора.
Возникает вопрос: почему в таком случае её связывают с именем Пифагора?
Целью моего исследования было: узнать, кто такой был Пифагор,  и какое отношение он имеет к этой теореме. Изучая историю теоремы, я решила выяснить:
Существуют ли другие доказательства этой теоремы? Отличные от доказательства в учебнике.
Каково значение этой теоремы в жизни людей? Какую роль сыграл Пифагор в развитии математики?  

Теорема Пифагора в математике является одной из главных теорем. С ее помощью решается огромное количество задач.

Пифагор – едва ли не самый популярный ученый за всю историю человечества. Наверное, нет человека, который не слышал о Пифагоре и о его теореме. Тема была актуальна в прошлом, актуальна и в наши дни. Каждый интересующийся математикой пытается найти новое доказательство теоремы Пифагора.

В моей работе много поставленных целей: изучить более глубоко биографию Пифагора, рассмотреть различные доказательства теоремы Пифагора и ее применения.  Для раскрытия цели в работе я поставила следующие задачи:

1. Узнать о жизни Пифагора и о его учении.
2. Рассмотреть различные доказательства теоремы Пифагора, познакомится с разными областями  теоремы, составить картотеку задач.
3. Рассмотреть учение Пифагора о числе.
4. Узнать о числах называемых тройками Пифагора.
5. Рассмотреть таблицу Пифагора.

Итак, моя работа состоит из пяти глав:

Глава 1. «Жизнеописание Пифагора».

Глава 2. «Теорема Пифагора».

Глава 3. «Учение о числе».

Глава 4. «Пифагоровы тройки».

Глава 5. « Таблица Пифагора».

Для написания работы источником послужили книги Волошина А.В. и Скопца З.А. «Геометрические миниатюры» и другие книги.

Сложность состояла в том, что прочитать о Пифагоре практически  невозможно, так как на русском языке практически нет ни одной современной книги о Пифагоре – ни научной, ни популярной. В источниках говориться лишь о двух книгах – это монография Чанышева А.Н. «Италийская философия» и Жнудь Л.Я. «Пифагор и его школа».

Вторая сложность состояла в отборе материала, так как работа имеет свои размеры, поэтому необходимо было определиться, какие факты отразить в работе.

Работа носит исследовательский характер.

Глава 1.

Жизнеописание Пифагора.

Самос – небольшой остров в Икарийском море, расположенный напротив Милета. Икарийским древние римляне называли Эгейское море.  Древний город  Самос жив и поныне – это сбегающий с окрестных холмов к морю небольшой городок,  называемый сегодня в честь прославленного земляка Пифагорионом.

Отцом Пифагора был Мнесарх – резчик по драгоценным камням. Мнарх, по словам Апуеля, «славился среди мастеров своим искусством вырезать геммы, но стяжал скорее славу, чем богатсво». Имя матери Пифагора не сохранилось. Некоторые ее называли ее Пифаидой, дочерью рода Анкея – основателя Самоса. Другие утверждали, будто бы это сам Мнесарх называл жену Пифаидой, а сына Пифагором в честь Зельфийской прорицательницы Пифии. Сделал же так Мнесарх после того как получил необыкновенного сына.  Развивая эту мысль, один Самоосский поэт уверял, истинным отцом Пифагора являлся не Мнесарх, а сам бог Апполон.

                           «Фебу, Зевесову сыну рожден Пифагор Пифандлий,

                            Той, что в Саамской земле всех затмила красой».

Наконец, многие, имея на то все основания, считали, что Пифагор – это не имя, а прозвище. Поскольку мудрый учитель высказывал истину столь же постоянно и авторитетно, как и дельфийская Пифия, он был прозван Пифагором. Версия о том, что Пифагор – это не имя собственное, представляется наиболее правдоподобной. По многим античным свидетельствам, родившийся мальчик был сказочно красив, а вскоре проявил и свои незаурядные способности. Среди учителей юного Пифагора можно назвать имена Старца Ириодаманта и Ферекида Сиросского. Целые дни проводил юный Пифагор у ног старца Гермодаманта, внимая мелодии кифары и гекзаметром Гомера. Страсть к музыке и поэзии  великого Гомера Пифагор сохранил на всю жизнь. Гермодамант ввел юного Пифагора в круг муз, Ферекид направил взор Пифагора к природе и в ней одной посоветовал видеть своего первого и главного учителя.

