Проект: "РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ВЫСШИХ СТЕПЕНЕЙ С ПОМОЩЬЮ ЗАМЕНЫ ПЕРЕМЕННОЙ"

Слайд 1

Слайд 2

ЦЕЛИ ПРОЕКТА: 1. СОВЕРШЕНСТВОВАТЬ НАВЫКИ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ С ПОМОЩЬЮ ЗАМЕНЫ ПЕРЕМЕННОЙ. 2. НАУЧИТЬСЯ РАБОТАТЬ С ИНФОРМАЦИЕЙ ИЗ ИНТЕРНЕТА. 3. УМЕТЬ СОЗДАВАТЬ ПРЕЗЕНТАЦИИ, ИСПОЛЬЗУЯ СОБРАННЫЙ МАТЕРИАЛ.

Слайд 3

НЕМНОГО ИСТОРИИ… Некоторые алгебраические приемы решения линейных и квадратных уравнений были известны еще 4000 лет назад в Древнем Вавилоне. Необходимость решать уравнения не только первой, но и второй степени еще в древности была вызвана потребностью решать задачи, связанные с нахождением площадей земельных участков и с земельными работами военного характера, а также с развитием астрономии и самой математики

Слайд 4

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗНАЧЕНИЕ РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЙ. . НАХОЖДЕНИЕ ПЛОЩАДИ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ФИГУР. ПРИВОДИТ К РЕШЕНИЮ КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЙ.

Слайд 5

Нахождение объёма ПРИВОДИТ К РЕШЕНИЮ КУБИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ.

Слайд 6

Задачи баллистики ПРИВОДИТ К РЕШЕНИЮ КВАДРАТНЫХ, КУБИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ.

Слайд 7

Решение уравнений четвертой и пятой степени Кристаллография

Слайд 8

Полёт самолёта Решение квадратного и кубического уравнения

Слайд 9

В Древней Индии были распространены публичные соревнования в решении трудных задач. В одной из старинных индийских книг говорится по поводу таких соревнований следующее: «Как солнце блеском своим затмевает звезды, так ученый человек затмит славу другого в народных собраниях, предлагая и решая алгебраические задачи ». Задачи часто облекались в стихотворную форму.

Слайд 10

Уравнения, приводимые к квадратным (биквадратные) К квадратным уравнениям сводятся уравнения четвертой степени: ax 4 + bx 2 + c = 0, называемые биквадратными, причем, а ≠ 0. Достаточно положить в этом уравнении х 2 = y , следовательно, ay ² + by + c = 0 найдём корни полученного квадратного уравнения y 1,2 = заменим y на x и получим

Слайд 11

x ⁴ - 25x² + 144 = 0 x ⁴ - 25x² + 144 = 0 сделаем замену x ² = y получим квадратное уравнение y ² - 25y + 144 = 0 D = 25² - 4 • 1 • 144 = 625 - 576 = 49 y ₁ = 16 y ₂ = 9 значит, x ² = 16; x ² = 9 Ответ: x ₁ = 4; x ₂ = -4; x ₃ = 3; x ₄ = -3

Слайд 12

x ⁴ - 4x² + 4 = 0 сделаем замену x ² = y получим квадратное уравнение y ² - 4y + 4 = 0 D = 4² - 4 • 1 • 4 = 16 - 16 = 0 значит, y = 2 Ответ: x ₁,₂ = ±√

Слайд 13

x ⁴ - 2x² - 3 = 0 сделаем замену x ² = y получим квадратное уравнение y ² - 2y - 3 = 0 D = 2² - 4 • 1 • (-3) = 4 - (-12) = 16 y ₁ = 3 y₂= -1 значит, x ² = 3; x ² = -1 Ответ: x ₁,₂=±√3;

Слайд 14

9x⁴ - 9x² + 2 = 0 сделаем замену x ² = y получим квадратное уравнение 9y² - 9y + 2 = 0 D = 9² - 4 • 9 • 2 = 81 - 72 = 9 значит, y ₁ =2/3; y₂=1/3 x ² = 2/3 ; x ² = 1/3 Ответ: x ₁,₂=±√6/3 x ₃,₄=±√3/3

Слайд 15

4 x ⁴ - 5 x ² + 1 = 0 сделаем замену x ² = y получим квадратное уравнение 4 y ² - 5 y + 1 = 0 D = 5² - 4 • 4 • 1 = 25 - 16 = 9 y₁ = 1 y₂ = 0,25 значит, x² = 1; x² = 0,25 Ответ: x₁ = 1; x₂ = -1; x₃ = 0,5; x₄ = -0,5

Слайд 16

5x⁴ - 5x² + 2 = 0 сделаем замену x ² = y получим квадратное уравнение 5y² - 5y + 2 = 0 D = 5² - 4 • 5 • 2 = 25 - 40 = -15 Ответ: нет корней

Слайд 17

x ⁴ + 5x² - 36 = 0 сделаем замену x ² = y получим квадратное уравнение y ² + 5y - 36 = 0 D = 5² - 4 • 1 • (-36) = 25 - (-144) = 169 y ₁ = 4 y ₂ =-9 значит, x ² = 4; x ² = -9 Ответ: x ₁ = 2; x ₂ = -2

Слайд 18

x ⁴ - 6x² + 8 = 0 сделаем замену x ² = y получим квадратное уравнение y ² - 6y + 8 = 0 D = 6² - 4 • 1 • 8 = 36 - 32 = 4 y ₁ = 4 y ₂ =2 значит, x ² = 4; x ² = 2 Ответ: x ₁ = 2; x ₂ = -2 ; x₃ = √ 2 ; x₄ = - √ 2

