нпк.6 класс. как рассадить одноклассников.

Научно-практическая конференция

      Номинация: математика

Исследовательская работа

Теория вероятности

 Работу выполнила:

                                                                                             Жилиной Ксении

        6 Е класс,        

   МБОУ СОШ № 211

                                                                                                 Научный руководитель:

                                                                                                       Янкина С.В.

Новосибирск 2016

Содержание

Введение………………………………………………………………3 стр.

История……………………………….…………………………….…5 стр.

Теория           ………………………..…………………………...……7 стр.

Примеры………………………………………………………………9 стр.

Проверка теории на практике……………………………………….12 стр.

Заключение…………………………………………………..……….13 стр.

Ещё одна задача…………………………………………...…………14 стр.

Приложение 1………………………………………………………..16 стр.

Приложение 2…………………………………………………… ….18 стр.

Приложение 3………………………………………………………..19 стр.

Список литературы………………………………………………….20 стр.

Введение

Темой моего проекта стала теория вероятности. Теория вероятности мне очень интересна, ведь сами того не замечая, мы постоянно используем ее в повседневной жизни.

Так с точки зрения человека с ним произошло случайное событие. А с точки зрения системы, оно было предопределенно.

Разумный человек должен стремиться мыслить, исходя из законов вероятностей (статистики). Но в жизни о вероятности мало кто думает. Решения принимаются эмоционально.

Пример, люди боятся летать самолетами. А между тем, самое опасное в полете на самолете — это дорога в аэропорт на автомобиле. Но попробуй кому-то объяснить, что машина опасней самолета.

По исследованиям: в США в первые 3 месяца после терактов 11 сентября 2001года погибло еще одна тысяч людей... косвенно. Они в страхе перестали летать самолетами и начали передвигаться по стране на автомобилях. А так как это опасней, то количество смертей возросло.

По телевидению пугают: птичьми и свинными гриппами, терроризмом..., но вероятность этих событий ничтожна по сравнению с настоящими угрозами. Опасней переходить дорогу по зебре, чем лететь на самолете. От падения кокосов погибает ~ 150 человек в год. Это в десятки раз больше, чем от укуса акул. Но фильма "Кокос-убийца" пока не снято.

Актуальность исследования- Миром правит вероятность и нужно помнить об этом.

Объектом исследования являются алгоритмы подсчёта вероятности того или иного события.

Предметом исследования выступает процесс вычисления.

Цель: изучить приемы вычисления вероятности события  и экспериментальным путем проверить их эффективность.

Задачи:

- изучить историю теории вероятности;

- опытно-экспериментальным путем проверить эффективность формул;

- рассмотреть некоторые приемы вычисления теории вероятности на конкретных примерах.

Гипотеза: решение задач по формулам совпадёт с данными полученными на практике.

При работе над докладом я пользовалась  следующими методами:

1)поисковый метод с использованием научной и учебной литература, а также поиск необходимой информации в сети Интернет;

2)практический метод выполнения вычислений ;

3)анализ полученных в ходе исследования и эксперимента данных.

Моя работа над темой заключалась:

1.сбор и изучение информации по заданной теме;

2.проверить реальность  формул;

3.применить полученные знания в жизни.

1.История

История теории вероятностей отмечена многими уникальными особенностями. Прежде всего, в отличие от появившихся примерно в то же время других разделов математики у теории вероятностей по существу не было античных или средневековых предшественников, она целиком — создание Нового времени. Долгое время теория вероятностей считалась чисто опытной наукой и «не совсем математикой», её строгое обоснование было разработано только в 1929 году. В наши дни теория вероятностей занимает одно из первых мест в прикладных науках по широте своей области применения; «нет почти ни одной естественной науки, в которой так или иначе не применялись бы вероятностные методы».

Особенно широко теория вероятностей применяется для исследования природных явлений. Все протекающие в природе процессы, все физические явления в той или иной степени не обходятся без присутствия элемента случайности. Как бы точно не был поставлен опыт, как бы точно не были бы зафиксированы результаты исследований при повторном проведении эксперимента, результаты будут отличаться от данных. При решении многих задач их исход зависит от большого количества факторов, которые сложно зарегистрировать или учесть, но они оказывают огромное значение на конечный результат. Порой количество этих второстепенных факторов так много, и они оказывают настолько большое влияние, что учесть их классическими методами просто невозможно. Так, например, это задачи на определение движения планет Солнечной системы, прогнозы погоды, длина прыжка спортсмена, вероятность встречи знакомого по пути на службу и различные ситуации на фондовой бирже.

