Творческая работа "Метод математической индукции"

муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

«Средняя школа №14»

Творческая работа                                                                     

Метод математической индукции

Выполнила:

Ученица 8 «В» МБОУ СШ №14

 г.Арзамаса,

Пивоварова Диана

 Руководитель:

Власова Татьяна Борисовна-

учитель математики первой категории

Адрес:  607233 Нижегородская обл.,

г. Арзамас, 11мик-н, д.11

тел. рабочий:  8 (83147)2-65-49

 эл. почта: www.school14.org

E-mail:school14info@rambler.ru

г.Арзамас, 2016г.

Содержание

Введение…………………………………………………………………………..1

Цели и задачи исследования……………..…………………………………...2  

Глава 1. Обзор литературы

1.Комбинаторика…….…………………………...................................................3

Глава 2. Практическая часть

2. Разнообразие математических задач в комбинаторике……………………..4

Выводы…..……………….………………………………………..……………5

Материал………………………………………….…………………………….5

Введение.

      Со времен зарождения жизни человечество стремилось к прогрессу, и свои первые шаги оно начинало с каменного века. Постепенно мир усовершенствовался и изменился. Каменный век перешел в мультимедийный. Даже несколько десятков лет тому назад мы не могли предположить о таких глобальных переменах. Но, несмотря на все изменения, произошедшие за это время, есть вещи, которые не меняются и их ценность со временем не убывает. Всем, например, известно, что Земля круглая, что 2·2=4. К таким ценностям можно отнести и математическую индукцию.

      Математическую индукцию можно сравнить с прогрессом. Мы начинаем с низшего, в результате логического мышления приходим к высшему. Человек всегда стремился к прогрессу, к умению развивать свою мысль логически, а значит, сама природа предначертала ему размышлять индуктивно.

Цели и задачи исследования.

Цель работы:  познакомиться с методом математической индукции, систематизировать знания по данной теме и применить её при решении математических задач и доказательстве теорем, обосновать и наглядно показать практическое значение метода математической индукции как необходимого фактора для решения задач.

Задачи:

1. Проанализировать литературу по данной теме.

2. Освоить разные методы и методики работы.

3.Обобщить и систематизировать знания по данной теме.

4. Совершенствовать знания, умения, навыки по данной теме.

5.Прорешать задачи различных видов, применяя данный метод.

6.Предоставить выводы по данной теме.

7.Сформировать представления о математики как части общечеловеческой культуры, понимать значимость математики.

1

Глава 1. Обзор литературы.

                                                 1.1.Индукция в математике.

Одной из отличительных черт математики является дедуктивное построение теории. Дедуктивное рассуждение — это рассуждение от общего к частному, т. е. рассуждение, исходным моментом которого является общее утверждение, а заключительным моментом — частный вывод.

Дедукция не является единственным методом научного мышления. В физике, химии, биологии широко используются апелляция к наблюдению и опыту, индуктивные рассуждения. Слово индукция в переводе на русский язык означает «наведение», а индуктивные выводы – это сделанные на основе наблюдений и опытов, т, е. полученные путем рассмотрения частных случаев и последующего распространения замеченных закономерностей на общий случай. Например, мы каждый день наблюдаем, что Солнце восходит с востока. Поэтому можно быть уверенным, что и завтра оно появится на востоке, а не на западе. Этот вывод мы делаем, не прибегая ни к каким предположениям о причине движения Солнца по небу (более того, само это движение оказывается кажущимся, поскольку на самом деле движется земной шар). И, тем не менее, этот индуктивный вывод правильно описывает те наблюдения, которые мы проведем завтра.

Роль индуктивных выводов в экспериментальных науках очень велика. Они дают те положения, из которых потом путем дедукции делаются дальнейшие умозаключения.

В математике роль индукции в значительной степени состоит в том, что она лежит в основе выбираемой аксиоматики. После того как длительная практика показала, что прямой путь всегда короче кривого или ломанного, естественно было сформулировать аксиому: для любых трех точек А, В и С выполняется неравенство

 .

 Разумеется, мы не должны экспериментально проверять теоремы, логически выведенные из аксиом: если при выводе не было сделано логических ошибок, то они постольку верны, поскольку истинны принятые нами аксиомы. Но из данной системы аксиом можно вывести очень много утверждений. И отбор тех утверждений, которые надо доказывать, вновь подсказывается индукцией. Именно она позволяет отделить полезные теоремы от бесполезных, указывает, какие теоремы могут оказаться верными, и даже помогает наметить путь доказательства.

1.2.Суть метода математической индукции.

  Во многих разделах арифметики, алгебры, геометрии, анализа приходится доказывать истинность предложений А(n), зависящих от натуральной переменной. Доказательство истинности предложения А(n) для всех значений переменной часто удается провести методом математической индукции, который основан на следующем принципе.

