Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

гимназия №19 им. Н.З. Поповичевой г. Липецка

УЧЕБНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ПРОЕКТ

Геометрическая алгебра

Древней Греции

Выполнила: Александрова Анастасия Ильинична,

Черных Дарина Алексеевна

учащиеся 7а класса

Руководитель проекта: Алябьева Елена Анатольевна

учитель математики

2017 год

Содержание

1. Введение........................................................................................................2
2. Историческая справка

1. Школа Пифагора.………………….........................................................3
2. «Начала» Евклида….……........................................................................4
3. Основные положения геометрической алгебры…….…......................5

3. Основные задачи геометрической алгебры……………………………….7

1. Формулы сокращённого умножения…………………………………..8
2. Решение линейных и квадратных уравнений…………….. ………….9

4. Выводы……………………………………………………………………..10
5. Заключение……………………………………………...…………...…….11
6. Библиографический список.........................................................................12

1.Введение

«Не зная прошлого, невозможно понять подлинный смысл настоящего и цели будущего»

 Максим Горький.

Актуальность темы. История математических идей интересна для всех, кто изучает математику. Знание истории науки , её связей с различными современными задачами очень важно, так как позволяет выяснить происхождение понятий, узнать развитие их с течением времени, познакомиться с различными нестандартными методами решения задач.

При изучении некоторых тем на уроках алгебры («Умножение многочлена на многочлен», «Формулы сокращённого умножения») и при решении некоторых задач мы познакомились с геометрическим способом исследования и доказательства формул. Оказалось, что этот способ, очень простой и наглядный (как нам показалось), пришёл к нам из Древней Греции. Оказалось, что древние греки при решении числовых задач применяли не арифметические, а геометрические понятия для выражения отношений между величинами. Такой подход получил название «геометрическая алгебра». Нас заинтересовал такой метод доказательства формул и решения задач, потому что он наглядно и просто иллюстрировал довольно сложные понятия и теоремы алгебры. Поэтому мы выдвинули предположение о том, что этот метод древних греков можно с успехом использовать и в сегодняшней школе при изучении некоторых тем алгебры, что, как нам кажется, сделает этот предмет проще и интересней.

Гипотеза. Геометрическая алгебра древних греков применима на уроках математики в современной школе и её можно использовать для доказательства теорем и решения задач.

Цель. Изучить возможность применения методов геометрической алгебры на уроках математики.

Задачи.

1. Изучить историю развития чисел и отношений между величинами в Древней Греции.
2. Познакомиться с основными положениями геометрической алгебры.
3. Рассмотреть способы решения некоторых современных задач методом геометрической алгебры.
4. Проанализировать область применения методов геометрической алгебры для современных задач математики.

2. Историческая справка

        Греческие математики, столь много внесшие в современную науку, занимались, в основном, геометрическими проблемами. При этом — как известно многие греческие ученые находились под влиянием философии Платона, считавшего геометрию наукой, которой достойны заниматься только представители умственной элиты греческого общества. В этих условиях, геометрия превратилась в своеобразную гимнастику ума, в искусство, а ее практическое применение считалось унизительным, являлось профанацией этого искусства.

        По этой причине развитие арифметики и алгебры как дисциплин связанных с практическими нуждами, встречалось с серьезными препятствиями. Конечно, грекам приходилось заниматься вопросами этих дисциплин, но проблемам алгебры и арифметики в этом случае придавались геометрические формы. Что же побудило греков избрать геометрический путь развития математики?

1. Школа Пифагора

“Все вещи суть числа”

                Первой научной школой, предложившей свой вариант математического плана строения Вселенной, были пифагорейцы. Школа пифагорейцев существовала в Древней Греции около 585–500 годов до нашей эры и возглавлялась Пифагором Самосским. Пифагорейцы видели сущность явлений в числе и числовых отношениях.

    Привычное нам понятие числа возникло в результате абстрагирования. Ранним пифагорейцам такая абстракция была чужда. Для них числа были точками или частицами, расположенными на плоскости (поверхности Земли). Рассматривая треугольные, квадратные и т.д. числа, называемые фигурными, пифагорейцы имели в виду наборы точек, камешков или других мелких предметов, расположенных в форме треугольников, квадратов и других фигур (рис.1, 2).