Неугомонному воображению Пифагора очень скоро стало тесно на маленьком Самосее. Мудрый Ферекид сказал однажды Пифагору: «Ты вырос из Самоса. Отправляйся путешестовать – только так ты утолишь жажду познания. Помни: путешествия и память суть два средства, возвышающие человека и открывающие ему врата мудрости». Для Пифагора все улицы Милета вели к Фалесу. Он не мог не искать встречи с мудрецом, слава о котором гремела по всех Элладе.

Возраст эфеба – двадцатилетнего юноши – для юноши Пифагора заканчивался. Пифагор принимает решение и отправляется в Египет. Что же приобрел Пифагор за годы учений в Египте как ученый и, прежде всего, как математик? С высоты сегодняшних знаний ,оценивая вклад  самого Пифагора в математику, следует сказать: «немногое». Египетская математика была чисто прикладной наукой: она удовлетворяла потребностям в счете (арифметика) и в измерении земельных участков (геометрия). Если первое приложение математики естественно для каждой страны, то второе играло особую роль именно в Египте.

Желая узнать, чему научился Пифагор в Египте, мы попали в нелегкую ситуацию. Мы ничего не знаем о египетской математике времен Пифагора, мы не знаем ни одной строчки сочинений Пифагора и в то же время мы пытаемся сделать какие-то выводы. Все это напоминает сказку: «пойди туда, не знаю куда, принеси то, не знаю что». И, тем не менее, анализируя ход развития египетской и греческой математики, можно уверенно сказать: «Греческая математика избрала свой путь».  Греческий путь в математике заключается в выборе системы самоочевидных истин (аксиом) и выявления с помощью рассуждений (доказательств) глубинных связей между абстрактными фундаментальными понятиями. Что касается египетской науки, то она обращала главное внимание на установление разнообразных конкретных фактов, частных закономерностей, на виртуозное владение простейшими полу интуитивными методами. Таким образом,  в науке Пифагор выбрал свой путь. И начиная с Пифагора «греческий» стиль мышления стал господствовать в математике, что и явилось главной причиной ее сегодняшнего расцвета.

Но вот чего Пифагор в избытке заимствовал у египетских жрецов, так это всякого рода мистики, пристрастия к таинствам, священнодействиям, магии чисел и т.д. Можно с уверенностью сказать, что вся числовая магия расцвела в Средневековой Европе, имела своим «крестным отцом» Пифагора. Идея о магических свойствах чисел, вера в бессмертие души и переселение души человека в животных, артистически разработанной спектакль разнообразнейших священнодействий и таинств – все это и составляло основной «предмет» жреческой науки. Данное пребывание в атмосфере таинства оставило свой отпечаток в сознании Пифагора. Пифагор, как человек тонкий и впечатлительный, сам был склонен к подобного рода мистериям. Как бы то ни было, но пора ученичества подходила к концу. Нужно было ехать домой и создавать свою школу, в которой ясность логики и твердость доказательств, стали бы главными строительными материалами.

Но он отправился в Вавилон, но уже в качестве пленника. Вряд ли стоит слишком драматизировать вавилонский плен Пифагора. Во все времена пленник, если он не является властелином порабощенной державы, а был умелым ремесленником или мудрым мыслительным, находил свое место под солнцем. Нашел свое место среди вавилонских мудрецов  Пифагор и на широком дворе перед Вавилонской башней. Вавилонская наука была значительно более развитой, нежели египетская и Пифагору было к чему научиться в Вавилоне.

Завершался шестой год вавилонского плена. Пифагору предстояло либо остаться в роли вечного ученика – прислужника вавилонских халдеев, либо сделать последнюю попытку  вырваться на самостоятельную дорогу в жизни. Вопрос о выборе жизненного пути подошел последней черте. Возраст самого Пифагора подходил к критической отметке: близился 530 год до нашей эры – 40-й год жизни Пифагора, возраст акме.