Предложение А(n) считается истинным для всех натуральных значений переменной, если выполнены следующие два условия:

1.Предложение А(n) истинно для n=1.

2.Из предположения, что А(n) истинно для n=k (где k – любое натуральное число), следует, что оно истинно и для следующего значения n=k+1.

            Первый факт называется базисом индукции, второй - индукционным переходом  или шагом индукции. Индукционный переход включает в себя и посылку (или предположение) индукции (утверждение верно при n=k) и заключение (утверждение верно при n=k+1). Другими словами, шаг индукции состоит в переходе от посылки к заключению, т.е. в выводе, что заключение верно, если верна посылка.

            В целом весь логический прием, позволяющий заключить, что рассматриваемое утверждение верно для всех натуральных чисел, коль скоро справедливы и базис, и переход, называется принципом математической индукции. Обычно он выбирается в качестве одной из аксиом, определяющих натуральный ряд чисел, и, следовательно, принимается без доказательства.

Говоря о важности этого метода, А.Н. Колмогоров отмечал, что «понимание и умение применять принцип математической индукции является хорошим критерием зрелости, которая совершенно необходима математику».

В свой статье «Как я стал математиком» А.Н. Колмогоров пишет: «Радость математического «открытия» я познал рано, подметив в возрасте пяти-шести лет закономерность

1 =12,

1 + 3 = 22,

1 + 3 + 5 = З2,

1 + 3 + 5 + 7 = 42 и так далее.

        ..В школе издавался журнал "Весенние ласточки". В нем мое открытие было опубликовано...»

Какое именно доказательство было приведено в этом журнале, мы не знаем, но началось все с частных наблюдений.

 Сама гипотеза, которая, наверняка, возникла после обнаружения этих частных равенств, состоит в том, что формула  

                    1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1) = п2

верна при любом заданном числе п = 1, 2, 3, ...

Для доказательства этой гипотезы достаточно установить два факта. Во-первых, для п = 1 (и даже для п = 2, 3, 4) нужное утверждение верно. Во-вторых, предположим, что утверждение верно при п = к, и убедимся, что тогда оно верно и для п = к + 1:

1 + 3 + 5+…+(2к - 1) + (2к + 1) = (1 + 3 + 5 + ... + (2к - 1)) + (2к + 1)= 

=к2 + (2к + 1) = (к + I)2.

       Значит, доказываемое утверждение верно для всех значений п: для п = 1 оно верно (это проверено), а в силу второго факта — верно для п = k, откуда верно и  для п = k+1.

Глава 2. Практическая часть.

Метод математической индукции в решении задач.

Задачи на суммирование.

1.Докажем равенство методом математической индукции

Sn = –1 + 3 – 5 + 7 – 9 + … + (–1)n (2п – 1) = (–1)п п

1. Истинность равенства при п = 1

=(2·1-1)=-1

2. Предположим, что

Sk = –1 + 3 – 5 + 7 + … + (–1)k (2k – 1) = (–1)k k

И докажем, что тогда

Sk+1 = –1 + 3 – 5 + 7 +…+ (–1)k (2k – 1) + (–1)k+1 (2k + 1) = (–1)k+1 (k + 1)

В самом деле имеем

Sk+1 =–1 + 3 – 5 + 7 +…+ (–1)k (2k – 1) + (–1)k+1 (2k + 1) = Sk + (–1)k+1 (2k + 1) =

= (–1)k k + (–1)k+1 (2k + 1) == (–1)k+1(–k + 2k + 1) = (–1)k+1 (k + 1)

По принципу математической индукции заключаем, что наше предположение истинно для любых п € N.

2.Докажем равенство

1)Истинность равенства при n=1

2)Предположим, что равенство верно при n=k

И докажем, что тогда

По принципу математической индукции заключаем, что наше предположение истинно для любых п € N.

Задачи на делимость.

1.Доказать, что (11n+2 + 122n+1) ⋮ 133

1) Истинность равенства при n=1

11³ + 12³ = (11 + 12) (11² - 11 • 12 + 12²) = 23 • 12 ⋮ 133

2)Предположим, что это утверждение истинно при n = k, т.е.

(11k+2 + 122k+1) ⋮ 133

Докажем, что тогда истинно и при n = k + 1, т.е., что

(11k+3 + 122k+3) ⋮ 133;

11k+3 + 122k+3 = 11 • 11k+2 + 122 • 122k+1=

= 11 • 11k+2 + (11 + 133) 122k+1 =

= 11 • 11k+2 + 11 • 122k+1 + 133 • 122k+1 =

= 11 (11k+2 + 122k+1) + 133 •122k+1

Полученная сумма делится на 133, т.к.

