Проект исследовательской работы по математике "Теоремы и следствия"

Слайд 1

Работа на конкурс творческих проектов по математике в номинации «Наука математики» по теме «Теоремы и следствия» Проект подготовила ученица 8-го класса МКОУ «Дубровская СШ № 21» Хрунова Кристина Владимировна Руководитель проекта: учитель математики Морозов М.А. Адрес школы: Ефремовский район, д. Мордовка, д. 3, тел.: 8-48741-90-142, е -mail : school21.efremov@tularegion.org

Слайд 2

В геометрии существует бесконечное множество теорем о различных геометрических фигурах. В учебнике приведена лишь незначительная их часть – самые необходимые для решения задач учебника. Но любая решенная задача на доказательство фактически становится теоремой, (запомнив) которую можно применять при решении других задач более рациональным способом. В этом проекте перечислены лишь те, которые применяются чаще остальных.

Слайд 3

Наиболее ярким примером таких теорем, на мой взгляд, является теорема, сформулированная в 7-ом классе по условию задачи № 43 (стр 56) к пункту о прямоугольном треугольнике в учебнике Алексея Васильевича Погорелова: «Катет прямоугольного треугольника, лежащий напротив угла в 30 0 , равен половине гипотенузы». Эту теорему мы назвали «Свойство прямоугольного треугольника с углом в 30 0 ». И сейчас при решении задач на прямоугольном треугольнике в 8-ом классе мы очень часто пользуемся этой теоремой. 30 0 а 2а

Слайд 4

Из этой теоремы можно сформулировать еще три теоремы: два свойства прямоугольно треугольника и один его признак: В прямоугольном треугольнике гипотенуза вдвое больше катета, лежащего напротив угла в 30 0 ; В прямоугольном треугольнике, угол лежащий напротив катета, который вдвое меньше гипотенузы, равен 30 0 ; Если сторона треугольника, лежащая напротив угла в 30 0 , вдвое меньше любой другой его стороны, то такой треугольник является прямоугольным, причем прямой угол в этом треугольнике будет лежать напротив той самой стороны, которая в два раза больше данной (эту теорему мы докажем в 9-ом классе с помощью теоремы синусов).

Слайд 5

Из определения равных треугольников можно сформулировать свойство равных треугольников: «У равных треугольников соответствующие стороны и соответствующие углы равны, причем напротив равных сторон лежат равные углы, а напротив равных углов – равные стороны». А В С М К Р Если АВС = МКР, то АВ=МК, ВС=КР, АС=МР, А= М, В= К, С= Р.

Слайд 6

Из свойства равнобедренного треугольника , из теоремы о сумме углов треугольника и определения равностороннего треугольника следуют: свойство равностороннего треугольника: «В равностороннем треугольнике все углы равны по 60 0 » , признак равностороннего треугольника: «Если один из углов равнобедренного треугольника равен 60 0 , то такой треугольник – равносторонний», и свойство острых углов прямоугольного треугольника: «Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90 0 ». Здесь же можно отметить признак равнобедренного треугольника: «Если острый угол прямоугольного треугольника равен 45 0 , то такой треугольник – равнобедренный»

Слайд 7

С помощью свойства медианы равнобедренного треугольника можно решить много задач на доказательство, по условию которых можно сформулировать еще два свойства равнобедренного треугольника и три его признака: Биссектриса равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является медианой и высотой; Высота равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является медианой и биссектрисой; Если в треугольнике высота является биссектрисой, то такой треугольник – равнобедренный; Если в треугольнике биссектриса является медианой, то такой треугольник – равнобедренный; Если в треугольнике медиана является высотой, то такой треугольник – равнобедренный.

Слайд 8

Из свойства углов, образованных параллельными и секущей и свойства вертикальных углов следует еще одно свойство: «При параллельных и секущей соответственные углы равны». 1 2 a b Если a b , то 1 = 2.

Слайд 9

Обратная теорема для свойства противолежащих сторон и углов параллелограмма , а также определение параллелограмма дают нам еще три признака параллелограмма: Если все противолежащие стороны четырехугольника равны, то этот четырехугольник – параллелограмм; Если все противолежащие углы четырехугольника равны, то такой четырехугольник – параллелограмм; Если две противолежащие стороны четырехугольника равны и параллельны, то такой четырехугольник – параллелограмм.

Слайд 10

Из свойства углов параллелограмма и определения прямоугольника следует признак прямоугольника: «Если у параллелограмма есть прямой угол, то такой параллелограмм – прямоугольник.

Слайд 11

Из определения равнобокой трапеции и определения равных треугольников следует теорема (свойство равнобокой трапеции): «У равнобокой трапеции углы при основаниях равны» . Из определения трапеции и определения расстояния между параллельными прямыми можно сформулировать теорему: «Высоты трапеции параллельны и равны» Е М Т К МЕ КТ

Слайд 12

Теорема, обратная теореме Пифагора, которую можно составить по задаче №17 (стр. 102) становится признаком прямоугольного треугольника: «Если квадрат большей стороны треугольника равен сумме квадратов двух других его сторон, то такой треугольник – прямоугольный, а большая сторона – это гипотенуза». А В С Если ВС 2 = АВ 2 + АС 2 , то АВС – прямоугольный, с гипотенузой ВС.

Слайд 13

Из теоремы Пифагора и свойства равностороннего треугольника следует теорема о нахождении медианы равностороннего треугольника: «Медиана равностороннего треугольника со стороной а равна », а зная, что медианы треугольника, пересекаясь в одной точке, делятся в отношении 2:1, причем у равностороннего треугольника больший отрезок будет радиусом описанной окружности, а меньший – радиусом вписанной окружности, то можно сформулировать формулы нахождения радиусов вписанной и описанной окружностей равностороннего треугольника через его медиану: «Радиус окружности, описанной около равностороннего треугольника, равен две третьи медианы. Радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник, равен одной трети медианы». 2 а 3 R = m ; r = m 2 3 1 3

Слайд 14

С помощью теоремы Пифагора можно получить формулы диагонали квадрата и гипотенузы прямоугольного равнобедренного треугольника: «Диагональ квадрата со стороной а равна a », и следовательно «Гипотенуза прямоугольного равнобедренного треугольника с катетом а равна а ». Обратные теоремы также верны: «Если диагональ квадрата равна а , то его сторона равна », «Если гипотенуза прямоугольного равнобедренного треугольника равна а , то катеты его равны » 2 2 а 2 а 2 а а 2 а а 2 а

Слайд 15

В учебнике после формулировки теоремы о неравенстве треугольника (теорема 7.3 учебника) дается только одно следствие: «В любом треугольнике каждая сторона меньше суммы двух других сторон». Но в некоторых случаях удобно пользоваться вторым следствием, сформулированным по условию задачи №25 (стр. 102 учебника): «Любая сторона треугольника больше разности двух других его сторон».

Слайд 16

В перспективе – продолжить исследование по данному направлению и подготовить аналогичный сборник теорем и следствий за курс 9-го класса, чтобы сборник за курс планиметрии был полным.

Слайд 17

Список ресурсов