Презентация "Способы решения квадратных уравнений"

Слайд 1

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение «Макуловская средняя общеобразовательная школа» Верхнеуслонского муниципального района Республики Татарстан Исследовательская работа Выполнила ученица 9 класса Хабибулина Алия Руководитель : учитель математики Маханова Т.А. Россия, с.Макулово, 2013 год Способы решения квадратных уравнений

Слайд 2

Квадратные уравнения Когда уравнение решаешь, дружок, Ты должен найти у него корешок, Значение буквы проверить не сложно, Поставь в уравненье его осторожно. Коль верное равенство выйдет у вас, То корнем значенье зовите тот час. О.Севастьянова. Квадратные уравнения – это фундамент, на котором покоится величественное здание алгебры. Они находят широкое применение при решении огромного количества задач. Каждый уважающий себя человек должен научиться их решать.

Слайд 3

В школьном курсе математики изучаются некоторые способы решения квадратных уравнений. Однако, существуют и другие, которые позволяют очень быстро и рационально найти корни уравнения и получить ответ. Напомним уже известные способы и разберём несколько новых.

Слайд 4

1. Разложение на множители левой части уравнения Решим уравнение х 2 + 10х – 24 = 0 . Разложим на множители левую часть: х 2 + 10х – 24 = х 2 + 12х – 2х – 24 = х(х + 12) – 2(х + 12) = (х + 12)(х – 2). Уравнение примет вид : (х + 12)(х – 2) = 0 ; х + 12 = 0 или х – 2 = 0 х = -12. х = 2. Ответ: -12 ; 2. Решите уравнения: х 2 - х = 0 ; х 2 + 2х = 0 ; х 2 - 81 = 0 ; х 2 + 4х + 3 = 0 ; х 2 + 2х – 3 = 0 .

Слайд 5

2. Метод выделения полного квадрата (1 случай) Решим уравнение х 2 – 1 0х + 25 = 0 . Заметим, что левая часть уравнения представляет собой полный квадрат двучлена. Запишем уравнение в виде : (х – 5) 2 = 0 ; х – 5 = 0 ; х = 5. Ответ: 5. Решите уравнения: x 2 + 4 x + 4 = 0; x 2 – 2 x + 1 = 0; 36 x 2 + 12 x + 1 = 0; x 2 – 6 x + 9 = 0 .

Слайд 6

3. Метод выделения полного квадрата (2 случай) Решим уравнение х 2 + 6х – 7 = 0. Выделим квадрат двучлена в левой части уравнения. х 2 + 6х – 7 = х 2 + 6х + 3 2 – 3 2 – 7 = (х + 3) 2 – 9 – 7 = (х + 3) 2 – 16. Уравнение примет вид : (х + 3) 2 – 16 = 0 ; (х + 3) 2 = 16 ; х + 3 = 4 или х + 3 = - 4 х = 1. х = -7. Ответ: 1 ; - 7. Решите уравнения: х 2 – 8х +15 = 0 ; х 2 +12х +20 = 0 ; х 2 + 4х + 3 = 0 ; х 2 + 2х – 2 = 0 ;

Слайд 7

4. Решение квадратных уравнений по формуле I D < 0 Корней нет D = 0 D > 0 Решите уравнения: 2х 2 - 5х + 2 = 0 ; 6х 2 + 5х + 1 = 0 ; 4х 2 - 5х + 2 = 0 ; 2х 2 + 3х + 1 =0.

Слайд 8

5 . Решение квадратных уравнений по формуле II b = 2k ( четное число) Решите уравнения: 2х 2 - 6х + 4=0 ; х 2 - 18х +17=0 ; 3х 2 – 14х + 16 = 0 ; х 2 + 2х – 80 = 0.

Слайд 9

6. Решение уравнений с помощью теоремы, обратной теореме Виета Решим уравнение х 2 +10х – 24 = 0. а = 1, это приведённое квадратное уравнение. Заметим, что D>0 и х 1 х 2 = - 24, х 1 + х 2 = -10, значит х 1 = - 12, х 2 = 2. Ответ: - 12 ; 2 . Решите уравнения: х 2 - 7х - 30 = 0 ; х 2 +2х - 15 = 0 ; х 2 - 7х + 6 = 0 .

Слайд 10

7. Свойства коэффициентов квадратного уравнения (1 случай) Если a + b + c = 0, то х 1 = 1, х 2 = с /a . Решим уравнение х 2 + 6х – 7 = 0, где а = 1, b = 6, с = - 7. Заметим, что D>0 и 1 + 6 – 7 = 0, значит х 1 = 1, х 2 = - 7 /1 = - 7 . Ответ: - 7 ; 1. Решите уравнения: х 2 – 2013х + 2012 = 0 ; 345 х 2 -137х -208 = 0 ; 3 х 2 +5х – 8 = 0 ; 5 х 2 + 4х – 9 = 0 ; 5 х 2 - 7х +2 = 0 .