Рисунок 1. Треугольные числа: 1, 3, 6.

Рисунок 2. Квадратные числа: 1, 4, 9.

Однако примерно в V веке до н.э. были открыты так называемые “несоизмеримые отрезки” - такие отрезки, у которых отношение длин не выражается никаким отношением целых чисел (рациональным числом). Примером является диагональ квадрата единичной стороны (в те времена не было иррациональных чисел, и придуманы они будут гораздо позднее).

Это открытие потрясло основы пифагорейской философии. Получалось, что число не всемогуще, так как существуют отрезки, отношение которых не выражается отношением целых чисел (а других чисел пифагорейцы не знали).

Пифагорейцы предприняли интенсивные попытки выхода из этого тупика, и здесь, естественно, просматривалось два пути:

• расширить понятие числа так, чтобы новыми числами стало возможным характеризовать отношение любых двух геометрических отрезков;
•  строить математику не на основе арифметики целых чисел и их отношений, а на основе геометрии, определив для геометрических величин все алгебраические операции.

Первый путь на столь ранней ступени развития математики представлял огромные трудности, которые,  были окончательно преодолены  лишь в конце XIX в. И пифагорейцы пошли по второму пути — по пути построения алгебры на основе геометрии. Не решаясь изменить свою трактовку числа, пифагорейцы перешли из области чисел в область геометрических величин, построив соответствующее исчисление. Для построения такого исчисления пифагорейская математика располагала всем необходимым. Нужно было только изменить взгляд на роль чертежей, превратив их из средства наглядности в основной элемент алгебры, и логически расположить весь имеющийся материал. Такой подход и зародил так называемую “Геометрическую алгебру”.

2. «Начала» Евклида

Итак, пифагорейцы пришли к мысли, что поскольку геометрические величины имеют более общую природу, чем числа, то в основу математики надо положить не арифметику, а геометрию. Переход к геометрической алгебре был настоящей революцией , которая на первых порах принесла богатые плоды.

«Геометрическая алгебра» очень хорошо известна из книги Евклида «Начала», так как она изложена в 1 и 2 книгах «Начал».

Евклид в своей книге «Начала» пишет о числовой величине как о геометрической протяженности. То есть греки считали, что величины можно представить в виде отрезков. Число 5 – это отрезок, длина которого 5 единиц. Величина а – это отрезок, длина которого  а единиц. При таком подходе арифметические операции над числовыми величинами также приобретали геометрический смысл.

1). Сумма a + b представлялась как отрезок длины (a + b).

2). Разность a – b – отрезок длины (a – b).

3). Произведение двух величин a ∙ b – прямоугольник со сторонами a и b, площадь которого  равна a ∙ b .

4). Произведение прямоугольника и отрезка – прямоугольный параллелепипед, объем которого V=abc.

Операция деления при таком подходе оказывалась возможной только, если размерность делимого была выше размерности делителя: прямоугольник можно делить на отрезок, но отрезок на отрезок – нельзя.

Деление определялось как задача «приложения площадей»: «приложить» к данному отрезку c прямоугольник, равновеликий данному прямоугольнику ab, т. е. найти вторую сторону x прямоугольника так, чтобы cx=ab.

Евклид, используя метод геометрической алгебры доказал распределительное свойство умножения относительно сложения, дал способ решения квадратных уравнений (задачи на «приложение площадей»), доказал формулы сокращённого умножения (квадрат суммы и квадрат разности).

2.3 Основные положения геометрической алгебры

 «Геометрической алгеброй» мы сегодня называем ту часть античной математики, в которой было построено прямое исчисление отрезков и площадей.  Сложение отрезков осуществлялось геометрически – путём приставления одного к другому,   вычитание — путём выкидывания из большего отрезка части, равной меньшему. Операция вычитания была возможна лишь тогда, когда вычитаемое не превосходило уменьшемого. Произведением двух отрезков назывался построенный на них прямоугольник. Говорить о сложении прямоугольника и отрезка не имело смысла. Таким образом исчисление , определённое в геометрической алгебре было «ступенатым» - первую ступень составляли отрезки, вторую -  площади, которые задавались обычно в виде треугольников или прямоугольников, а третью — объёмы.  

