Исследовательская работа на тему: "Извлечение квадратных корней из больших чисел без калькулятора"
Цель работы: найти и показать те способы извлечения квадратных корней, которыми можно будет воспользоваться, не имея под рукой калькулятора.
Скачать:
Предварительный просмотр:
Районная научно-практическая конференция
обучающихся Тугулымского городского округа
Извлечение квадратных корней из больших чисел без калькулятора
Исполнитель: Лев Соколов,
МКОУ «Тугулымская В(С)ОШ»,
8 класс
Руководитель: Сидорова Татьяна
Николаевна
I категория, учитель математики
р.п. Тугулым, 2016 г.
Оглавление
Введение 3
Глава 1. Способ разложения на простые множители 4
Глава 2. Извлечение квадратного корня уголком 4
Глава 3. Способ использования таблицы квадратов двузначных чисел 6
Глава 4. Формула Древнего Вавилона 6
Глава 5. Способ отбрасывания полного квадрата 7
Глава 6. Канадский метод 7
Глава 7. Метод подбора угадыванием 8
Глава 8 . Метод вычетов нечётного числа 8
Заключение 10
Список литературы 11
Приложение 12
Введение
Актуальность исследования, когда я изучал тему квадратные корни в этом учебном году, то меня заинтересовал вопрос, как можно извлечь квадратный корень из больших чисел без калькулятора.
Я заинтересовался и решил изучить этот вопрос глубже, чем он изложен в школьной программе, а также приготовить мини-книжечку с наиболее простыми способами извлечения квадратных корней из больших чисел без калькулятора.
Цель работы: найти и показать те способы извлечения квадратных корней, которыми можно будет воспользоваться, не имея под рукой калькулятора.
Задачи:
- Изучить литературу по данному вопросу.
- Рассмотреть особенности каждого найденного способа и его алгоритм.
- Показать практическое применение полученных знаний и оценить
степень сложности в использовании различных способов и алгоритмов.
- Создать мини-книжечку по самым интересным алгоритмам.
Объект исследования: математические символы – квадратные корни.
Предмет исследования: особенности способов извлечения квадратных корней без калькулятора.
Методы исследования:
- Поиск способов и алгоритмов извлечения квадратных корней из больших чисел без калькулятора.
- Сравнение найденных способов.
- Анализ полученных способов.
Все знают, что извлечь квадратный корень без калькулятора - это очень сложная
задача. Когда нет под рукой калькулятора, то начинаем методом подбора стараться вспомнить данные из таблицы квадратов целых чисел, но это не всегда помогает. Например, таблица квадратов целых чисел не даёт ответ на такие вопросы, как, например, извлечь корень из 75, 37,885,108,18061 и другие даже приблизительно.
Также часто на экзаменах ОГЭ и ЕГЭ пользование калькулятором запрещено и нет
таблицы квадратов целых чисел, а надо извлечь корень из 3136 или 7056 и т.д.
Но изучая литературу по данной теме, я узнал, что извлекать корни из таких чисел
возможно и без таблицы и калькулятора, люди научились задолго до изобретения микрокалькулятора. Исследуя эту тему, я нашел несколько способов решения данной проблемы.
Глава 1. Способ разложения на простые множители
Для извлечения квадратного корня можно разложить число на простые множители и извлечь квадратный корень из произведения.
Таким способом принято пользоваться при решении заданий с корнями в школе.
3136│2 7056│2
1568│2 3528│2
784│2 1764│2
392│2 882│2
196│2 441│3
98│2 147│3
49│7 49│7
7│7 7│7
√3136 = √2²∙2²∙2²∙7² = 2∙2∙2∙7 = 56 √3136 = √2²∙2²∙3²∙7² = 2∙2∙3∙7 = 84
Многие применяют его успешно и считают единственным. Извлечение корня разложением на множители - трудоёмкая задача, которая тоже не всегда приводит к желаемому результату. Попробуйте извлечь квадратный корень из числа 209764? Разложение на простые множители дает произведение 2∙2∙52441. А как быть дальше? С этой задачей сталкиваются все, и спокойно в ответе записывают остаток от разложения под знак корня. Методом проб и ошибок, подбором разложение, конечно, можно сделать, если быть уверенным в том, что получится красивый ответ, но практика показывает, что очень редко предлагаются задания с полным разложением. Чаще мы видим, что корень до конца не извлечь.