С приездом Пифагора в Кротон начинается самый славный период его биографии. В Кротоне Пифагор учредил нечто вроде религиозно-этического братства или тайного монашеского ордена, члены которого обязывались вести так называемый пифагорейский образ жизни. Пифагор выработал для себя и своих учеников особый распорядок дня. Встав до восхода солнца, пифагорейцы шли на восточный берег Аппенинского полуострова (солнце встает там прямо из моря). В утренней прохладе священной рощи пифагорейцы обдумывали труды предстоящего дня, после чего делали гимнастические упражнения и принимали завтрак. В конце дня – возлияние богам и чтение. Читал обычно самый младший старший, а самый старший комментировал прочитанное. Гармония духовного и физического совершенства, взлелеянная пифагорейцами давала прекрасные всходы. Но главное чудо Пифагора состояло в том, что он вывел человечество из лабиринтов мифотворчества и богоискательства к берегам «океана» точного знания.

А теперь я хочу закончить рассказ о пифагорейском союзе прекрасной характеристикой, данной ему нашим современником – математиком и историком науки Ван дер Варденом: «Стремление уйти от мира, замкнутая » монашеская жизнь, вистарианство и общность имущества встречались у многих сект. Но то, что отличало пифагорейцев от всех других – это способ, при помощи которого они считали возможным достигнуть очищения и соединения с божеством; это делалось именно при  помощи математики. Математика была одной из составных частей религии. Бог, учили они, положил числа в основу мирового порядка. Бог – это единство, а мир – множество и состоит из противоположностей. То, что приводит противоположности к единству и соединяет все в космос, есть гармония.

Гармония является божественной и заключается в числовых отношениях. Кто до конца изучит божественную числовую гармонию, сам станет божественным и бессмертным»

 Таков был пифагорейский союз – любимое детище великого эллинского мудреца.

Это был союз истины, добра и красоты. В умножении знаний, постижении гармонии физического и духовного совершенства годы летели, как мгновения. Казалось, это будет всегда и это будет вечно. Ничто не предвещало близкой беды.

Прошло двадцать лет. Слава о пифагорейском братстве и его мудром основателе давно перешагнула пределы Великой Греции. В пифагорейское братство принимали не только мужчин, но и женщин (в их союз входило 17 женщин). Среди них дочь Пифагора и жена Мимона Мия. Однажды во время собрания пифагорейцев в доме олимпийского победителя Мимона, Килон со своими сообщниками поджег дом Мимона. Когда стали рушиться подпорки перекрытия, державшие крышу, Пифагор в задумчивости сидел в центре большой залы. Великий мудрец и не  помышлял сделать хоть одно движение к своему спасению. Тогда ученики Пифагора бросились в огонь и проложили в нем дорогу учителю, чтобы он по их телам, как по мосту, вышел из объятого пламенем дома. Пифагора спасли, но страшной ценой – ценой жизни его единомышленников. Оставшись один, Пифагор так затосковал, что удалился из города и там лишил себя жизни. Жизнь без продолжателей учения была для Пифагора лишена смысла. Но учение Пифагора не погибло в кротонском пожаре. Подобранные горсткой оставшихся в живых учеников, зерна этого учения не только были сохранены, но и дали обильные всходы.

Глава 2.

Теорема Пифагора.

Открытие теоремы Пифагором окружено ореолом легенд. Прокл пишет: «Если послушать тех, кто любит повторять древние легенды, то придется сказать, что эта теорема восходит к Пифагору. Рассказывают, что в честь этого открытия  принес в жертву быка». Более щедрые сказатели одного быка превратили в одну гекатомбу, а это уже целая сотня. И хотя еще Цицерон заметил, что всякое пролитие крови было чуждо уставу пифагорейского ордена, легенда эта прочно срослась с теоремой Пифагора и через две тысячи лет продолжала вызывать горячие отклики.

Оптимист Михайло Ломоносов (1711-1765) писал: «Пифагор за изобретение одного геометрического правила принес Зевсу на жертву сто волов. Но если бы за найденные в нынешнее времена от остроумных математиков правила по суеверной его ревности поступать, то едва бы в целом свете столько рогатого скота сыскалось».

Ироничный Генрих Гейне (1797-1856) видел развитие той же ситуации несколько иначе:            «Кто знает! Кто знает!  Возможно душа Пифагора переселилась в беднягу кандидата, который не смог доказать теорему Пифагора и провалился из-за этого на экзаменах, тогда как в его экзаменаторах обитают души тех быков, которых Пифагор, обрадованный открытием своей теоремы, принес в жертву бессмертным богам».