   Основные положения геометрической алгебры сводятся к следующему:
   1) алгебраические переменные, как и произвольные числа, представляются отрезкам;
  2) сумма чисел или алгебраических переменных представляется в виде отрезка, составленного из слагаемых (рис. 3);
  3) произведение двух чисел или алгебраических переменных представляется в виде прямоугольника со сторонами, которые представляют собой отрезки, соответствующие сомножителям (рис. 4). Произведение трёх переменных a, b и c есть прямоугольный параллелепипед со сторонами, соответствующими сомножителям a, b и c (рис.5).

Рисунок 3. Сложение  а и b.

Поскольку, греческая геометрия, как и в целом представления греков о природе и мироздании ограничивались тремя измерениями, произведение более чем трёх переменных в геометрической алгебре не рассматривались, как лишённые смысла.

Рисунок 4. Произведение чисел а и b есть площадь прямоугольника со сторонами а и b. 

Рисунок 5. Произведение трёх чисел a, b и c есть объём параллелепипеда со сторонами a, b и c .

Вычисления, производимые в геометрической алгебре, носили пошаговый характер. Не рассматривались произведения прямоугольников или сложение прямоугольников с отрезками или параллелепипедами.

3. Основные задачи геометрической алгебры

        Геометрическая алгебра основывалась на античной планиметрии, представляя собой геометрию циркуля и линейки. Поэтому она была максимально приспособлена для исследования тождеств, обе части которых являлись квадратичными формами, и для решения квадратных уравнений. Геометрическая наглядность позволила легко обосновать свойства основных операций над числами: сложения и умножения. Например, переместительное свойство сложения легко следует из того факта, что длина составного отрезка, одна и та же с какой стороны на него не посмотри, то есть a + b = b + a.

Переместительное свойство умножения обосновывается так же наглядно, поворотом соответствующего прямоугольника, то есть a · b = b · a.

    Сочетательное свойство  сложения наглядно следует из того факта, что в каком порядке не прикладывай отрезки друг к другу, длина составного отрезка будет одинаковой, то есть ( a + b ) + с = a + ( b + c ).

   Сочетательное свойство умножения наглядно следует из поворота прямоугольного параллелепипеда, то есть ( a · b ) · с = a · ( b · c ).

Распределительное свойство умножения относительно сложения также легко увидеть на чертеже:

        Как видно из этих примеров, наглядность является серьёзным преимуществом геометрической алгебры. Но гораздо более важным преимуществом использования геометрических методов в алгебре явилось то, что обоснования и доказательства тождеств не зависят от того, являются ли используемые величины соизмеримыми или несоизмеримыми и независимы от конкретных величин.          Методы геометрической алгебры позволили доказать многие алгебраические тождества. При этом общее доказательство было сделано впервые в истории.

1.  Формулы сокращённого умножения

                1. (a + b)(a – b) = a2 – b2

                                    A                  a                    E     b       B    

                                    D                                         F             C

AE = AD = a; BE = MD = b

AB = a + b;    AM = a – b

SABNM = AB·AM=(a + b)(a –b)

SABNM = SAEGM + SEBNG

SAEGM =SAEFD – SMGFD = a2 –ab

SEBNG=SEBCF –SGNCF = ab –b2

SABNM=a2–ab+ab–b2=a2–b2

2. ( a + b )2= a2+ b2+ 2 · a · b.  

S=( a + b )2

S1=a2

S2=b2

S3=ab                

S=S1+S2+2S3   => S=a2+2ab+b2  =>

( a + b )2= a2+ b2+ 2 · a · b.

