Исследовательская работа "История возникновения чисел"

Муниципальное общеобразовательное автономное учреждение средняя общеобразовательная школа №11

НАУЧНОЕ ОБЩЕСТВО УЧАЩИХСЯ «РОДНИК»

Наименование секции: Математика. Информатика.

Исследовательская  работа

Тема: «История возникновения чисел»

                                                                                         Автор работы:  Щёлокова Дарья, ученица

                                                                                         8 «В» класса

                                                                                        Руководитель: Кропотина Галина Николаевна

                                                                                        учитель математики

                                               г. Белогорск 2015

ПЛАН  ИССЛЕДОВАНИЙ

    В современном мире человек постоянно пользуется числами, даже не задумываясь об их происхождении. Без знания прошлого нельзя понять настоящее. Поэтому целью данной работы является исследование истории возникновения чисел, связанной с необходимостью выражения всех чисел знаками.

     Работа состоит из нескольких этапов:

1. подбор и изучение научной литературы, чтобы с ее помощью узнать об истории возникновения чисел;
2. установление связи между возникновением чисел и необходимостью выражения всех чисел знаками;
3. рассмотрение знаков-чисел разных народов;
4. выявление мира больших чисел;
5. установление чисел - символов;

ПОСТАНОВКА  И  РЕШЕНИЕ  ЗАДАЧ

                                 Задачи исследования

Было решено исследовать историю возникновения чисел на примере натуральных чисел, связанного с необходимостью всех чисел знаками.

                                      Решение задач

При исследовании истории возникновения чисел была установлена зависимость между возникновением чисел и необходимостью выражения всех чисел знаками. Эта зависимость повлияла на появление знаков-цифр, которые заменили другие не совсем удобные способы обозначения чисел.

Результаты решения задач отражены в вывод

НАУЧНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКАЯ ЧАСТЬ

1. Возникновение слова «математика»

Слово «математика» возникло в Древней Греции примерно в V веке до нашей эры. Происходит оно от слова «матема» - «учение», «знания, полученные через размышления».

Древние греки знали четыре «матемы»:

1. учение о числах (арифметика);
2. теорию музыки (гармонию);
3. учение о фигурах и измерениях (геометрию);
4. астрономию и астрологию.

В древнегреческой науке существовало два направления. Представители первого из них, возглавляемые Пифагором, считали знания «предназначенными»  только для посвященных. Никто не имел права делиться своими открытиями с посторонними. Представители второго направления, напротив, считали, что математика доступна всем, кто способен к продуктивным размышлениям. Они называли себя математиками.

2. Счет у первобытных людей

Считать люди научились еще в незапамятные времена. Сначала они различали просто один или много предметов. Прошли сотни лет, прежде чем появилось число 2. Счет парами оказался очень удобен, и не случайно у некоторых племен Австралии и Полинезии до последнего времени были только два числительных: один и два, а все числа больше двух получали название в виде сочетания этих двух числительных. Например, три - «один, два»; четыре - «два, два»; пять - «два, два, один». Позже появились особые названия для чисел. Сначала для небольших чисел, а потом  для  все больших и больших. Число - одно из основных понятий математики, позволяющее выразить результаты счета или измерения. Пальцы всегда при нас, то и считать стали по пальцам. Таким образом, наиболее древней и простой «счетной машиной» издавна являются пальцы рук и ног.

Запоминать большие числа было трудно, и поэтому кроме пальцев рук и ног «задействовались» другие «приспособления». Например, перуанцы использовали для этого разноцветные шнурки с завязанными на них узлами. Веревочные счеты с узелками были в ходу в России, а также во многих странах Европы. До сих пор иногда завязывают узелки на носовых платках на память.

Засечки на палочках применяли в торговых сделках. Палочки после окончания расчетов разламывали пополам, одну половинку брал кредитор, а другую - должник. Половинка играла роль «квитанции». В деревнях использовали счеты в виде зарубок на палках.