Сегодня теорема  Пифагора обнаружена в различных частных задачах и чертежах: в египетском треугольнике на папирусе времен фараона Аменемхета 1 (около 2000 до нашей эры); в вавилонских клинописных табличках эпохи царя Хаммурапи (18 век до нашей эры); в древнейшем китайском трактате «Чжоу-би суань цзинь» («Математический трактат о гномоне»), время создания которого точно не известно, но где утверждается, что в 12 веке до нашей эры китайцы знали свойства египетского треугольника, а к 6 веку до нашей эры – и общий вид теоремы; в древнеиндийском геометрическом трактате 7-5 веках до нашей эры «Сулыва-сутра» («Правила веревки»). Несмотря на все это словосочетание распадется. Сегодня принято считать, что Пифагор дал первое доказательство носящей его имя теоремы. Но от этого доказательства также не сохранилось никаких следов. Поэтому нам ничего не остается, как рассмотреть некоторые классические доказательства теоремы Пифагора, известные из древних трактатов. Доказательство теоремы Пифагора считалось в кругах учащихся средних веков очень трудными и назывались  иногда «ослиный мост или бегство убогих», так как некоторые «убогие» учебники, не имевшие серьезной математической подготовки, бежали от геометрии. Слабые ученики, заучившие теоремы наизусть без понимания и прозванные поэтому «ослами», не были в состоянии преодолеть теорему Пифагора, служившую для них вроде непроходимого моста.

РАЗЛИЧНЫЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВА ТЕОРЕМЫ ПИФАГОРА.

1.  Простейшее доказательство теоремы получается в простейшем случае равнобедренного прямоугольного треугольника. Вероятно, с него и начиналась теорема. Достаточно просто посмотреть на мозаику равнобедренных прямоугольных треугольников, чтобы убедиться в справедливости теоремы. Например: Δ АВС. Квадрат, построенный на гипотенузе АС, содержит 4 треугольника. А квадраты, построенные на катетах – по 2. Теорема доказана.

2. Древнекитайское доказательство.  Математические трактаты Древнего Китая дошли до нас в редакции 2 века до нашей эры. Дело в том, что в 213 году до нашей эры китайский император Ши Хуан-ди, стремясь ликвидировать прежние традиции, приказал сжечь все древние книги. Во 2 веке до нашей эры в Китае была изобретена бумага и одновременно начинается воссоздание древних книг. Так возникла «Математика в девяти книгах» - главное из сохранившихся математико-астрономических сочинений. В 9-й книге «математики» помещен чертеж, доказывающий теорему Пифагора. (рисунок 2). Ключ к этому доказательству подобрать нетрудно. Имеется древнекитайский чертеж, на котором построены 4 равных прямоугольных треугольника с катетами а и в, гипотенузой с. Треугольники уложены так, что их внешний контур образует квадрат со стороной (а+в), а внутренний – квадрат со стороной с, построенный на гипотенузе с (рисунок 2 б). Если квадрат со стороной с, вырезать и оставшиеся 4 заштрихованных треугольника уложить в два прямоугольника (рисунок 2 в), то образовавшаяся пустота, с одной стороны, равна с2, а с другой – а2+ в2 , то есть с2=а2+в2 . Теорема доказана.

3. Древнеиндийское доказательство. Математики Древней Индии заметили, что для доказательства достаточно использовать внутреннюю часть древнекитайского чертежа. Существуют на пальмовых листьях трактат «Сиддханта ишрамани» («Венец знания» крупнейшего индийского математика 12 века Бхаскары). В этот труд помещен чертеж с характерным для индийских доказательств словом «смотри!». Прямоугольные треугольники уложены здесь гипотенузой наружу и квадрат с2(рисуно2 а) в «кресло невесты»  а2+в2 (рисунок 2 б). Частные случаи теоремы Пифагора (например: построение квадрата, площадь которого вдвое больше данного квадрата) встречаются в древнеиндийском трактате «Сулова сутра» (рисунок 2 в) в 7-5 веках до нашей эры.

       4.