11 (11k+2 + 122k+1) ⋮ 133                и                   133 • 122k+1 ⋮ 133,

т.е. утверждение истинно и при  n = k + 1.

По принципу математической индукции наше утверждение доказано для всех п € N.

       2. Доказать, что для любого п € N число 52n+1 + 1 ⋮ 6

     1)Истинность равенства при n=1     52•1+1 + 1 = 53 + 1 = 126 ⋮ 6

     2)Предположим, что это утверждение истинно при n = k, т.е  52k+1 + 1 ⋮ 6.

Докажем, что тогда истинно при n = k + 1.

52(k+1)+1 + 1 = 52k • 53 + 1 = 25 • 52k+1 + 1 =

= (24 + 1) • 52k+1 + 1=

= 24 • 52k+1 +52k+1 + 1 ⋮ 6

Т.к. каждое слагаемое делится на 6, следовательно, по принципу математической индукции утверждение доказано для всех п € N.

Задачи на доказательство неравенств.

1. Доказать, что если a > b и a, b – положительные числа, то  

an > bn.

При n = 1 утверждение очевидно: a1 > b1.

 Предположим, что ak > bk, докажем, что тогда ak+1 > bk+1.

 Перемножив почленно неравенства ak > bk и a > b, получим: ak+1 > bk+1.

Следовательно, на основании принципа математической индукции утверждение доказано для любого п € N.

2.При каких натуральных n справедливо неравенство .

При n=1 2>5 неверно.

При n=2 4>10 неверно.

При n=3 8>15 неверно.

При n=4 16>20 неверно.

При n=5 32>25 верно.

Предположим, что при n=k неравенство  верно.

Докажем, что оно верно при n=k+1  

  /·2

Т.к. k>1, то 5k>5, тогда  

По принципу математической индукции заключаем, что наше предположение истинно для любых п ≥5.

3. Решить неравенство 2n  > 2n + 1 на множестве натуральных чисел.

При n = 1, n = 2      2n  > 2n + 1 – неверное неравенство

          При n = 3, n = 4, n = 5       2n  > 2n + 1 –  истинно.

            Возникает предположение, что любое число n ≥ 3 будет решением неравенства  

            2n  > 2n + 1.

Докажем это утверждение методом математической индукции.

При n = 3 неравенство верно 23  > 2·3 + 1. Предположим, что неравенство верно при n=k   2k  > 2k + 1, и докажем, что тогда 2k+1  > 2 (k+1) + 1 верно.

В самом деле,

            2k+1 = 2 · 2k      Т.к. 2k  > 2k + 1, то

            2 ·2k  > 2 (2k+1)

            2 ·2k  > 4k+2

            2 ·2k  >(2k + 3) + (2k – 1)

            2 · 2k  > 2k + 3     (2k – 1 > 0)

Следовательно, 2n  > 2n + 1 при всех n ≥ 3.

Геометрические задачи, решаемые с помощью математической индукции

1. Докажем, что п различных точек, лежащих на прямой, делят ее на п + 1 интервалов (из которых два интервала бесконечны).

1)При п = 1 это утверждение истинно, так как одна точка делит прямую на 1 + 1 = 2 интервала.

2)Предположим, что оно истинно при п = k, т. е. что любые k различных точек делят прямую на (k + 1) интервалов.

Возьмем теперь на прямой k + 1 точки А1, А2, ..., Аk+1. Если отбросить точку Аk+1, останется k точек, делящих прямую на k + 1 интервалов. Точка Аk+1 лежит на одном из этих интервалов и делит его в свою очередь на два интервала. Поэтому общее число интервалов, на которые делят прямую k + 1 точек, равно (k + 1) + 1 = k + 2.

Итак, наше утверждение истинно при n = 1, а из его истинности при n = k  вытекает, что оно истинно и при n = k +1. Тем самым доказывает, что оно истинно при всех п € N.

      2. Докажем, что сумма внутренних углов выпуклого n-угольника равна π(n-2).

1. Минимальное число углов — три. Поэтому начнем доказательство с n = 3. Для треугольника получаем π(3-2)=π=180º.

2. Допустим,   что   формула верна при n=k, т.е. сумма углов выпуклого к  -угольника π(к-2). Докажем, что она верна для любого выпуклого (к +1) -угольника.   Тогда получим формулу: сумма углов выпуклого

 (к +1) -угольника находится по формуле  π(к-1). 

 Разобьем (к +1) -угольник      диагональю так, что получим k-угольник и треугольник (см. рисунок).

Так как формула верна для треугольника и k-угольника,

 получаем  π (к - 2) + π = π (к -1).

