Исследовательская работа "Золотое сечение"

Министерство образования и молодежной политики Ставропольского края

Государственное бюджетное профессиональное образовательное учреждение

«Пятигорский техникум торговли технологий и сервиса»

ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКАЯ РАБОТА

Золотое сечение

Студента группы 1 бух А9

Балаяна Артёма Кимаевича

Научный руководитель:

Преподаватель математики

Вербицкая Светлана Николаевна

Пятигорск

2017 г.

Введение        4

Глава 1. Знания о «Золотом сечении»        4

Глава 2. История «золотого сечения» или «Золотой пропорции»        5

Глава 3. Практическая часть. «Золотое сечение» вокруг нас        6

3.1 Исследования в области архитектуры        6

3.2 Исследования в области живописи        7

3.3 «Золотое сечение» в сравнении с фотографией        9

3.4 «Золотое сечение» в музыке        10

Вывод по практической части.        12

Заключение        13

Список литературы        14

Введение

Тема «Золотое сечение» актуальна в современном развивающемся мире, так например, в архитектуре, живописи «правило золотого сечения» встречается очень часто.

Золотое сечение – это деление непрерывной величины на две части в таком отношении, при котором меньшая часть так относится к большей, как большая ко всей величине.

Термин «Золотое сечение» встречается во многих сферах человеческой деятельности, а также в окружаемом нас мире.

В античной литературе деление отрезка в крайнем и среднем отношении впервые встречается в «Началах» Евклида (ок. 300 лет до н. э.), где оно применяется для построения правильного пятиугольника. Интерес и споры вокруг этого понятия не исчезли и по сегодняшний день. Многие люди стремятся найти золотое сечение во всём, есть и те, кто считают, что золотое сечение имеет множество замечательных свойств, но ещё больше свойств вымышленных.

Людей с давних времён волновал вопрос, подчиняются ли такие неуловимые вещи как красота и гармония, каким-либо математическим расчётам. Можно ли «проверить алгеброй гармонию?» – как сказал А.С. Пушкин.

Понятие о золотом делении ввел в научный обиход Пифагор, древнегреческий философ и математик (VI в. до н.э.). Есть предположение, что Пифагор свое знание золотого деления позаимствовал у египтян и вавилонян. И действительно, пропорции пирамиды Хеопса, храмов, барельефов, предметов быта и украшений из гробницы Тутанхамона свидетельствуют, что египетские мастера пользовались соотношениями золотого деления при их создании.

Глава 1. Знания о «Золотом сечении»

Анкета для опроса учащихся 1 курса

1. Золотое сечение – это:

а) отрезок с концами на сторонах угла

б) пропорциональное деление отрезка на неравные части, при котором весь отрезок так относится к большей части, как сама большая часть относится к меньшей; или другими словами, меньший отрезок так относится к большему, как больший ко всему отрезку.

в) пара отрезков с общим концом

2. Кто ввел понятие «золотое деление» в научный обиход:

а) Аристотель

б) Пифагор

в) Евклид

3. Золотое сечение обозначается греческой буквой:

а) Ф

б) P

в) H

4. Какому ученому принадлежат слова: «Геометрия владеет двумя сокровищами: одно из них – теорема Пифагора, другое – деление отрезка в среднем и крайнем отношении»:

а) Кеплер

б) Гегель

в) Аристотель

5. У кого позаимствовал понятие о золотом сечении Пифагор?

а) египтяне и вавилоняне

б) римляне

в) персы

6. Назовите отношение золотого сечения:

а) 2:3

б) 1:3

в) 2:1

7. Где впервые упоминается золотое сечение?

а) в египетских свитках

б) в 2-ой книге «Начал»

в) в «Библии»

8. Как вы оценивается свою информационную компетентность по золотому сечению?

а) низкое

б) среднее

в) высокое

 Спасибо!

Глава 2. История «золотого сечения» или «Золотой пропорции»

История предполагает, что первым, кто ввёл понятие о золотом сечении в науку, был Пифагор в VI в. до н. э., а нужную информацию он получил из древнеегипетских и вавилонских источников. Есть мнение, что изучение золотого сечения было основной задачей в знаменитой школе пифагорейцев.^[1] 

Позже, в III в. до н. э., было впервые описано геометрическое построение золотой пропорции. Во всяком случае, об этом свидетельствуют дошедшие до нас источники. Великий математик Евклид изобразил его на своем «Золотом пятиугольнике» в главном труде своей жизни «Начала». Одна из особенностей пятиугольника в том, что соотношение смежных углов при его построении 0,4 к 0,6, то есть близкое «золотому». После Евклида исследования продолжили Гипискл (II в. до н. э.) и Папп (III в. До н. э.).