                                             Доказательство:

Пусть Δ ΑΒC – данный прямоугольный треугольник с прямым углом С. Проведем высоту СД из вершины прямого угла С. По определению косинуса угла:

;                                                       В

Отсюда АВ*ВД=АС

Аналогично                                  А                                                                          С

Отсюда АВ*ВД=ВС                                                     Д
Складывая почленно полученные равенства и замечая, что АД+ДВ=АВ, получим: АС2+ВС2=АВ(АД+ДВ)=АВ2. Теорема доказана.

5.   В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Доказательство теоремы Пифагора

Пусть ABC – прямоугольный треугольник,

а и в – длины его катетов,

с – длина гипотенузы.

Докажем, что

Доказательство.

Проведем перпендикуляр СД к гипотенузе. Точка Д разделит гипотенузу на два отрезка – проекции катетов. Обозначим длину проекции катета а через а1, длину проекции катета в через в1. Известно, что катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное между его проекцией на гипотенузу и гипотенузой. Поэтому а2=СА(1), но в2=св1(2). Сложив почленно равенства(1) и (2) получим: а2+в2=са1=с(а1+в1), но а1+в1=с, поэтому а2+в2=СС=с2. Итак, мы получили: с2=а2+в2.

6. Доказательство теоремы Пифагора, предложенное Евклидом.

Сумма площадей квадратов, построенных на катетах прямоугольного треугольника, равна площади квадрата, построенного на гипотенузе.

Пусть ABC – прямоугольный треугольник, а BDEA, AFGC, BCKM – квадраты, построенные на его катетах и гипотенузе. Требуется доказать, что сумма площадей двух первых квадратов равна площади третьего квадрата. Проведем AM BC. Тогда квадрат BCKM разделиться на два прямоугольника. Докажем, что прямоугольник BLMH равновелик квадрату BDEA, а прямоугольник LCKM равновелик квадрату AFGC. Проведем вспомогательные прямые DC и AH. Обратим внимание на два треугольника, покрытые на чертеже штрихами. Δ DBC, имеющий основание BD, общее с квадратом BDEA, а высоту CN, равную высоте AB этого квадрата, равновелик половине его ΔABH, имеющий основание BH, общее с прямоугольником BLMH, и высоту AP, равную высоте BL этого треугольника, равновелик  половине его. Сравнивая эти два треугольника между собой, находим, что у них BD=BA и BC=BH  (как стороны квадрата). И еще  

7.

Доказательство:

Рассмотрим прямоугольный треугольник с катетами а и в и гипотенузой с (рисунок 4 а). докажем, что с2 = а2 + в2. Достроим треугольник до квадрата со стороной а + в так, как показано на рисунке 4 б. площадь S этого квадрата равна (а + в)2. С другой стороны, этот квадрат составлен из четырех равных прямоугольных треугольников, площадь каждого из которых равна ав, и квадрата со стороной с, поэтому S=4ав+с2=2ав+с2. Таким образом, (а+в)2=2ав+с2. Следовательно, с2=а 2+ в2. Теорема доказана.

8.                                                                    Доказательство:

Существует много и таких доказательств, которые показывают, на какие части надо разбить квадраты, построенные на катетах, чтобы перемещением этих частей образовать квадрат, построенный на гипотенузе. Вот одно из таких доказательств.

Обозначим гипотенузу и катеты данного треугольника буквами а,в,с. Отложим на какой-нибудь прямой АВ=в и ВС=с, построим квадраты АDEB и BFHC. Площадь образовавшегося шестиугольника ADEFHC есть сумма площадей квадратов, построенных на катетах. Отложив еще AK = с (и, следовательно, K=в), проводим прямые DK и KH, которые разложат шестиугольник на три части, обозначенные на чертеже цифрами 1, 2, 3. Части первая и третья суть прямоугольные треугольники, равные данному треугольнику. Повернем на 90 первый треугольник вокруг вершины D и третий треугольник вершины Н, как указано стрелками. Тогда эти части займут такие положения, при которых они вместе с оставшейся второй частью образуют квадрат, построенный на гипотенузе.