Поэтому, этот способ лишь частично решает проблему извлечения без калькулятора.
Глава 2. Извлечение квадратного корня уголком
Для извлечения квадратного корня уголком и рассмотрим алгоритм:
1-й шаг. Число 8649 разбиваем на грани справа налево; каждая из которых должна содержать две цифры. Получаем две грани: .
2-й шаг. Извлекаем квадратный корень из первой грани 86, получаем с недостатком. Цифра 9 –это первая цифра корня.
3-й шаг. Число 9 возводим в квадрат (92 = 81) и число 81 вычитаем из первой грани, получаем 86- 81=5. Число 5 – первый остаток.
4-й шаг. К остатку 5 приписываем вторую грань 49, получаем число 549.
5-й шаг. Удваиваем первую цифру корня 9 и, записывая слева, получаем-18
К числу нужно приписать такую наибольшую цифру, чтобы произведение числа, которое мы получим, на эту цифру было бы либо равно числу 549, либо меньше, чем 549. Это цифра 3. Она находится путем подбора: количество десятков числа 549, то есть число 54 делится на 18, получаем 3, так как 183 ∙ 3 = 549. Цифра 3 – это вторая цифра корня.
6-й шаг. Находим остаток 549 – 549 = 0. Так как остаток равен нулю, то мы получили точное значение корня – 93.
Пприведу еще пример: извлечь √212521
№ | Шаги алгоритма | Пример | Комментарии |
1 | Разбить число на группы по 2 цифры в каждой справа налево | 21’ 25’ 21 | Общее число образовавшихся групп определяет количество цифр в ответе |
2 | Для первой группы цифр подобрать цифру, квадрат которой будет наибольшим, но не превосходящим числа первой группы | 1 группа – 21 42=16 16<21 цифра - 4 | Найденная цифра записывается в ответе на первом месте |
3 | Из первой группы цифр вычесть найденный на шаге 2 квадрат первой цифры ответа | _21’ 25’ 21 16 5 | |
4 | К остатку, найденному на шаге 3, приписать справа (снести) вторую группу цифр | _21’ 25’ 21 16__ 525 | |
5 | К удвоенной первой цифре ответа приписать справа такую цифру, чтобы произведение полученного в результате числа на эту цифру было наибольшим, но не превосходила числа, найденного на шаге 4 | 4*2=8 цифра – 6 86*6=516 516<525 | Найденная цифра записывается в ответе на втором месте |
6 | Из числа, полученного на шаге 4 вычесть число, полученное на шаге 5. Снести к остатку третью группу | _21’ 25’ 21 16 _525 516 921 | |
7 | К удвоенному числу, состоящему из первых двух цифр ответа, приписать справа такую цифру, чтобы произведение полученного в результате числа на эту цифру был наибольшим, но не превосходило числа, полученного на шаге 6 | 46*2=92 цифра 1 921*1=921 | Найденная цифра записывается в ответе на третьем месте |
8 | Записать ответ | √212521=461 |
Глава 3. Способ использования таблицы квадратов двузначных чисел
Про этот способ я узнал из Интернета. Способ очень простой и даёт мгновенное извлечение квадратного корня из любых целых чисел от 1 до 100 с точностью до десятых без калькулятора. Одно условие для этого метода – наличие таблицы квадратов чисел до 99.
(Она есть во всех учебниках алгебры 8 класса, и на экзамене ОГЭ предлагается в качестве справочного материала.)
Откройте таблицу и проверьте скорость нахождения ответа. Но сначала несколько рекомендаций: самый левый столбик – это будут в ответе целые, самая верхняя строчка – это десятые в ответе. А дальше всё просто: закройте две последние цифры числа в таблице и найдите нужное вам, не превосходящее подкоренное число, и далее действуйте по правилам этой таблицы.