В средние века и эпоху возрождения активно изучают и применяют золотую пропорцию многие ученые, архитекторы, скульпторы и художники. Самый известный из них – Леонардо да Винчи. Многие авторитетные источники гласят, что именно он автор термина «золотое сечение». На его картинах каждая деталь занимает своё определённое место. Позиция и размеры деталей связаны между собой в соотношении 0,62 к 0,38. Благодаря этому работы выполнены гениально искусно и выглядят очень гармонично.

Один из величайших трудов о золотой пропорции был также написан в эпоху Ренессанса. В 1509 г. великий итальянский математик Фра Лука Пачоли издал свой трактат «О божественной пропорции», который раскрывал принципы «золотого сечения» и был настоящим пособием для художников, математиков и архитекторов. Книгу Пачоли закончил уже в старости, за 8 лет до смерти.

Глава 3. Практическая часть. «Золотое сечение» вокруг нас

3.1 Исследования в области архитектуры

Уже давно человечеству известен такой феномен, как золотое сечение в архитектуре. Его тайна была интересна Евклиду, Платону, Леонардо да Винчи, Кеплеру, а также многим другим крупным мыслителям. Они неразрывно связывали данное понятие с понятием всеобщей гармонии, которая пронизывает Вселенную.

Классическими проявлениями данного феномена служат предметы обихода, архитектура, скульптура, музыка, математика и эстетика. В прошлом столетии с расширением области человеческих знаний резко увеличилась численность сфер, где есть феномен золотого сечения. Это зоология, биология, экономика, кибернетика, психология, астрономия, геология и теория сложных систем.^[2] 

Золотое сечение в архитектуре было замечено давно. Можно указать такие объекты, как египетские пирамиды, а также многие произведения искусства - скульптуры, картины и кинофильмы.

Одним из красивейших произведений древнегреческой архитектуры является Парфенон (V в. до н. э.).

На рисунках виден целый ряд закономерностей, связанных с золотым сечением. Пропорции здания можно выразить через различные степени числа Ф=0,618...

Золотое соотношение мы можем увидеть и в здании собора Парижской Богоматери (Нотр-дам де Пари), и в пирамиде Хеопса:

Не только египетские пирамиды построены в соответствии с совершенными пpопоpциями золотого сечения; то же самое явление обнаружено и у мексиканских пирамид.^[3] 

Золотая пропорция применялась многими античными скульпторами. Известна золотая пропорция статуи Аполлона Бельведерского: рост изображенного человека делится пупочной линией в золотом сечении.

3.2 Исследования в области живописи

Еще в эпоху Возрождения художники открыли, что любая картина имеет определенные точки, невольно приковывающие наше внимание, так называемые зрительные центры. При этом абсолютно неважно, какой формат имеет картина - горизонтальный или вертикальный. Таких точек всего четыре, и расположены они на расстоянии 3/8 и 5/8 от соответствующих краев плоскости. Данное открытие у художников получило название «золотое сечение» картины.^[4]

Леонардо да Винчи первым начал сознательно использовать пропорции «золотого сечения» в искусстве.

Символ пентаграммы помогал художникам в определении пространства картины, например, в расположении человеческих фигур. «Золотая» спираль применялась для тех же целей. «Святое семейство» Микеланджело является примером того, как для этой цели служила пятиконечная звезда.

Портрет Монны Лизы (Джоконды) долгие годы привлекает внимание исследователей, которые обнаружили, что композиция рисунка основана на золотых треугольниках, являющихся частями правильного звездчатого пятиугольника.

В ранней картине В.И. Сурикова «Милосердный самарянин» (1874) голова раненого помещена художником в правой нижней точке картины, ладонь правой руки самарянина – в левой верхней, где слуга льет в нее воду из кувшина. Обе эти точки находятся на диагонали. Устойчивость композиции придает и то, что голова самарянина находится на средней линии картины по вертикали.