9. Доказательство Леонардо да Винчи

Главные элементы доказательства — симметрия и движение. Рассмотрим чертёж, как видно из симметрии, отрезок  CI  рассекает квадрат  ABHJ на две одинаковые части (так как треугольники ABC и JHI равны по построению). Пользуясь поворотом на 90 градусов против часовой стрелки вокруг точки A , мы усматриваем равенство заштрихованных фигур CAJ I и DABJ.Теперь ясно, что площадь заштрихованной нами фигуры равна сумме половин площадей маленьких квадратов (построенных на катетах) и площади исходного треугольника. С другой стороны, она равна половине площади большого квадрата (построенного на гипотенузе) плюс площадь исходного треугольника. Таким образом, половина суммы площадей маленьких квадратов равна половине площади большого квадрата, а следовательно сумма площадей квадратов, построенных на катетах равна площади квадрата, построенного на гипотенузе.

Есть много других доказательств теоремы.

Применение теоремы Пифагора.

Зависимость между синусом и косинусом одного угла.

В силу теоремы Пифагора имеем: . Из равенств , , следует: . Внося это в предыдущее равенство, получим: . Делим почленно обе части этого равенства на , найдем . Это замечательное соотношение между синусом и косинусом одного угла имеет много приложений. Например, оно позволяет, зная синус какого-либо острого угла, вычислить его косинус, и наоборот.

         В

         С                                               А

Пример:  вычислить:  заменив в равенстве =1 величину  равной ей величиной , получим:  отсюда  Следовательно,

Картотека задач по теореме Пифагора.

1. Длины катетов прямоугольного треугольника равны 6 и 8см. Найдите длину гипотенузы.
2. Постройте прямоугольный треугольник, длины катетов которого равны 9см. и 1,2дм. найдите длину гипотенузу: а) измерением; б) вычислением по теореме Пифагора.
3. Могут ли длины прямоугольного треугольника выражаться тремя последовательными натуральными числами?
4. Боковая сторона равнобедренного треугольника содержит 26см, а высота, проведенная к основанию, 24см. Вычислите периметр этого треугольника.
5. Определить периметр равнобедренного треугольника, если его высота больше основания на 2см. и меньше боковой на 1см.
6. В равнобедренной трапеции высота 12, угол при основании 50. Найдите боковую сторону трапеции.
7. Из точки М к прямой а проведен перпендикуляр МА, равный 8см. и наклонная МВ, равная 10см. найдите проекцию этой наклонной на прямую.
8. Стороны прямоугольника относятся, как 5:18, а диагональ равна 34см. найдите стороны прямоугольника.
9. В прямоугольном треугольнике стороны равны a,b и c.  Причем известно, что c=17см. a=8см. Найти b.
10. Высота равнобедренного треугольника равна 12см, боковая сторона равна 30см. найти углы с помощью таблиц.
11. Дано: АВС, <АСВ=90, АD=2см, BD=18см, CD AB.найти: CD-? AC-? BC-? AB-?
12. Дано: ABC,
13. Из вершины угла В треугольника АВС проведен перпендикуляр BD к стороне АС.

а) определить АВ и ВС, если АВ:ВС=3:7, AD=1см, DC=19см.

б) определить АС, если АВ=2,1дм, DC-AD=0,5дм.

14. Постройте отрезок длиной х, если х=-в, где а и в длины длинных отрезков.
15. Стропильная ферма имеет ноги АВ и СВ по 9см и пролет Ас в 15см. определить высоту фермы ВD.
16. Длина гипотенузы прямоугольного треугольника равна 13см, а длина одного из катетов - 5см. Найдите длину другого катета.
17. Дан прямоугольный треугольник, у которого один катет больше другого на 5см. Если меньший катет  этого треугольника уменьшить на 8см, а больший  увеличить на 4см, то получиться треугольник, гипотенуза которого равна гипотенузе первого треугольника. Определите периметры треугольников.
18. Найдите катеты прямоугольного треугольника, если их проекции  на гипотенузу равны: а) 9см и 16см; б) 36м и 64м.
19. узнать, какими тремя последовательными целыми числами могут выражаться стороны прямоугольного треугольника.

Глава 3.

Учение о числе.

Числа древними греками, а вместе с ними Пифагором и пифагорейцами, мыслилось зримо, в виде камешков, разложенных на песке или на счётной доске – абаке. По этой причине греки не знали нуля, так  как его невозможно было «увидеть», как некий «числовой атом», из которого образовались все числа. Пифагорейцы называли единицу «границей между числом и частями», то есть между целыми числами и дробями, но в то же время видели в ней «семя и вечный корень». Число же определялось, как множество, составленное из единиц. Пифагорейские числа в современной терминологии – это натуральные числа. Числа – камешки раскладывались в виде правильных геометрических фигур, эти фигуры классифицировались. Так возникли числа, именуемые сегодня фигурными:

- линейные числа, то есть простые числа  – числа, которые делятся только на единицу и на самих себя. И, следовательно, представимы в виде последовательности точек выстроенных в ряд.