На более высокой стадии развития люди при счете стали применять разные предметы: использовали камешки, зерна, веревку с бирками. Это были первые счетные приборы, которые, в конце концов, привели к образованию разных систем счисления и к созданию современных быстродействующих электронных вычислительных машин.

3. Цифры у разных народов

Мысль выражать все числа знаками

настолько проста, что именно из-за

этой простоты сложно осознать,

сколь она удивительна.

Пьер Симон Лаплас (1749-1827), франц. астроном, математик, физик.

Цифры - условные знаки для обозначения чисел. Первыми записями чисел можно считать зарубки на деревянных бирках или костях, а позднее - черточки. Но большие числа изображать, таким образом, неудобно, поэтому стали применять особые знаки - цифры.

3.1. Появление цифр

Ещё недавно существовали племена, в языке которых были названия только двух чисел: «один» и «два». Туземцы островов, расположенных в Торресовом проливе, знали два числа: «урапун» - один, «окоза» - два и умели считать до шести. Островитяне считали так: «окоза-урапун» - три, «окоза-окоза» - четыре, «окоза-окоза-урапун» - пять, «окоза-окоза-окоза» - шесть.  О числах, начиная с 7, туземцы говорили «много», «множество». Наши предки, наверняка, тоже начинали с этого. В старинных пословицах и поговорках как, например, «Семеро одного не ждут», «Семь бед – один ответ», «У семи нянек дитя без глазу», «Один с сошкой, семеро с ложкой» 7 тоже означало «много».

В древние времена, когда человек хотел показать, сколькими животными он владел, он клал в большой мешок столько камешков, сколько у него было животных. Чем больше животных, тем больше камешков. Отсюда и произошло слово «калькулятор», «калькулюс» по - латински означает «камень».  

Сначала считали на пальцах. Когда пальцы на одной руке кончались, переходили на другую, а если на двух руках не хватало, переходили на ноги. Поэтому, если в те времена кто-то хвалился, что у него «две руки и одна нога кур», это означало, что у него пятнадцать кур, а если это называлось «весь человек», то есть две руки и две ноги.

Перуанские инки вели счет животных и урожая, завязывая узелки на ремешках или шнурках разной длины и цвета. Эти узелки назывались кипу. У некоторых богатеев скапливалось по несколько метров этой веревочной «счетной книги», попробуй, вспомни через год, что означают 4 узелочка на шнурке! Поэтому того, кто завязывал узелки, называли «вспоминателем».

   Первыми придумали запись чисел древние шумеры. Они пользовались всего двумя цифрами. Вертикальная чёрточка обозначала одну единицу, а угол из двух лежачих чёрточек – десять. Эти чёрточки у них получались в виде клиньев, потому что они писали острой палочкой на сырых глиняных дощечках, которые потом сушили и обжигали.

После счета по зарубкам люди изобрели особые символы, названные цифрами. Они стали применяться для обозначения различных количеств каких-либо предметов. Разные цивилизации создавали свои собственные цифры  .

Так, например, в древней египетской нумерации, зародившейся более 5000 лет назад, существовали особые знаки - иероглифы для записи чисел 1, 10, 100, 1000, …:.

Для  того чтобы изобразить, например, целое число 23145, достаточно записать в ряд два иероглифа, изображающие десять тысяч, затем три иероглифа для тысячи , один – для ста, четыре – для десяти и пять иероглифов для единицы:..

Похожим образом обозначали числа на острове Крит, расположенном в Средиземном море. В критской письменности единицы обозначались вертикальной чёрточкой |, десятки – горизонтальной - , сотни – кружком ◦, тысячи – знаком ¤.