Диагонали, линии золотого сечения и смысловой центр картины В. И. Сурикова «Милосердный самарянин»

Таблица 1. Величины нисходящего ряда золотой пропорции

Недостаток деления картины на 10 или 5 частей заключен в том, что оно дает довольно приблизительные отрезки золотого сечения – 60, 40, 20 (табл. 1, ряд 1). Более точные значения пропорциональных величин золотого сечения (62 и 38) дают возможность образовать 5 величин золотого ряда (табл. 1, ряд 2), еще более точные исходные величины – 61,8; 38,2 или 61,803 и 38,196 дают возможность продолжить нахождение величин нисходящего ряда золотой пропорции до 9 значений или даже до бесконечности (табл. 1, ряды 3 и 4). В практической работе художника над эскизом или картиной достаточно величин 2-го и 3-го рядов.

3.3 «Золотое сечение» в сравнении с фотографией

В фотографию правило «золотого сечения» пришло из живописи. Название сечению дал Леонардо да Винчи, который посвящал много времени изучению законов гармонии в архитектуре и сечению пятиугольников. «Закон звезды и формула цветка» - так поэтично определял ученый формулу золотого сечения.  Даже планировал описать секреты композиции в своем труде, но его опередил ученик живописца Пьеро делла Франчески,   -  Лука Пачоли.  Его книга «Божественная пропорция» считается одним из основных трудов по композиции.^[5]

Великие художники знали секрет «Золотого сечения» и располагали акценты в строго определенных точках холста, потому что именно по ним распределяется внимание зрителя. Точки эти располагаются на расстоянии 3/8 и 5/8 от края картины. В нашем случае – кадра.

Арифметическое  выражение закона «золотого сечения» нашел Фибоначчи. Ученый делает открытие, названное   Ряд Фибоначчи. В нем каждое число – сумма двух предыдущих: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55… Соотношение соседних чисел ряда имеет значение «Золотого сечения» и выводится из правила, по которому меньший отрезок так относится к большему, как больший ко всему.  Ряд Фибоначчи использовался позднее в архитектуре и теории игр, а сам ученый с его помощью решил куда более приземлённую задачу – нашел вес для гирь, которые позволяют  взвесить товар минимальным своим количеством

 «Золотое сечение» – это основа гармонии в формировании композиции кадра.

Расположение объектов в точках сечения дает ощущение уравновешенности снимка. Бывает ведь, что и объекты красивые на фотографии, и свет хороший, а все «не то»

В камерах есть опция «сетка», которая позволяет расположить объект в одной из точек сечения. Причем, кадр воспринимается человеком так же, как текст: слева – вправо и сверху вниз. Поэтому объекты стоит располагать так, чтобы главный акцент находился справа внизу, а остальные объекты вели к нему по кадру, раскрывая сюжет.

«Золотое сечение» также поможет гармонично расположить линию горизонта в пейзаже – на одной из горизонталей сечения, в зависимости от того, что имеет большее значение  – земля или небо. Главная  ошибка новичков – расположение линии горизонта в центре фотографии.

3.4 «Золотое сечение» в музыке

В числе первых, привлёкших внимание к закону золотого сечения в музыкальном произведении, был немецкий учёный XIX столетия А. Цейзинг.

Он зафиксировал наличие золотого сечения в отношениях между числами колебаний звуков, соединяемых в благозвучные аккорды.

С точки зрения Цейзинга, «большая или меньшая степень прекрасного зависит от большей или меньшей простоты отношений (наибольшей простотой отношений, по Цейзингу, и обладают отношения согласно закону золотого сечения. – А.К.) между числами колебаний звуков, соединяемых в аккорд». ^[6]

Настоящий же исследовательский бум вокруг проблемы золотого сечения в музыкальном творении связан с работами учёных XX в., в первую очередь отечественных: Э.К. Розенова, Л.Л. Сабанеева, Л.А. Мазеля, М.А. Марутаева.

В исследовании Э.К. Розенова золотое сечение рассматривается как условие соразмерности музыкального произведения, при этом золотое сечение, по мнению Розенова, должно решать три задачи: 1) устанавливать соразмерное отношение между целым и его частями; 2) быть особым местом удовлетворения подготовленного ожидания по отношению к целому или его частям; 3) направлять внимание слушателя на те места музыкального произведения, которым автор придаёт наиболее важное значение в связи с основной идеей произведения.

В работе Л.Л. Сабанеева золотое сечение также выступает в качестве условия соразмерности, по выражению автора, – «стройности», музыкального сочинения. Как полагает Сабанеев, вследствие того, что восприятие стройности частей целого, отмеченных какими-либо «эстетическими событиями или вехами», есть не что иное, как более или менее бессознательная оценка существующих отношений протяжённости этих частей, мы должны получать ощущение наибольшей стройности в том случае, когда этих отношений как можно меньше, а самих частей как можно больше.^[7] 

В работе М.А. Марутаева золотое сечение, наряду с так называемыми качественной и нарушенной симметрией, трактуется как предпосылка гармонии в музыке. Эта гармония, по Марутаеву, заявляет о себе в двух планах: как гармония, во-первых, темперированного строя – искусственного, т.е. созданного человеком музыкального строя, утверждавшегося в европейской профессиональной музыке  на протяжении XVI–XVIII вв., и, во-вторых, как гармония музыкального произведения.