Слайд 19

x ⁴ + 10x² + 25 = 0 сделаем замену x ² = y получим квадратное уравнение y ² + 10y + 25 = 0 D = 10² - 4 • 1 • 25 = 100 - 100 = 0 y = -10 ± 0 / 2 • 1 = -10 / 2 = -5 Ответ: нет корней

Слайд 20

x ⁴ + x ² - 2 = 0 сделаем замену x ² = y получим квадратное уравнение y ² + y - 2 = 0 D = 1² - 4 • 1 • (-2) = 1 - (-8) = 9 y ₁ = 1 y ₂ = -2 значит, x ² = 1; x ² = -2 Ответ: x ₁ = 1; x ₂ = -1

Слайд 21

x ⁴ - 8x² - 9 = 0 сделаем замену x ² = y получим квадратное уравнение y ² - 8y - 9 = 0 D = 8² - 4 • 1 • (-9) = 64 - (-36) = 100 y ₁ = 9 y ₂ =-1 значит, x ² = 9; x ² = -1 Ответ: x ₁ = 3; x ₂ = -3

Слайд 22

x ⁴ - 7x² - 144 = 0 сделаем замену x ² = y получим квадратное уравнение y ² - 7y - 144 = 0 D = 7² - 4 • 1 • (-144) = 49 - (-576) = 625 y ₁ = 16 y ₂ =-9 значит, x ² = 16; x ² = -9 Ответ: x ₁ = 4; x ₂ = -4

Слайд 23

36x⁴ - 3x² + 1 = 0 сделаем замену x ² = y получим квадратное уравнение 36y² - 3y + 1 = 0 D = 3² - 4 • 36 • 1 = 9 - 144 = -135 Ответ: нет корней, так как дискриминант отрицательный!

Слайд 24

16x⁴ + 10x² + 1 = 0 сделаем замену x ² = y получим квадратное уравнение 16y² + 10y + 1 = 0 D = 10² - 4 • 16 • 1 = 100 - 64 = 36 y ₁ = -0,125 y ₂ = -0,5 значит, x ² = -0,125; x ² = -0,5 Ответ: нет корней

Слайд 25

x ⁴ - 8x² + 16 = 0 сделаем замену x ² = y получим квадратное уравнение y ² - 8y + 16 = 0 D = 8² - 4 • 1 • 16 = 64 - 64 = 0 y = 8 / 2 = 4 Ответ: x = 2; х ₂= -2

Слайд 26

x ⁴ - 25x² = 0 сделаем замену x ² = y получим квадратное уравнение y ² - 25y = 0 y ₁ = 25 y ₂ = 0 значит, x ² = 25; x ² = 0 Ответ: x ₁ = 0; x ₂ = 5; x ₃ = -5

Слайд 27

x ⁴ + 15x² + 50 = 0 сделаем замену x ² = y получим квадратное уравнение y ² + 15y + 50 = 0 D = 15² - 4 • 1 • 50 = 225 - 200 = 25 y ₁ = -5 y ₂ = -10 значит, x ² = -5; x ² = -10 Ответ: нет корней

Слайд 28

x ⁴ - 5x² - 36 = 0 сделаем замену x ² = y получим квадратное уравнение y ² - 5y - 36 = 0 D = 5² - 4 • 1 • (-36) = 25 - (-144) = 169 y ₁ =9 y ₂ = -4 Значит, x ² = 9; x ² = -4 Ответ: x ₁ = 3; x ₂ = -3

Слайд 29

x ⁴ + 10x² + 25 = 0 сделаем замену x ² = y получим квадратное уравнение y ² + 10y + 25 = 0 D = 10² - 4 • 1 • 25 = 100 - 100 = 0 y = -5 Ответ: нет корней

Слайд 30

x ⁴ - 6x² + 8 = 0 сделаем замену x ² = y получим квадратное уравнение y ² - 6y + 8 = 0 D = 6² - 4 • 1 • 8 = 36 - 32 = 4 y ₁ = 4 y ₂ = 2 Значит, x ² = 4; x ² = 2 Ответ: x ₁ = 2; x ₂ = -2; x ₃ = √2; x ₄ =-√2

Слайд 31

5x⁴ - 5x² = 0 сделаем замену x ² = y получим квадратное уравнение 5y² - 5y = 0 y ₁ = 1 y ₂ = 0 Значит, x ² = 1; x ² = 0 Ответ: x ₁ = 0; x ₂ = 1; x ₃ = -1

Слайд 32

x ⁴ + 6x² = 0 сделаем замену x ² = y получим квадратное уравнение y ² + 6y = 0 y ₁ = 0 y ₂ = -6 Значит, x ² = 0; x ² = -6 Ответ: x = 0

Слайд 33

(5 X +1)² +6(5 X +1)-7 =0 Замена: 5 X +1= y. Получим уравнение: y²+6y-7=0 D =36+28=64 y₁=1 ; y₂= -7 ; 5X+1=1 5X+1= -7 5X=0 5 X =-8 X=0 ; X = -1,6

Слайд 34

( X² -9) ² -8( X² -9)+7=0 Замена: X² -9= y. Получим уравнение: y ²-8y+7=0 D =64-28=36 y₁=7 ; y₂=1 X² -9= 7 или X² -9=1 X=±4 x=±√10

Слайд 35

(2х 2 +3х) 2 -7(2х 2 +3х)=-10

Слайд 37

12 февраля 1535 года между Фиори и Н.Тартальей состоялся научный поединок, на котором Тарталья одержал блестящую победу. Он за два часа решил все предложенные Фиори 30 задач, в то время как сам Фиори не решил ни одной задачи Тартальи. В нашей презентации всего 25 уравнений. Попробуйте решить их за урок!!! Н. Тарталья