Историки выделяют в развитии теории вероятностей несколько периодов.

1.Предыстория, до XVI века включительно. В античные времена и в Средневековье натурфилософыограничивались метафизическими рассуждениями о происхождении случайности и её роли в природе. Математики в этот период рассматривали и иногда решали задачи, связанные с теорией вероятностей, но никаких общих методов и тематических понятий ещё не появилось. Главным достижением данного периода можно считать развитие комбинаторных методов, которые позже пригодились создателям теории вероятностей.

2.Начало формирования во второй половине XVII века основных понятий и методов теории вероятностей для случайных величин с конечным числом значений.

3.В XVIII веке появились монографии с систематическим изложением теории вероятностей. Первой из них стала книга Якоба Бернулли «Искусство предположений» (1713 год). Идеи Бернулли далеко развили в начале XIX века 

4. К концу XIX века появляются статистическая физика, строгая теория ошибок измерения, вероятностные методы проникают в самые различные прикладные науки.

5.В XX веке в физике была создана теория микромира, а в биологии — теория наследственности, обе они существенно основаны на вероятностных методах. 

 Философские споры о том, что такое вероятность и в чём причина её устойчивости, продолжаются.

2.Теория

Теория вероятности – это раздел математики, который изучает закономерность массовых случайных событий.

Событие — это явление, о котором можно сказать, что оно происходит или не происходит, в зависимости от природы самого события.

Случайным событием называется событие, которое может произойти или не произойти во время данного испытания.

Теория вероятности изучает только массовые случайные события.

Достоверным событием называется событие, которое вследствие данного испытания обязательно произойдет.

Невозможным событием называется такое событие, которое вследствие данного испытания не может произойти.

Равновозможные события — это такие события, каждое из которых не имеет никаких преимуществ в появлении чаще другого во время многочисленных испытаний, которые проводятся с одинаковыми условиями.

Попарно несовместимые события — это события, два из которых не могут произойти вместе.

Вероятность случайного события — это отношение числа событий, которые благоприятствуют этому событию, к общему числу всех равновозможных несовместимых событий.

  Пусть имеется n различных объектов. Будем переставлять их всеми возможными

способами  (число объектов  остается неизменными, меняется только их порядок).      Получившиеся комбинации называются перестановками, а их число равно  

P(n)=n!=1*2*3*...*(n−1)*n

  Символ n! называется факториалом и обозначает произведение всех целых        чисел от 1 до n.

Размещения. Пусть имеется n различных объектов. Будем выбирать из них m объектов и переставлять всеми возможными способами между собой (то есть меняется и состав выбранных объектов, и их порядок). Получившиеся комбинации называются размещениями из n объектов по m, а их число равно

=

Размещение с повторениями:

=

Пусть имеется n различных объектов. Чтобы найти число сочетаний из n объектов по k, будем выбирать комбинации из n объектов все возможными способами, при этом будем обращать внимание на разный состав комбинаций, но не порядок (он тут не важен, в отличие от размещений).

      =

3.Примеры

Для задач о подбрасывании монеты существуют два основных метода решения, один - по формуле классической вероятности, а второй - по формуле Бернулли, но формулу Бернулли мы будем изучать в старших классах.

Итак, для начала вот сама формула, по которой вероятность находится как

P=m/n,

 где n - число всех равновозможных элементарных исходов случайного эксперимента с подбрасыванием,

а m - число тех исходов, которые благоприятствуют событию (то есть тому, что указано в условии задачи).

Пример1. В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что орел выпадет ровно один раз.

Итак, монету бросают дважды. Если обозначить буквой Р выпадение решки, а буквой О - выпадение орла, то все возможные выпадения можно записать так: РР, ОР, РО и ОО. Подсчитываем число этих комбинаций и получаем n=4. Теперь из них нужно отобрать только те, что удовлетворяют условию "орел выпадет ровно один раз", это комбинации ОР и РО и их ровно m=2. Тогда искомая вероятность равна P=2/4=1/2=0.5. То есть-это половина всех подбрасываний.