Линейное  число 5    

-плоские числа – числа представимые в виде произведения двух сомножителей.

Плоское число 6                            - телесное число 8

-треугольные числа 3, 6, 10                                                  - квадратные числа 4; 9; 16…

пятиугольные числа 5, 10, 15,20….

ГЛАВА 4.

ПИФАГОРОВЫ ТРОЙКИ.

Изучение свойств натуральных чисел привело пифагорейцев к ещё одной «вечной» проблеме теоретической арифметике (теорий чисел) – проблеме, ростки которой пробивались задолго до Пифагора в Древнем Египте и Древнем Вавилоне. А общее решение этой проблемы не найдено и поныне. Решить в натуральных числах  неопределённое уравнение:X2+Υ2=Z2

Сегодня эта задача именуется задачей Пифагора, а её решения – это  тройки  натуральных чисел, удовлетворяющих уравнению – называются пифагоровыми тройками. В силу очевидной связи теоремы Пифагора с задачей Пифагора последней можно дать геометрическую формулировку: найти все прямоугольные треугольники с целочисленными катетами Х,Υ и целочисленной гипотенузой Z

Частные решения задачи Пифагора были известны в глубокой древности. В папирусе времён фараона  Алинемхета I (около 2000 до нашей эры), хранящемся в Египетском музее в Берлине, мы находим прямоугольный треугольник с отношениями сторон 3:4:5 (3+4=5).

Пифагоровы тройки.

(Прямоугольные треугольники с целочисленными сторонами).

(около 2000 до нашей эры), хранящемся в Египетском музее в Берлине, мы находим прямоугольный треугольник с отношением сторон 3 : 4: 5: (3 +4=5).

По мнению крупнейшего немецкого историка математики М. Кантора (1829 – 1920 ), в Древнем Египте существовала особая профессия гарпедонаптов – «натягивателей  верёвок», которые во время торжественной церемонии закладки храмов и пирамид размечали прямые углы с помощью верёвки, имеющей 12 (=3+4+5) равностоящих узлов.

Способ построения прямого угла гарпедонаптами очевиден из рисунка. Сегодня прямоугольный треугольник с отношением сторон  3:4:5: называется египетским. Сохранилась глиняная табличка, пифагоровых троечек. Начатое Пифагором во времена, когда человечество знало лишь натуральные числа, исследование «безобидного» уравнения X2+Υ2=Z2  Привело к сложнейшей проблеме современной теории чисел - исследованию в целых числах уравнения X2+Υ2=Z2 - великой и непреступной на протяжении четырёх столетий теоремы Ферма.

ГЛАВА 5.

ТАБЛИЦА ПИФАГОРА.

 Перед нами таблица Пифагора времён самого Пифагора.

Современная таблица Пифагора.

Кроме теоретической арифметики, ставшей фундаментом современной теории и оставившей ей ряд нерешённых проблем, была у пифагорейцев и другая ветвь арифметики, более близкая современному значению слова, - учение о правилах  действия над числами. Задачи вычислительной арифметики отвечали, насущным потребностям жизни – торговле, строительству, расчёту метательных орудий. Искусство вычислять(логистика) по сравнению с арифметикой(наукой о числах) считалось пифагорейцами наукой второго сорта и развивалось весьма слабо.

Числа - камешки играли в логистике значительную роль. Они успешно использовались впервые в истории человечества «вычислительной машине» - абаке. Абак выглядел просто: это была разлинованная плита, в каждой колонке которой камешки имели разные значения: единицы, десятки, сотни и так далее.

 В 1848 году при раскопках на острове Саламин был найден мраморный абак огромных размеров (1,5 X 0,75 м). Подсчитанные числа необходимо было запомнить, лучше записать. Так появляется письменное фиксирование чисел – нумерация, а затем и письменный счёт.

Греческая нумерация была шагом по сравнению с вавилонской .Обе её разновидности – аттическая и ионийская – не были позиционными, и в этом был их главный недостаток.