Вывод по практической части

Принцип золотого сечения – высшее проявление структурного и функционального совершенства целого и его частей. Принципы «золотого сечения» используются в математике, физике, биологии, астрономии и др. науках, в архитектуре и др. искусствах. Они лежат в основе архитектурных пропорций многих замечательных произведений мирового зодчества, главным образом античности и Возрождения.

Золотое сечение - основа структурной гармонии природных и искусственных систем. Человек различает окружающие его предметы по форме. Интерес к форме какого-либо предмета может быть продиктован жизненной необходимостью, а может быть вызван красотой формы. Форма, в основе построения которой лежат сочетание симметрии и золотого сечения, способствует наилучшему зрительному восприятию и появлению ощущения красоты и гармонии.

Принципы «золотого сечения» используются в математике, физике, биологии, астрономии и др. науках, в архитектуре и др. искусствах. Они лежат в основе архитектурных пропорций многих замечательных произведений мирового зодчества, главным образом античности и Возрождения.

Гениальный ученый Иоганн Кеплер поставил пропорцию «золотого сечения» на один уровень с самой знаменитой геометрической теоремой. Однако «золотому сечению» повезло меньше, чем теореме Пифагора – «классическая» наука и педагогика его игнорируют, а «официальная» математика не признаёт.

Заключение

О золотом сечении знали еще в древнем Египте и Вавилоне, в Индии и Китае. Великий Пифагор создал тайную школу, где изучалась мистическая суть «золотого сечения». Евклид применил его, создавая свою геометрию, а Фидий – свои бессмертные скульптуры. Платон рассказывал, что Вселенная устроена согласно «золотому сечению». А Аристотель нашел соответствие «золотого сечения» этическому закону. Высшую гармонию «золотого сечения» будут проповедовать Леонардо да Винчи и Микеланджело, ведь красота и «золотое сечение» — это одно и то же. А христианские мистики будут рисовать на стенах своих монастырей пентаграммы «золотого сечения», спасаясь от Дьявола. При этом ученые – от Пачоли до Эйнштейна – будут искать, но так и не найдут его точного значения. Бесконечный ряд после запятой – 1,6180339887... Целое всегда состоит из частей, части разной величины находятся в определенном отношении друг к другу и к целому.

Золотое сечение (гармоническое деление, деление в крайнем и среднем отношении) – это такое пропорциональное деление отрезка на неравные части, при котором весь отрезок так относится к большей части, как сама большая часть относится к меньшей; или другими словами, меньший отрезок так относится к большему, как больший ко всему. Четыре столетия назад немецкий астроном и математик Иоганн Кеплер сказал: «В геометрии существует два сокровища – теорема Пифагора и деление отрезка в крайнем и среднем отношении. Первое можно сравнить с ценностью золота, второе можно назвать драгоценным камнем». Гениальный ученый поставил пропорцию «золотого сечения» на один уровень с самой знаменитой геометрической теоремой.

Список литературы

1. Атанасян  Л.С.  Геометрия 7-9 класс. – М.: «Просвещение», 2013. – 264 с.

2. Васютинский Н. Золотая пропорция. – М.: Молодая гвардия, 2014. – 204 с.

3. Волошинов В.А. Пифагор. – М.: Просвещение, 2013. – 166 с.

4.  Воробьев Н.Н. Числа Фибоначчи. – М.: Наука, 2014. – 200 с.

5. Золотое сечение и самоподобные структуры в оптике: П. В. Короленко, Н. В. Грушина – Санкт-Петербург, Либроком, 2010. – 136 с.

6. Золотое сечение. Литературно-художественный альманах: Сборник. – Санкт-Петербург, Книга по Требованию, 2012. – 120 с.

7. Золотое сечение: Г. Е. Тимердинг. – М., Либроком, 2009. – 112 с.

8. Золотое сечение: Г.Е. Тимердинг – М., Книга по Требованию, 2012. – 90 с.

9.  Ковалев Ф.В. Золотое сечение в живописи. – М.: Высшая школа, 2009.  – 199 с.