Способы решения квадратных уравнений

Слайд 1

Слайд 2

Вступление Практически все, что окружает человека – это все так или иначе связано с математикой. Поэтому решение многих практических задач сводится к решению различных видов уравнений, которые необходимо научиться решать. Квадратные уравнения находят широкое применение при решении различных уравнений и неравенств. Математическое образование, получаемое в общеобразовательной школе, является важнейшим компонентом общего образования современного человека. В данной работе я изложил известные виды и решения квадратных уравнений из школьного курса алгебры. Также в этой работе я показал дополнительный материал, который не изучается в школьном курсе. Квадратные уравнения были известны в Древнем Вавилоне, в Индии, в Китае (1 тысячелетие до н.э.), у ал-Хорезми , в Европе XII-XVII в. В школьном курсе математики изучаются формулы корней квадратных уравнений, с помощью которых можно решать любые квадратные уравнения. Однако имеются и другие способы решения квадратных уравнений, которые позволяют очень быстро и рационально решать многие уравнения. Подробно я постарался рассмотрел их в своей работе.

Слайд 3

1. Разложение левой части уравнения на множители Решим уравнение х 2 + 10х - 24 = 0. Разложим левую часть на множители: х 2 + 10х - 24 = х 2 + 12х - 2х - 24 = х ( х + 12) - 2( х + 12) = ( х + 12)( х - 2). Следовательно, уравнение можно переписать так: ( х + 12)( х - 2) = 0 Так как произведение равно нулю, то, по крайней мере, один из его множителей равен нулю. Поэтому левая часть уравнения обращается в нуль при х = 2, а также при х = - 12. Это означает, что число 2 и - 12 являются корнями уравнения х 2 + 10х - 24 = 0.

Слайд 4

2. Метод выделения полного квадрата. Решим уравнение х 2 + 6х - 7 = 0. Выделим в левой части полный квадрат. Для этого запишем выражение х 2 + 6х в следующем виде: х 2 + 6х = х 2 + 2• х • 3. В полученном выражении первое слагаемое - квадрат числа х , а второе - удвоенное произведение х на 3. Поэтому, чтобы получить полный квадрат, нужно прибавить 3 2 , так как х 2 + 2• х • 3 + 3 2 = ( х + 3) 2 . Преобразуем теперь левую часть уравнения х 2 + 6х - 7 = 0, прибавляя к ней и вычитая 3 2 . Имеем: х 2 + 6х - 7 = х 2 + 2• х • 3 + 3 2 - 3 2 - 7 = ( х + 3) 2 - 9 - 7 = ( х + 3) 2 - 16. Таким образом, данное уравнение можно записать так: ( х + 3) 2 - 16 =0, ( х + 3) 2 = 16. Следовательно, х + 3 - 4 = 0, х 1 = 1, или х + 3 = -4, х 2 = -7.

Слайд 5

3. Решение квадратных уравнений по формуле. ах 2 + b х + с = 0, а ≠ 0 Решим уравнение: 4х 2 - 4х + 1 = 0, а = 4, b = - 4, с = 1, D = b 2 - 4 ac = (-4) 2 - 4 • 4 • 1= 16 - 16 = 0, D = 0, один корень; Итак, если дискриминант равен нулю, т.е. b 2 - 4 ac = 0, то уравнение ах 2 + b х + с = 0 имеет единственный корень, .

Слайд 6

4. Решение уравнений с использованием теоремы Виета. х 2 + px + q = 0. x 1 + x 2 = - p x 1 x 2 = q , Если свободный член q приведенного уравнения (1) отрицателен ( q < 0), то уравнение имеет два различных по знаку корня, причем больший по модулю корень будет положителен, если p < 0 , или отрицателен, если p > 0 . Например, x 2 – 3 x + 2 = 0; x 1 = 2 и x 2 = 1, так как q = 2 > 0 и p = - 3 < 0; x 2 + 8 x + 7 = 0; x 1 = - 7 и x 2 = - 1, так как q = 7 > 0 и p = 8 > 0. x 2 + 4 x – 5 = 0; x 1 = - 5 и x 2 = 1, так как q = - 5 < 0 и p = 4 > 0; x 2 – 8 x – 9 = 0; x 1 = 9 и x 2 = - 1, так как q = - 9 < 0 и p = - 8 < 0.