Народы ,жившие в Междуречье Тигра и Евфрата в период от II тысячелетия до н.э. до начала нашей эры, сначала обозначали числа с помощью кругов и полукругов различной величины, но затем стали использовать только два клинописных знака – прямой клин ▼ (1) и лежащий клин  ◀ (10). Эти народы использовали шестидесятеричную систему счисления, например число 23 изображали так:  ◀  ◀ ▼▼▼       Число 60 снова обозначалось знаком ▼, например число 92 записывали так:   ▼◀◀◀▼▼.

В начале нашей эры индейцы племени майя, которые жили на полуострове Юкатан в Центральной Америке, пользовались другой системой счисления – двадцатеричной. Они обозначали 1 точкой, а 5 – горизонтальной чертой, например, запись ‗‗‗‗‗‗ означала 14. системе счисления майя был и знак для нуля. По своей форме он напоминал полузакрытый глаз.

В Древней Греции сначала числа 5, 10, 100, 1000, 10000 обозначали буквами  Г, Н, Х, М, а число 1 – черточкой /. Из этих знаков составляли обозначения   △ △ △  Г (35) и т.д. Позднее числа 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100, 200, 300, 400, 500, 600, 700, 800, 900, 1000, 2000, 3000, 4000, 5000, 6000, 7000, 8000, 9000, 10000, 20000 стали обозначать буквами греческого алфавита, к которому пришлось добавить еще три устаревшие буквы. Чтобы отличить цифры от букв, над буквами ставили черточку. Древние индийцы изобрели для каждой цифры свой знак. Вот как они выглядели.

    Однако Индия была оторвана от других стран, - на пути лежали тысячи километров расстояния и высокие горы. Арабы были первыми «чужими», которые заимствовали цифры у индийцев и привезли их в Европу. Чуть позже арабы упростили эти значки, они стали выглядеть вот так.

       Они похожи на многие наши цифры. Слово «цифра» тоже досталось нам от арабов по наследству. Арабы нуль, или «пусто», называли «сифра». С тех пор и появилось слово «цифра». Правда, сейчас цифрами называются все десять значков для записи  чисел,  которыми мы пользуемся: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Постепенное превращение первоначальных цифр в наши современные цифры.

3.2. Цифры русского народа

Арабские числа в России стали применять, в основном, с XVIII века. До того наши предки использовали славянскую нумерацию. Над буквами ставились титлы (черточки), и тогда буквы обозначали числа  .

В одной из русских рукописей XVIII века написано: «... Знай же то, что есть сто и что есть тысяща, и что есть тма, и что есть легион, и что есть леодр...; ... сто есть десятью десять, а тысяща есть десять сот, а тма десять тысящ, а легион есть десять тем, а леодр есть десять легионов...».

Первые девять чисел записывались так:

Сотни миллионов назывались «колодами».

«Колода» имела специальное обозначение: над буквой и под буквой ставили квадратные скобки. Например, число 108 записывалось в виде

Числа от 11 до 19 обозначались так:

Остальные числа записывались буквами слева направо, например, числа 5044 или 1135 имели соответственно обозначение

При записи чисел больших, чем тысячи, в практической деятельности (счете, торговле и т.д.) часто вместо кружков ставили знаки «; Л» перед буквами, обозначавшими десятки и сотни тысяч, например, запись

означает соответственно 500044 и 540004.

В приведенной системе обозначения чисел не шли дальше тысяч миллионов. Такой счет назывался «малый счет». В некоторых рукописях авторами рассматривался и «великий счет», доходивший до числа 1050. Далее говорилось: «И более сего несть человеческому уму разумет 4.“Число”

        Первым глубокие исследования о том, как разбросаны простые числа среди остальных натуральных чисел, произвёл великий русский математик  Пафнутий Львович Чебышев, основатель и руководитель математических исследований 19 века. До сих пор математики не знают формулы, с помощью которой можно  получить простые числа одно за другим, нет даже формулы, дающей только простые числа.

    Так как простые числа играют важную роль в изучении всех остальных чисел, то надо было бы составить их список. Над этим задумался живший в 3 веке до нашей эры александрийский учёный Эратосфен.