Пример 2. В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что оба раза выпала одна сторона.

Итак, монету бросают дважды. Все возможные выпадения : РР, ОР, РО и ОО. Подсчитываем число этих комбинаций и получаем n=4. Теперь из них нужно отобрать только те, что удовлетворяют условию "оба раза выпала одна сторона", это комбинации ОО и РР и их ровно m=2. Тогда искомая вероятность равна P=2/4=1/2=0.5. То есть-это половина всех подбрасываний.

Пример3.Монету бросают 4 раза. Найти вероятность того, что герб выпадет от 2 до 3 раз.

Выписываем все возможные комбинации для 4 бросков монеты. Чтобы проверить себя, сразу подсчитаем, что их должно получиться n =16! Вот они:

OOOO, OOOP, OOPO, OOPP, OPOO, OPOP, OPPO, OPPP,

POOO, POOP, POPO, POPP, PPOO, PPOP, PPPO, PPPP.

Теперь выбираем те, где орел встречается 2 или 3 раза: OOOP, OOPO, OOPP, OPOO, OPOP, OPPO, POOO, POOP, POPO, PPOO,

их будет m=10. Тогда вероятность равна P=m/n=10/16=5/8=0.625.

Надо заметить, что если действовать исключительно  методом перебора , с ростом числа монет быстро растет число комбинаций (для 5 монет - 32, для 6 монет - 64 и так далее), то  вероятность ошибиться при выписывании исходов велика, метод решения теряет свою простоту и привлекательность.

Один из способов решения этой проблемы - остаться в рамках формулы классической вероятности, но использовать комбинаторные методы для подсчета числа исходов.

Решим вторую задачу другим способом.

Пример2. Монету бросают 4 раза. Найти вероятность того, что герб выпадет от 2 до 3 раз.

Найдем количество всех равновозможных элементарных исходов эксперимента, заключающегося в бросании 4 монет. Все исходы можно закодировать некоторой последовательностью вида

X1 X2 X3 X4

Значение X1 (результат первого броска) может быть выбран 2 способами (орел или решка), значение X2 (результат второго броска) может быть выбран 2 способами (орел или решка), и так далее. Итого получим всего n=2⋅2⋅2⋅2=16 различных исходов. Или, если использовать формулу комбинаторики для числа размещений с повторениями из 2 объектов по 4 позициям, сразу получим n=16.

                (Количество размещений с повторениями из n по k )

                ====16

Найдем число благоприятствующих исходов с использованием комбинаторики. Сначала найдем число таких последовательностей, где О встречается ровно 2 раза из 4.

      ====6

способами выбираем 3 позиции, где будет стоять О (на оставшейся позиции записывается решка).

      ====4

             m=+=6+4=10.

Итого получаем такое же значение вероятности: P=m/n=10/16=0.625

Конечно, этот подход кажется сложнее из-за более формального математического описания решения, но гораздо легче масштабируется.

4.Проверка

1) Выпадение орла и орешки события равновозможные и их вероятности выпадения равны ½. Проверим. В этом мне помогали ребята из моего класса. 2 2 человека подкинули монету 20 раз, вышло 440 экспериментов. Орёл выпал 175 раз и решка-265 раз. Выпадение орла равно примерно 0.4, а решки- 0,6.

2.) 18 учеников  подкинули  монету 2 раза и записал результат. Эксперимент повторили 20 раз. Всего получилось  360 раз был проведён эксперимент. Вот итоги нашего эксперимента: ОО выпало 94 раза, ОР -184 раза, а РР – 82 раз.

Орел выпадет ровно один раз : 184 из 360 раз (82+94+184). Примерно равно 0,51.

Оба раза выпала одна сторона-176(82+94) из 360, это примерно 0,49.

3.) Следующим экспериментом было подкидывание монеты 4 раза. Участвовало 18 человек, эксперимент повторили 5 раз, итого 90 экспериментов. Последовательность выпадения орла и решки не учитывала, учитывала только количество выпадения .