2.   Решение квадратных уравнений

Чтобы решить уравнение х2 = а древние математики поступали так:

х2 – квадрат со стороной, равной х. Решить уравнение х2 = а – значит найти такой отрезок х, что площадь квадрата, построенного на этом отрезке, была бы равной а. При таком подходе  к решению  уравнение могло иметь только один положительный корень, а уравнение  х2 = 0 вообще не имело корней. В записи квадратных уравнений древние греки никогда в правой части уравнения не писали число 0, т. к. они считали, что 0 – ничто, а сумма величин не может быть равна «ничему». Поэтому, например, квадратное уравнение х2 + 10х – 39 = 0 древние греки записывали в виде: х2 + 10х =39 .

Пример1. Решить  квадратное  уравнение  х2 + 10х =39.

Решение:

 S= (x+5)2 , S1= x2 , S2=5x, S3 =25

S1+ 2S2= 39 (данное уравнение)

S1+ 2S2= S-S3 (по свойству площадей)

     х2 + 10х = (х+ 5)2 – 25 = 39;

        (х+ 5)2 = 39 + 25

         (х+ 5)2 = 64

             х+ 5 = 8

                     х = 3

Современное решение такого уравнения дало бы нам ещё один корень        х = -13.

Пример 2. Решить квадратное уравнение   x2+8x-48=0 

                          x2+8x=48

                            Решение:      

S= (x+4)2 , S1= x2 , S2=4x, S3 =16

S1+ 2S2= 48 (данное уравнение)

S1+ 2S2= S-S3 (по свойству площадей)

 x2+8x=(x+4)2-16=48;

(x+4)2 – 16=48

(x+4)2 = 48+16;

(x+4)2 = 64;

x+4=8;

  x=4.

Современное решение такого уравнения дало бы нам ещё один корень        х = -12.

4. Выводы

        Таким образом, во время написания работы мы изучили теорию «геометрической алгебры» и научились применять её для решения некоторых задач школьной алгебры – для доказательства тождеств и решения квадратных уравнений. Мы также проанализировали учебники математики начальной школы и алгебры 7 класса, чтобы ответить на вопрос – можно ли применять теорию «геометрической алгебры» на уроках математики. Чтобы ответить на этот вопрос необходимо понять все достоинства и недостатки «геометрической алгебры» с точки зрения применимости её в современной школе.

Мы считаем, что теория «геометрической алгебры» может быть применена на уроках математики в начальной школе для иллюстрации решения задач и свойств арифметических действий, в более старших классах эти исторические сведения могут упростить изложение, сделать его более доступным для понимания, обеспечить наглядность изложения, показать преимущества выбранного метода перед другими. Например, изучая формулы сокращенного умножения, можно вспомнить, что в Древней Греции эти формулы доказывались геометрически. Но использовать методы «геометрической алгебры» для доказательства теорем алгебры и решения квадратных уравнений нельзя, так как при этом придётся рассматривать лишь положительные величины, а значит будут найдены не все корни уравнений или придётся накладывать ограничения на переменные в тождествах.

        Таким образом, гипотеза о том, что геометрическая алгебра древних греков применима на уроках математики в современной школе и её можно использовать для доказательства теорем и решения задач подтвердилась частично.

5. Заключение

        В ходе написания работы мы познакомились с историей математики в Древней Греции, рассмотрели понятие «геометрическая алгебра» как геометрический способ выражения отношений между величинами, познакомились с двумя основными задачами, которые можно решить методом «геометрической алгебры» - доказательство тождеств и решение квадратных уравнений, проанализировали возможность применения данной теории на уроках математики.        

Работа над данным проектом была для нас интересна и полезна, так как  во время  написания проекта мы расширили свой кругозор, научились собирать нужную информацию, анализировать её, делать выводы, составлять и решать квадратные уравнения таким необычным способом.

                        Таким образом, мы реализовала все поставленные задачи и достигли цели проекта.

6. Библиографический список

1. Гильмуллин М.Ф. История математики: Учебное пособие / М.Ф. Гильмуллин. — Елабуга: Изд-во ЕГПУ, 2009. — 212 с.
2. Э.Кольман. История математики в древности.
3. И.Г. Башмакова. Становление алгебры (Из истории математических идей).
4. К.А. Рыбников. История математики.