 4.1. «Решето Эратосфена»

            Ими Эратосфена вошло в науку в связи с методом нахождения  простых чисел. В древности писали на восковых табличках острой палочкой-стилем , поэтому Эратосфен «выкалывал» составные числа острым концом стиля.

Сама таблица напоминала решето. Отсюда и название «решето Эратосфена».

Найти простое число по таблице Эратосфена довольно просто, но трудоёмко.

Например:1 имеет единственный делитель-себя, поэтому 1 не считается простым числом.2- наименьшее простое число. Все другие чётные числа делятся на 2, а значит, имеют по крайней мере три делителя; поэтому они не  простые и могут быть вычеркнуты. Следующее не вычеркнутое число- 3 ; оно имеет ровно два делителя, поэтому оно простое. Все остальные числа, кратные трём, вычёркиваются. Теперь первое не вычеркнутое число – 5; оно простое, а все кратные ему числа вычёркиваются.

Продолжая вычёркивать кратные, можно отсеять все простые числа.

4.2. Числа близнецы

              Два последовательных числа, каждое из которых является простым , называются числами-близнецами, например:11 и 13; 17 и 19; 29 и 30.

До сих пор неизвестно, есть ли самые большие числа-близнецы или нет, до сих пор нет ответа на вопрос: существует ли бесконечно много пар простых чисел-близне

 4.3. Дружественные числа.        

     В древности было замечено, что числа 220 и 284 обладают удивительным свойством: сумма собственных делителей числа 284 равна 220, а сумма собственных делителей числа 220 равна 284.Эту пару чисел назвали парой Пифагора. А сами числа назвали дружественными.

Отысканием таких чисел занимались  различные учёные в разное время. Узнать какой-нибудь способ получения дружественных чисел – задача, представляющая трудность и сейчас.

В настоящее время известно около 1100 пор дружественных чисел.

4.4Совершенные числа.

                Не менее интересным свойством обладают другие числа. Ещё в древности  было замечено, что существуют числа, равные  сумме своих делителей, кроме самого себя.

Например: делители числа 6 – Числа 1,2,3,6. Нетрудно проверить, что их сумма без самого числа 6 равна 6. Делители числа 28- числа 1,2,4,7,14,28. И здесь легко установить , что  сумма делителей без самого числа 28 равна 28. И т. д…

Античные математики считали очень важным рассматривать число вместе с его делителем . При этом в качестве меры использовалось не количество , а  сумма собственных делителей, которую сравнивали с числом.

4.5.Проблема Гольдбаха.

       Живший в России в 18 веке математик Гольдбах решил складывать нечётные простые числа лишь попарно. Он обнаружил удивительную вещь: каждый раз ему удавалось представить чётное число в виде суммы двух простых чисел.  

О своих наблюдениях Гольдбах написал великому математику Леонарду Эйлеру, который был членом Академии наук. Это предположение до сих пор не доказано и не опровергнуто. Оно лишь проверено для всех чётных чисел до 1000.

Заключение

             Наибольшее известное сейчас простое число записывается   25962  знаками и равно – 286 243 -1.
Найти его величину – почти то же , что ответить , какой  длинны достигнет  росток через  86 243 дня. Ну а 86 243 дня – это больше, чем 236 лет; вершина ростка уйдёт за пределы известной Вселенной  за долго до этого.

5. Мир больших чисел
6.     Сколько километров проходит человек за свою жизнь, сколько товаров производится и приходит в негодность ежечасно в пределах города, страны? Сколько времени заняло бы выполнение самым быстрым расчетчиком миллиона вычислительных операций, которые современная вычислительная машина выполняет за... секунду? Во сколько раз скорость пассажирского реактивного самолета превосходит скорость тренированного спортсмена-пешехода? Ответы на эти и тысячи подобных вопросов выражаются числами, занимающими зачастую по числу своих десятичных разрядов целую строку и даже больше.