Получились такие результаты: ОООО выпало7 , ОООР выпало 21раз, РРОО-35 раз ,ОРРР-23 раза, РРРР-4 раза.

Герб выпадет от 2 до 3 раз:56/90=0,62

4.) В литературе написано : « не существенно, написать "бросают 4 монеты" или "бросают монету 4 раза", результат (в смысле вычисления вероятности) будет один и тот же (так как результаты бросков независимы друг от друга).Проверим, ученикам раздаём по   4 монеты и кидать нужно 1 раз. 25 учеников кидали повторили эксперимент 20 раз, итого 500 экспериментов.

Получились такие результаты: ОООО выпало 47 раз, ОООР выпало 102 раза, РРОО-157, РРРО-154, РРРР-40 раз.

Герб выпадет от 2 до 3 раз:157+102=259 раз из 500 раз (47+40+157+154+102),

Равно 259/500=0,51

5.Заключение

По представленным выше примерам можно сделать вывод:

1.Задача №1.  В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что орел выпадет ровно один раз.

Решая по формулам получила, орёл выпал один раз 0,5, в эксперименте вышло 0,51. Ответы почти сошлись.

2.Задача №2. В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что оба раза выпала одна сторона.

Решая по формулам получила, одна сторона  выпала 0,5 раз, в эксперименте вышло 0,49. Ответы почти сошлись.

3. Задача № 3. Пример3.Монету бросают 4 раза. Найти вероятность того, что герб выпадет от 2 до 3 раз.

Решая по формулам получила, герб выпадет от 2 до 3 раз  0,625. Эксперимент проводили двумя способами, когда по отдельности кидали монету 4 раза , то вероятность выпадения герба от 2 до 3 раз вышла равна 0,62,а когда кидали сразу 4 монеты, то вероятность вышла равна 0,51.Расхождения есть, но не значительные.

Моя  гипотеза подтвердилась. Вычисления по формулам и экспериментальным путём примерно одни и те же.

Ещё одна задача. 

В теории вероятности есть и другие задачи, допустим, сколько способов рассадки существует.

Задача. Найти идеальный способ рассадки учащихся 6Е класса.

Решение. Нас в классе 25 человек, парт 30. Итого 25! способов рассадки учащихся в классе, это очень большое число. Но я хочу найти идеальный способ рассадки. Поэтому я почитала рекомендации врачей , психологов, педагогов(приложение 1), провела анкетирование и составила таблицу, куда занесла все собранные данные(приложение 3), учла кто с кем дружит и враждует (приложение 2).

Этапы работы с данными:

1. я поделила класс на две группы(1,2,3вариант и 4,5,6 вариант),в первую группу вошли «право ухие » девочки и «лево глазые » мальчики, во вторую группу –все остальные (приложение 3);
2. на 2-й вариант третьего ряда и последние парты «посадила» гиперактивных ребят учитывая рост детей;
3. рассадила детей, у которых есть рекомендации медиков;
4. на первый вариант «рассадила»  первую группу ребят самых высоких по росту и совместимости(таблица враг-друг, приложение 2);
5. к тем ребятам, которые уже рассажены , нашла пары, учитывая совместимость по знакам зодиак;
6. на второй ряд 1вариата «посадила» детей из 1 группы кто остался, а на 2 вариант ребят из второй группы, пытаясь учитывать совместимость по знакам зодиак и рост ребят, а также таблицу враг-друг;

Вот два из получившихся у меня вариантов:

1вариант                    

2 вариант                      

Вывод: идеального способа рассадки не получилось, не возможно всё учитывать одновременно, можно брать только несколько данных.

Этот эксперимент ещё не окончен, работа ещё продолжается. Я планирую следующие шаги в этом эксперименте:

1. зашифровать фамилии ребят, и дать все данные к рассадке , предложить ребятам попробовать рассадить учащихся , что бы они поняли, что это не так просто, выбрать вместе с ребятами из класса самую удачную рассадку ;
2.  предложить этот  способ рассадки классному руководителю;
3. сравнить дисциплину до и после новой рассадки;
4. сравнить успеваемость до и после;

5.выделить эту задачу в отдельную работу.

В заключение хочу сказать, что мне было интересно работать над этим проектом. Я нисколько не сомневаюсь, что эта информация мне пригодится в будущем.