Слайд 7

5. Решение уравнений способом «переброски». Решим уравнение 2х 2 – 11х + 15 = 0. Решение. «Перебросим» коэффициент 2 к свободному члену, в результате получим уравнение у 2 – 11у + 30 = 0. Согласно теореме Виета у 1 = 5 х 1 = 5/2 x 1 = 2,5 у 2 = 6 x 2 = 6/2 x 2 = 3. Ответ: 2,5; 3.

Слайд 8

6. Свойства коэффициентов квадратного уравнения. Решим уравнение 345х 2 – 137х – 208 = 0. Решение. Так как а + b + с = 0 (345 – 137 – 208 = 0), то х 1 = 1, х 2 = c / a = -208/345. Ответ: 1; -208/345. 2)Решим уравнение 132х 2 – 247х + 115 = 0. Решение. Так как а + b + с = 0 (132 – 247 + 115 = 0), то х 1 = 1, х 2 = c / a = 115/132. Ответ: 1; 115/132.

Слайд 9

7. Графическое решение квадратного уравнения. Если в уравнении х 2 + px + q = 0 перенести второй и третий члены в правую часть, то получим х 2 = - px - q . Построим графики зависимости у = х 2 и у = - px - q . График первой зависимости - парабола, проходящая через начало координат. График второй зависимости - прямая (рис.1). Возможны следующие случаи: - прямая и парабола могут пересекаться в двух точках, абсциссы точек пересечения являются корнями квад - ратного уравнения; - прямая и парабола могут касаться ( только одна общая точка), т.е. уравнение имеет одно решение; - прямая и парабола не имеют общих точек, т.е. квадратное уравнение не имеет корней.

Слайд 10

8. Решение квадратных уравнений с помощью циркуля и линейки. . Решим уравнение х 2 - 2х - 3 = 0 (рис. 7). Решение. Определим координаты точки центра окружности по формулам: Проведем окружность радиуса SA , где А (0; 1). Ответ: х 1 = - 1; х 2 = 3.

Слайд 11

9. Решение квадратных уравнений с помощью номограммы. Решим с помощью номограммы уравнение 2 z 2 - 9 z + 2 = 0. Разделим коэффициенты этого уравнения на 2, получим уравнение z 2 - 4,5 z + 1 = 0. Номограмма дает корни z 1 = 4 и z 2 = 0,5.

Слайд 12

10. Геометрический способ решения квадратных уравнений. Решим уравнение х 2 + 10х = 39. Решение. Рассмотрим квадрат со стороной х , на его сторонах строятся прямоугольники так, что другая сторона каждого из них равна 2,5, следовательно, площадь каждого равна 2,5х. Полученную фигуру дополняют затем до нового квадрата ABCD , достраивая в углах четыре равных квадрата , сторона каждого их них 2,5, а площадь 6,25. Площадь S квадрата ABCD можно представить как сумму площадей: первоначального квадрата х 2 , четырех прямоугольников (4• 2,5х = 10х ) и четырех пристроенных квадратов (6,25• 4 = 25), т.е. S = х 2 + 10х + 25. Заменяя х 2 + 10х числом 39, получим, что S = 39 + 25 = 64, откуда следует, что сторона квадрата ABCD , т.е. отрезок АВ = 8. Для искомой стороны х первоначального квадрата получим

Слайд 13

Заключение Квадратные уравнения находят широкое применение при решении уравнений и неравенств. Однако, значение квадратных уравнений заключается не только в изяществе и краткости решения задач, хотя и это весьма существенно. Не менее важно и то, что в результате применения квадратных уравнений при решении задач не редко обнаруживаются новые детали, удается сделать интересные обобщения и внести уточнения, которые подсказываются анализом полученных формул и соотношений. Хочется отметить и то, что излагаемая тема в этой работе еще мало изучена вообще, просто ею не занимаются, поэтому она таит в себе много скрытого и неизвестного, что дает прекрасную возможность для дальнейшей работы над ней. Здесь я остановился на вопросе решения квадратных уравнений, а что, если существуют и другие способы их решения?! Опять находить красивые закономерности, какие-то факты, уточнения, делать обобщения, открывать все новое и новое. Но это вопросы уже следующих работ. Подводя итоги, можно сделать вывод: квадратные уравнения играют огромную роль в развитии математики. Все мы умеем решать квадратные уравнения со школьной скамьи (8 класс), до окончания вуза. Эти знания могут пригодиться нам на протяжении всей жизни. Так как эти методы решения квадратных уравнений просты в применении, то они, безусловно, должно заинтересовать увлекающихся математикой учеников. Моя работа дает возможность по-другому посмотреть на те задачи, которые ставит перед нами математика.