Для сокращения записи больших чисел давно используется система величин, в которой каждая из последующих в тысячу раз больше предыдущей:

1000 единиц - просто тысяча (1000 или 1 тыс.)

1000 тысяч - 1 миллион (1 млн.)

1000 миллионов - 1 биллион (или миллиард, 1 млрд.)

1000 биллионов - 1 триллион

1000 триллионов - 1 квадриллион

1000 квадриллионов - 1 квинтиллион

1000 квинтиллионов - 1 секстиллион

1000 секстиллионов- 1 септиллион

1000 септиллионов - 1 октиллион

1000 октиллионов - 1 нониллион

1000 нониллионов- 1 дециллион

Таким образом, 1 дециллион запишется в десятичной системе единицей с 3 х 11=33 нулями:

1 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000.

Как писал Самуил Яковлевич Маршак: «Напрасно думают, что ноль играет маленькую роль».

При записи больших чисел часто используют степень числа 10.

Степень числа — произведение его самого на себя требуемое число раз, которое называется показателем степени (а само число—ее основанием). Например, 3 х 3 = 32(здесь 3 - основание, 2 - показатель степени), 2 х 2 х 2 = 23 10 х 10=102=100, 105=10 х 10 х 10 х 10 х 10=100000.

Заметьте, что число нулей степени 10 всегда равно ее показателю:

101= 10, 102= 100, 103= 1000 и т.д.

И еще одно: математики во всем мире давно приняли, что любое число в нулевой степени равно единице (а0= 1).

Таким образом,

единица          - 10° =1

тысяча             -103 =1 000

миллион          -106 =1 000 000

биллион          - 109 = 1 000 000 000

триллион        - 1012 = 1 000 000 000 000

квадриллион  - 1015 = 1 000 000 000 000 000

квинтиллион  - 1018 = 1 000 000 000 000 000 000

секстиллион   - 1021 = 1 000 000 000 000 000 000 000

септиллион     - 1024 =1 000 000 000 000 000 000 000 000

октиллион       - 1027 = 1 000 000 000 000 000 000 000 000 000

6. Числа-символы

      Существуют различные теории о происхождении чисел. Классическим примером происхождения чисел считается Древняя Греция. Другой  из возможных вариантов происхождения символов чисел – это получение их из символов планет.

0 – абсолют,

 1 – его проявление. Все это заключено в Солнце.

2 – двойственность и эмоциональность с ней связанная – свойства Луны.

3 – прошлое, настоящее и будущее время – Сатурн.

4 – четыре стороны света, пространство – Юпитер.

5 – любовь и человек – Венера.

6 – соединение двух треугольников – корень активности, отношений,  а также преданность – свойства Марса.

7 – полнота знаний,  деталей, особенностей, подвижность – это качества Меркурия.

8 – бесконечность, лунные узлы как точки затмений, во время которых временное соотносится с Вечным.

9 – не проявленное, скрытое.

                                                 ВЫВОДЫ

1. Слово математика возникло в Древней Греции в V веке до нашей эры.
2. Считать люди научились в незапамятные времена.
3. Сначала для счета использовали пальцы рук и ног.
4. На более высокой стадии развития люди при счете стали применять разные предметы: камешки, зерна, веревку с бирками.
5. Необходимость обозначения чисел привело к образованию специальных знаков-цифр.
6. Запись больших чисел также осуществляется с помощью цифр.
7. Существуют различные теории о происхождении чисел.

                СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1.Большая математическая энциклопедия   Якушева Г.М. и др. М. Филол.

2.Энциклопедия для детей. Математика. М. Изд-во «Аванта+»1998

3.С математикой в путь. Н. Лэнгдон, Ч. Снейп. Изд-во «Педагогика»

4.Глейзер.Г.И. История математики. Изда-во

«Просвещение».

5.Эрдниев.П.М.Математика:Учебник для 5-6 класса. «Просвещение»