Приложение 1

Как рассадить детей в классе? Советы педагогов и психологов

1.Гиперактивных детей лучше сажать буквой “Г”: это 2-й вариант третьего ряда и последние парты.

2.В последнее время всё больше и больше психологов выступают против ротации учащихся. Объясняется такая точка зрения тем, что в психологии есть понятия “ведущие ухо” (кто-то прикладывает трубку телефона к правому уху, а кто-то к левому), “ведущий глаз” (правый, левый). Девочек брать по уху, а мальчиков лучше брать по ведущему глазу.

3. Слабых учеников сажаем за первую-вторую парту. Причем правила «сильный — слабый» никто не отменял. А правило это гласит: «Если посадить слабого ученика с сильным, то, скорее всего, этот слабый ученик начнет учиться хоть немного лучше» (обратные процессы тоже встречаются, но гораздо реже).

4.Учеников маленького роста совсем не обязательно размещать за первыми партами. Любые места по краю ряда позволят таким детям видеть то, что написано на доске. А вот высоких мальчиков и девочек лучше посадить с противоположной стороны, причем неважно, первая это будет парта или последняя.

5. Есть такие тревожные дети, которые боятся учителей. Их в классе сразу заметно, т. к. они сидят практически неподвижно, вжав голову в плечи, и редко поднимают руку, чтобы ответить. Не стоит сажать таких учащихся близко к учителю или учительского стола.

6.«С кем посадить Сидорова?», то здесь нужно думать и рисовать. Возьмите лист бумаги большого размера и попробуйте нарисовать некую схему «дружбы —недружбы». То есть напишите все фамилии детей класса и стрелками отметьте, кто из детей с кем дружит. Затем стрелками другого цвета отметьте тех, кто мешает друг другу на уроке. Затем возьмите карандаш третьего цвета и нарисуйте те взаимоотношения, которые никак нельзя назвать товарищескими. Только сейчас вы можете изобразить план класса и, анализируя ситуацию, попытаться разместить детей так, чтобы им было комфортно учиться и общаться.

7.Итак, хорошо контактируют между собой дети «огненных» и «воздушных» знаков. Приемлемы следующие сочетания: Лев – Весы,Стрелец – Водолей,Овен - Близнецы . (Эти идеальные сочетания)

Нормальными будут отношения у таких знаков, как:Лев – Близнецы, Стрелец – Весы, Овен – Водолей . Можно «ветерков» объединить: Весы – Близнецы, Близнецы – Водолеи, Водолеи – Весы.(Будут искать яркие и изящные формы, чтобы блеснуть). Или «огненных» ребят: Лев – Стрелец, Овен – Лев, Стрелец – Овен.(Они будут стараться опередить друг друга, и возникнет «здоровая» конкуренция).Осторожно надо отнестись к противоположным сочетаниям: Стрелец – Близнецы, Овен – Весы, Лев – Водолей.(Они как 6 и 12 часов)Так же хорошо ладят между собой «водные» и «земные» знаки: Телец – Рак, Дева – Скорпион, Козерог – Рыбы.(Эти сочетания идеальны)Нормально соседствуют: Рыбы – Телец, Рак – Дева, Скорпион – Козерог.  Можно объединить «водников»: Рыбы – Рак, Рак – Скорпион, Скорпион – Рыбы.(Они одной стихии и с полуслова понимают друг друга) Или «земных»: Дева – Козерог, Козерог – Телец, Телец – Дева.(По восприятию очень похожи между собой). Проблематична посадка: Козерог – Рак, Телец – Скорпион, Дева – Рыбы.(Они полная прротивоположность друг другу,как день и ночь). Но ни в коем случае нельзя объединять «водные» и «огненные» знаки, так как одни «подогревают» других до кипятка, а те их «тушат». В общем «война миров».

Список литературы

1. http://WWW.MATBURO.RU/TVART_SUB.PHP?P=ART_MONETA
2. http://www.itmathrepetitor.ru/1-2-klassicheskoe-opredelenie-veroyatnos/
3. https://ru.wikipedia.org/wiki
4. Молодинов Леонард «не совершенная случайность, как случай управляет нашей жизнью.