То же мы получим, если в исходную формулу

 подставить π = к + 1 : π (к +1 - 2) = π (к -1).

Математическая индукция в олимпиадных задачах.

1.Доказать, что любую сумму денег, большую 7 копеек, можно разменять только трехкопеечными и пятикопеечными монетами.

Пусть сумма равна n копейкам.

1)При n=8 утверждение верно 5+3=8

2)Пусть утверждение верно при n=k. Могут быть только два случая для размены суммы в k копеек.

1.Потребовались только трехкопеечные монеты, их 4. Получаем сумму, равную 12. Удаляем три трехкопеечные монеты и добавляем две пятикопеечные монеты. Получаем сумму, равную 13. Тем самым размениваем сумму в k+1 копеек.

2.Имеется одна пятикопеечная и две трехкопеечные монеты. Сумма равна 11. Убираем пятикопеечную монету, добавляем две трехкопеечные монеты. Сумма денег равна 12. Тем самым разменяли сумму в k+1 копеек.

Следовательно, на основании метода математической индукции, задача решена (приложение 1).

2.Ханойские башни (приложение 2). Есть три стержня и n колец разного размера. Класть можно только кольцо меньшего размера на кольцо большего размера. Можно ли переместить пирамидку с одного стержня на другой?

1) При n=1. Пирамидку, в которой только одно кольцо, переместить можно.

2)Предположим, что мы умеем перемещать с числом кольцом n=k. Попробуем переместить пирамидку с k+1 числом колец. Пирамидку из k колец, лежащих на самом большом (k+1)-ом кольце, мы можем переместить согласно предположению на любой стержень. Переместим её на третий стержень. Затем оставшееся (k+1)-ое кольцо переместим на второй стержень. Затем пирамидку из k колец переместим на второй стержень. Т.об. на втором стержне получим пирамидку из (k+1) колец.

Следовательно, на основании метода математической индукции, задача решена.

Легенда.

В одном из буддийских монастырей монахи уже тысячи лет занимаются перекладыванием колец. Они располагают тремя стержнями, на которых надеты кольца разных размеров. В начальном состоянии 64 кольца были надеты на первый стержень и упорядочены по размеру. Монахи должны переложить все кольца с первого стержня на второй, выполняя единственное условие - кольцо нельзя положить на кольцо меньшего размера. При перекладывании можно использовать все три стержня. Монахи перекладывают одно кольцо за одну секунду. Как только они закончат свою работу, считается, что наступит конец света. Количество перекладываний в зависимости от количества колец вычисляется по формуле 2 -1. Для 64 колец это 18446744073709551615 перекладываний, и, если учесть скорость одного перекладывания в секунду, получится около 584542046091 лет, т.е. апокалипсис наступит нескоро.

Заключение.

   Итак, индукция (от лат. inductio — наведение, побуждение) — одна из форм умозаключения, приём исследования, применяя который от знания отдельных фактов приходят к общим положениям. Метод математической индукции – метод доказательства, основанный на принципе математической индукции. Он позволяет в поисках общего закона испытывать гипотезы, отбрасывать ложные и утверждать истинные.

        Метод математической индукции является одной из теоретических основ при решении задач на суммирование, доказательстве тождеств, доказательстве и решении неравенств, решении вопроса делимости, при изучении свойств числовых последовательностей, при решении геометрических задач и т. д.

     Достоинством метода математической индукции является его универсальность, так как с помощью этого метода можно решить многие задачи.

Обобщив и систематизировав знания по математической индукции, я убедилась в необходимости знаний по теме «метод математической индукции». Кроме того эти знания повышают интерес к математике, как к науке.

Так же в ходе работы приобрел навыки решения задач по использованию метода математической индукции. Считаю, что эти навыки помогут мне в будущем.

Литература

1. Боковнев О. А., Фирсов В. В., Шварцбурд С. И. Избранные вопросы математики. 9 класс. Факультативный курс.-М.: Просвещение, 1979г.
2. Виленкин Н. Я., Шибасов Л. П., Шибасова З. Ф. За страницами учебника математики. Москва: Просвещение, 1996г.
3. Галицкий М. Л., Мошкович М. М., Шварцбурд С. И. Углубленное изучение курса алгебры и математического анализа: методические рекомендации, дидактические материалы.
4. Рубанов И.С. Как обучать методу математической индукции/ Математика школе. - Nl. - 1996. - С.14-20.
5. Шарыгин И. Ф. Факультативный курс по математике. Решение задач учебное пособие для 10 класса средней школы – М.: Просвещение,1989г.
6. httр://ш.wikiреdiа.оrg/wiki
7. htt12:/ /www.rеfешtсоllесtiоп.ru/40 124.html

Приложение

1.

А.

Б.         

В.           

2.