Дело о делимости

Муниципальное автономное общеобразовательное учреждение

«Лицей № 11 города Благовещенска»

ШКОЛЬНАЯ НАУЧНО-ПРАКТИЧЕСКАЯ КОНФЕРЕНЦИЯ

«ПОЗНАНИЕ И ТВОРЧЕСТВО»

Проектно-исследовательская работа

Тема: «ДЕЛО О ДЕЛИМОСТИ»

Благовещенск 2017

ВВЕДЕНИЕ

Признаки делимости известны с давних времен и всегда интересовали ученых разных народов. Признаки делимости – особенности чисел, которые помогают быстро определить, делится ли данное число на другое. Знание этих признаков необходимо при решении многих задач, помогает в жизни при выполнении расчетов, развивает вычислительные навыки. Кроме того, умение пользоваться признаками делимости необходимо при решении задач ОГЭ и ЕГЭ.

Цель исследования: исследовать и систематизировать признаки делимости натуральных чисел.

Для достижения этой цели необходимо решить следующие задачи:

1. Изучить теоретический материал по данной проблеме.

2. Повторить признаки делимости на 2, 3, 5, 9, 10, изучаемые в школе.

3. Объединить и обобщить признаки делимости из разных источников.

4. Решить задачи, при решении которых применяются признаки делимости натуральных чисел.

Объект исследования: делимость чисел.

Предмет исследования: признаки делимости натуральных чисел нацело, позволяющие решить задачи, не прибегая к громоздким решениям.

Гипотеза: При изучении на уроках математики признаков делимости натуральных чисел на 2, 3, 5, 9, 10 в начале учебного года я предположил, что существуют и другие признаки, позволяющие облегчить работу с числами.

Методы исследования: сбор информации, анализ данных, метод сравнения, обобщение.

1 ДЕЛИМОСТЬ ЧИСЕЛ

1.1 Основные понятия

Натуральные числа 1,2,3, ... – это числа, используемые для счета предметов или для указания порядкового номера того или иного предмета среди однородных предметов [1]. Любое натуральное число можно записать с помощью десяти арабских цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Число 0 не является натуральным числом.

Всякое число делится на единицу и само на себя. Существует очень много чисел, которые делятся не только на единицу и на само себя, но имеют еще и другие делители: например, число 30, кроме единицы и 30, имеет еще делители: 2, 3, 5, 6, 10 и 15.

Всякое число, кроме единицы, которое делится только на единицу и само на себя, называется простым (или абсолютно простым, или первоначальным).

Число, которое делится не только на единицу и само на себя, но еще и на другие числа, называется составным (или сложным).

Число 1 не относится ни к простым, ни к составным числам, оно занимает особое положение.

Есть 25 простых чисел, меньших 100:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41,

43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97.

Разложение составного числа на простые множители. Всякое составное число можно разложить на простые множители, т. е. представить его в виде произведения простых чисел. Например, разложить 12 на простые множители – значит представить это число так:

12 = 2 ⋅ 2 ⋅ 3.

Числа, делящиеся на 2, называются четными, а не делящиеся на 2 –нечетными. В ряду натуральных чисел числа нечетные и четные чередуются.

Определение делимости. Если для некоторого целого числа a и целого числа b существует такое целое число c, что b·c = a, то говорят, что число a делится на b или что b делит a. При этом используют терминологию: число b является делителем числа a; делимое a кратно числу b [2-4]. 

Для удобства описания делимости было принято обозначение. Если целое число a является кратным целого числа b (a кратно b, или a делится на b), то это записывают с помощью символа, представляющего собой три расположенные по вертикали точки «⋮», в виде a⋮b. Например, запись 972⋮9 означает, что целое положительное число 972 делится на 9.

1.2 Свойства делимости чисел

При рассмотрении признаков делимости часто пользуются следующими свойствами суммы и разности [5]:

1) если каждое слагаемое делится на одно и то же число, то и сумма разделится на это число;

2) если одно слагаемое не делится, а все прочие делятся на какое-нибудь число, то сумма не разделится на это число;

3) если уменьшаемое и вычитаемое делятся на одно и то же число, то и разность делится на это число.