В основу ионийской нумерации положены все 24 буквы греческого алфавита и три архаические финикийские буквы. Для перемножения чисел вида (1.3.1.) составлялись таблицы умножения. Такие таблицы были известны издревле. Таблица Пифагора. Эту таблицу мы находим такой, какой привыкли видеть на обложке тетради в клетку. Такая же таблица имеется в сочинении «Введение в арифметику» неопифагорейца Никомяха Геразского «I – II в. в.». Никомах утверждает, что эта таблица, как и все в его книге, восходит к самому Пифагору. Как таблица умножения, таблица Пифагора стала эффективной лишь с изобретением десятичной позиционной системы счисления, когда всё умножение свелось к умножению целых чисел от 1 до 9. Произошло это не вдруг. В XV веке в Европе разгорелась борьба между «абацистами» - защитниками старой счётной доски и «алгоритмиками» - приверженцами новой позиционной системы и новой индийской («арабской») нумерации.

Имя Пифагора в названии таблицы умножения отражает скорее дань уважения основоположнику логистики (арифметики), хотя по форме сегодняшняя таблица целиком скопирована с греческого оригинала.

Заключение.

Тысячи путей ведут к заблуждению, а к истине – только один. Но даже если истинного пути Пифагора вообще не существовало, даже если Пифагор стал образом ранней античной эпохи, в этом случае за ней стоит нечего реальное, так как Пифагор стал образом ранней античной эпохи, в которую закладывались основы современной математики, да и всей современной науки в целом.

Без Пифагора и пифагорейцев невозможно представить всю античную культуру, столь прочно пифагореизм вошёл в её плоть и кровь.

Выдающимся вкладом в математику является теорема Пифагора, устанавливающая связь между квадратом, построенным на гипотенузе, прямоугольного треугольника, и квадратами, построенными на его катетах.

Трудно найти человека, у которого имя Пифагора не ассоциировалось бы с теоремой Пифагора. Даже те, кто в своей жизни навсегда распрощались с математикой, сохраняют в своей памяти воспоминания о «пифагоровых штанах» - квадрате на гипотенузе, равновеликом двум квадратам на катетах.

Причина популярности теоремы Пифагора триедина: это простота, красота, значимость. В самом деле, теорема Пифагора проста, но не очевидна. Это сочетание двух противоречивых начал и придаёт ей особую притягательную силу, делает её красивой .Кроме того ,теорема Пифагора имеет огромное значение: она применяется в геометрии, буквально на каждом шагу. И тот факт, что существует около 500 различных доказательств этой теоремы, свидетельствует о гигантском числе её конкретных реализаций.

В работе я рассмотрела восемь различных доказательств: от самых ранних (древнеиндийского и древнекитайского) до современных, которые даны в школьных учебниках. Собрала около двадцати задач, которые решаются с помощью теоремы Пифагора. Задач можно было собрать намного больше, но размеры проекта это сделать не позволяют. Рассмотрела различные применения теоремы Пифагора. Рассмотрела числа, которые называются «пифагоровыми тройками», а также таблицу Пифагора, которой пользуется каждый школьник.

Трудность при написании проекта была в том, что литературы по данной теме очень мало. Работа носит исследовательский характер.

ЛИТЕРАТУРА

1. А.В. Волошинов «Пифагор», Москва «Просвещение», 1993 год.
2. Г.М. Якушева «Математика», Москва, 1997 год.
3. З.А. Скопец «Геометрические миниатюры», Москва «Просвещение», 1990 год.

ПРИЛОЖЕНИЯ (фото).

Пифагор на фреске Рафаэля 1509

Шартрский собор, статуя Пифагора

Самоская монета, с изображением Пифагора. II – III век. Прорисовка. (это не портрет Пифагора, а обобщенный образ ученого).

Абдерская монета с изображением Пифагора – первый подписанный портрет на греческих  

монетах.  430-420 гг. до н.э.

Теорема Пифагора в древнекитайском трактате.

Древневавилонский клинописный текст, содержащий 15 наборов пифагоровых троек, среди которых (четвертая строка) есть нетривиальная тройка (12709, 13500, 18541).

Нью-Йорк. Плимнтонский фонд библиотеки Колумбийского университета.

Египетский треугольник.