Слайд 11

8 . Свойства коэффициентов квадратного уравнения ( 2 случай) Если a – b + c = 0, то х 1 = - 1 , х 2 = -с / а . Решим уравнение 3 х 2 +5х +2 = 0, где а = 3, b = 5, с = 2. Заметим, что D>0 и 3 - 5 + 2 = 0, значит х 1 = - 1, х 2 = - 2 / 3. Ответ: - 1 ; - 2/ 3. Решите уравнения: х 2 + 2013х + 2012 = 0 ; 11 х 2 +25х +14=0 ; 5 х 2 + 4х - 1=0 ; х 2 + 4х +3=0 ; 5 х 2 - 7х -12 =0 .

Слайд 12

9. Графическое решение квадратного уравнения Решим уравнение х 2 + 2х – 3 = 0. Запишем уравнение в виде х 2 = 3-2х. В одной и той же системе координат построим графики функций у = х 2 и у = 3-2х. Найдём абсциссы точек пересечения графиков : х 1 = 1, х 2 = -3. Ответ: - 3; 1. Решите уравнение: х 2 -х - 6=0 ; х 2 - 4х + 4=0 ; х 2 +4х +6=0 ; х 2 -2х - 3=0 ; х 2 +2х - 3=0 .

Слайд 13

10. Решение уравнений способом переброски Дано уравнение а х 2 + b х + с = 0. Умножим обе части уравнения на а, получим а 2 х 2 + а b х + ас = 0. Пусть ах = у, откуда х = у/а. Тогда у 2 + b у + ас = 0. Его корни у 1 и у 2 . Окончательно х 1 = у 1 /а, х 1 = у 2 /а. Решим уравнение 2 х 2 - 11х + 15 = 0. Перебросим коэффициент 2 к свободному члену: у 2 - 11у + 30 = 0. Согласно теореме, обратной теореме Виета у 1 = 5 и у 2 = 6. Значит х 1 = 5/2 и х 2 = 6/2 или х 1 = 2,5 и х 2 = 3. Ответ: 2,5 ; 3. Решите уравнение: 2 х 2 - 9х + 9 = 0 ; 10 х 2 - 11х + 3 = 0 ; 3 х 2 + 11х + 6 = 0 ; 6 х 2 + 5х – 6 = 0 .

Слайд 14

11. Решение уравнений с помощью циркуля и линейки Решим уравнение a х 2 + b х + c = 0 : Отметим на координатной плоскости точку S (- b :2 a; ( a + c ):2 a ) - центр окружности и точку А(0 ; 1). Построим окружность радиуса SA . Абсциссы точек пересечения окружности с осью Ох и есть корни исходного уравнения.

Слайд 15

Рассмотрим примеры : 1. Решим уравнение х 2 - 2х + 1= 0. S(1; 1), А(0 ; 1). Ответ: 1. 2. Решим уравнение х 2 + 4х - 5 = 0. S(- 2; - 2), A(0;1). Ответ: -5; 1. 3. Решите уравнение х 2 - 4х + 5 = 0. S(2; 3), A(0;1). Ответ: нет корней.

Слайд 16

12. Решение квадратных уравнений с помощью номограммы Номограмма для решения уравнения z 2 + px + q = 0 даёт значения положительных корней. Если уравнение имеет корни разных знаков или оба корня отрицательны, то необходимо воспользоваться специальной методикой их вычисления, также, как и в случае, когда коэффициенты p и q выходят за пределы шкал.

Слайд 17

13. Геометрический способ решения уравнения Решим уравнение у 2 - 6у – 16 = 0. Представим уравнение в виде у 2 - 6у = 16. На рисунке «изображено» выражение у 2 - 6у , т.е. из площади квадрата со стороной у дважды вычитается площадь квадрата со стороной 3. Значит у 2 – 6у + 9 есть площадь квадрата со стороной у-3. Выполнив замену у 2 - 6у = 16, получим (у-3) 2 = 16 + 9 ; у-3 = 5 или у-3 = - 5 у = 8 у = -2 Ответ: - 2; 8. Решить уравнение у 2 + 6у – 16 = 0.

Слайд 18

Заключение В ходе данной исследовательской работы мною были изучены способы решения полных квадратных уравнений ; Считаю, что работа помогла мне лучше подготовиться к ГИА по математике ; Данная презентация была предложена на школьной предметной конференции старшеклассников ; Я работала под девизом : «Научился сам – научи другого!».

Слайд 19

УЧИТЬСЯ НЕЛЕГКО, НО ИНТЕРЕСНО! Ян Амос Коменский (1592-1670), чешский педагог, писатель.

Слайд 20

Литература и источники Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К. И., Суворова С.Б. Алгебра 8. – М. : Просвещение, 2005. Приложение «Математика» к газете «Первое сентября», №40 – 2000г. Брадис В.М. Четырёхзначные математические таблицы. - Дрофа, 1996г. Интернет-ресурсы : http :// rus - sky . com / history / library / w /.