Рассмотрим свойства делимости чисел [4, 6]:

Свойство 1. Если оба числа а и b делятся на m, то и их сумма а + b и их разность а – b делятся на m.

Следствие 1. Если сумма нескольких слагаемых делится на m и известно, что все слагаемые, кроме одного, делятся на m, то и оставшееся слагаемое также делится на m.

Свойство 1. Если а делится на m и b делится на n, то a ⋅ b делится на     m ⋅ n.

Следствие 2. Если а делится на m, то аn делится на mn (здесь n – любое натуральное число).

Следствие 3. Если хотя бы один из множителей делится на m, то и произведение делится на m.

2 ПРИЗНАКИ ДЕЛИМОСТИ ЧИСЕЛ

Существуют признаки, по которым иногда легко узнать, не производя деления на самом деле, делится или не делится данное число на некоторые другие числа. Рассмотрим эти признаки.

На школьных уроках математики были рассмотрены признаки делимости чисел на 2, на 5 и на 10, а также на 3 и на 9 [5].

Признак делимости на 2

На 2 делятся все те и только те числа, которые оканчиваются четной цифрой. При этом цифра нуль считается четной, так как она изображает число, делящееся на 2.

Например, число 564 заканчивается четной цифрой, поэтому делится на 2.

Признаки делимости на 5 и на 10

На 5 делятся все те и только те числа, которые оканчиваются нулем или цифрой 5; на 10 делятся все те и только те числа, которые оканчиваются нулем.

Например, числа 1230 и 575 делятся на 5, т.к. оканчиваются нулем или цифрой 5; число 1230 также делится на 10, т.к. оканчивается нулем.

Признаки делимости на 3 и на 9

На 3 делятся все те и только те числа, у которых сумма цифр делится на 3.

Например, число 732 делится на 3, т.к. сумма цифр равна 7 + 3 + 2 = 12 и 12 : 3 = 4.

На 9 делятся все те и только те числа, у которых сумма цифр делится на 9.

Например, число 819 делится на 9, т.к. сумма цифр равна 8 + 1 + 9 = 18 и 18 : 9 = 2.

Кроме того, существуют также и другие признаки делимости [2-4, 6, 7]. Рассмотрим их подробнее.

Признак делимости на 4

На 4 делятся все те и только те числа, у которых две последние цифры выражают число, делящееся на 4. Всякое число, оканчивающееся двумя нулями, также делится на 4.

Например, числа 200 и 3116 делятся на 4, т.к. число 200 заканчивается двумя нулями, а две последние цифры числа 3116 делятся на 4 – 16 : 4 = 4.

Признаки делимости на 6 и 12

На 6 делятся все те и только те числа, которые делятся и на 2 и 3.

Например, число 672 делится на 6, т.к. заканчивается четной цифрой (поэтому делится на 2), и сумма цифр делится на 3 – 6 + 7 + 2 = 15 и             15 : 3 = 5.

На 12 делятся все те и только те числа, которые делятся на 3 и на 4.

Например, число 144 делится на 12, т.к. сумма цифр делится на 3 –       1 + 4 + 4 = 9 и 9 : 3 = 3, и две последние цифры делятся на 4 – 44 : 4 = 11.

Признак делимости на 8

На 8 делятся все те и только те числа, у которых три последние цифры выражают число, делящееся на 8.

Например, число 569104 делится на 8, т.к. 104 : 8 = 13.

Признак делимости на 11

На 11 делятся все те и только те числа, у которых сумма цифр, стоящих на нечетных местах равна сумме цифр, стоящих на четных местах, или отличается от нее на 11.

Например, число 264 делится на 11, т.к. 4 + 2 = 6.

Признак делимости на 15

На 15 делятся все те и только те числа, которые делятся на 3 и на 5.

Например, число 915 делится на 3, т.к. сумма цифр делится на 3 –         9 + 1 + 5 = 15 и 15 : 3 = 5, и делится на 5, т.к. заканчивается цифрой 5.

Признак делимости на 25 и 50

На 25 делятся все те и только те числа, у которых две последние цифры или нули, или 25, или 50, или 75.

Например, числа 6700, 4325 и 275.

На 50 делятся все те и только те числа, у которых две последние цифры нули или 50.

Например, числа 81500 и 1350.

Таким образом, изученные мною признаки делимости можно оформить в виде таблицы:

В начале своего исследования я предложил одноклассникам решить задачу, для решения которой необходимо знание признаков делимости натуральных чисел.

Условие задачи: найдите четырехзначное число, кратное 22, произведение цифр которого равно 24. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Результаты опроса:

• Участвовало – 28 человек.
• Верно ответили – 2 человека (7 %).
• Неверно ответили – 26 человек (93 %).

Результаты работы показали, что большинство ребят класса не справились с заданием, ведь многие признаки делимости чисел в школе не изучаются.

После презентации своего исследования в классе, я провел повторный опрос. Результаты показали, что уровень решения подобных задач значительно возрос:

•        Участвовало – 28 человек.

•        Верно ответили – 2 человека (7 %).

•        Неверно ответили – 26 человек (93 %).

Значит, знание признаков делимости действительно облегчает работу с числами, что подтверждает Гипотезу, выдвинутую мной в начале исследования.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Не всегда одно натуральное число делится на другое натуральное число без остатка. Знание и использование признаков делимости чисел очень упрощает многие вычисления, позволяет быстро выполнить вычисления.

В ходе работы был изучен теоретический материал по проблеме делимости натуральных чисел. Обобщены признаки делимости и сведены в таблицу.

При исследовании признаков делимости я узнал, что существуют другие признаки делимости натуральных чисел (на 4, 6, 8, 11, 12, 15, 25), что подтвердило правильность гипотезы о существовании других признаков делимости натуральных чисел.

Существуют и другие признаки делимости чисел, однако они более сложные и в программе средней школы не рассматриваются.

Используя полученные теоретические знания, я решил задачи, в которых применяются признаки делимости натуральных чисел (источник «РЕШУ ЕГЭ: Математика – базовый уровень» [8] (https://mathb-ege.sdamgia.ru/test?theme=229) (см. Приложение).

Материалы моего труда размножены и используются моими одноклассниками. Планируется разместить их на сайте моего учителя математики. Надеюсь, что они будут полезны не только для учащихся, но и выпускников.

Дело о делимости закрыто.

Список информационных источников

Настольные издательские системы

1. Воробьев Н.Н. Признаки делимости / Н.Н. Воробьев. – М.: Наука, 1988. – 96 с.
2. Сикорский К. П. Дополнительные главы по курсу математики / Сост. К. П. Сикорский. – М.: «Просвещение», 1974. – 367 с.
3. Сгибнев А.И. Делимость чисел и простые числа / А.И. Сгибнев. – М.: МЦНМО, 2012. – 152 с.
4. Киселев А.П. Арифметика / А.П. Киселев. – М.: Учпедгиз, 1954. – 167 с.
5. Математика: учеб. для 6 кл. / Н.Я. Виленкин, В.И. Жохов, А.С. Чесноков, С.И. Шварцбурд. – М.: Мнемоника, 2006. – 288 с.

Интернет-ресурсы

6. http://umath.ru/theory/priznaki-delimosti-chisel/
7. http://shkolo.ru/priznaki-delimosti-naturalnyih-chisel-na-2-3-4-5-6-9-10-11-25-i-razryadnuyu-edinitsu/
8. https://mathb-ege.sdamgia.ru/test?theme=229

ПРИЛОЖЕНИЕ

Приложением к данной работе является брошюра с решением различных учебных математических задач по данной теме.