Рассмотрим на примере. Найдём значение √87.
Закрываем две последние цифры у всех чисел в таблице и находим близкие для 87 – таких только два 8649 и 8837. Но 88 – это уже много.
Значит, остаётся только одно – 8649.
Левый столбик даёт ответ 9 (это целых), а верхняя строчка 3 (это десятых). Значит √87≈ 9,3. Проверим на МК √87 ≈ 9,327379.
Быстро, просто, доступно на экзамене. Но сразу понятно, что корни, большие 100 уже этим способом извлечь невозможно. Способ удобен для заданий с маленькими корнями и при наличии таблицы.
Глава 4. Формула Древнего Вавилона
Древние вавилоняне пользовались следующим способом нахождения приближенного значения квадратного корня их числа х. Число х они представляли в виде суммы а2+b, где а2 ближайший к числу х точный квадрат натурального числа а (а2<х), и пользовались формулой . (1)
Извлечем с помощью формулы (1) корень квадратный, например из числа 28:
Результат извлечения корня из 28 с помощью МК 5,2915026.
Как видим способ вавилонян дает хорошее приближение к точному значению корня.
Глава 5. Способ отбрасывания полного квадрата
( только у четырехзначных чисел)
Сразу стоит уточнить, что этот способ применим только для извлечения квадратного корня из точного квадрата, а алгоритм нахождения зависит от величины подкоренного числа.
- Извлечение корней до числа 752 = 5625
Например: √¯3844 = √¯ 3700 + 144 = 37 + 25 = 62.
Число 3844 представим в виде суммы, выделив из этого числа квадрат 144, затем выделенный квадрат отбрасываем, к числу сотен первого слагаемого (37) прибавляем всегда 25. Получим ответ 62.
Так можно извлекать только квадратные корни до числа 752 =5625!
2) Извлечение корней после числа 752 = 5625
Как же устно извлечь квадратные корни из чисел больше 752 =5625?
Например: √7225 = √7000 + 225 = 70 + √225 = 70 + 15 = 85.
Поясним,7225 представим в виде суммы 7000 и выделенного квадрата 225. Затем к числу сотен прибавить квадратный корень из 225, равный 15.
Получим ответ 85.
Этот способ нахождения очень интересен и в какой – то мере оригинален, но в ходе моего исследования встретился только один раз в работе пермского преподавател.
Возможно, он мало изучен или имеет какие – то исключения.
Он достаточно сложен в запоминании из – за двойственности алгоритма и применим только для четырёхзначных чисел точных корней, но я проработал множество примеров и убедился в его правильности. Кроме всего этот способ доступен тем, кто уже запомнил наизусть квадраты чисел от 11 до 29, ведь без их знания он будет бесполезен.
Глава 6. Канадский метод
Этот быстрый метод был открыт молодыми учёными одного из ведущих университетов Канады в 20 веке. Его точность – не более двух – трёх знаков после запятой. Вот их формула:
√ X = √ S + (X - S) / (2 √ S), гдеX - число, из которого необходимо извлечь квадратный корень, а S - число ближайшего точного квадрата.
Давайте попробуем извлечь квадратный корень из 75
X = 75, S = 81. Это означает, что √ S = 9.
Просчитаем по этой формуле √75: √ 75 = 9 + (75 - 81) / (2∙ 9)
√ 75 = 9 + ( - 6/18 ) = 9 - 0,333 = 8,667
При детальном изучении этого метода легко можно доказать его сходство с вавилонским и поспорить за авторские права изобретения этой формулы, если такие есть в действительности. Метод несложный и удобный.
Глава 7. Метод подбора угадыванием
Этот метод предлагают английские студенты математического колледжа Лондона, но каждый в своей жизни хоть раз непроизвольно пользовался этим методом.[3] Он основан на подборе разных значений квадратов близких чисел путём сужения области поиска. Овладеть этим способом может каждый, но вот пользоваться вряд ли, потому что он требует многократного вычисления произведения столбиком не всегда правильно угаданных чисел. Этот способ проигрывает и в красоте решения, и по времени. Алгоритм прост:
Предположим, вы хотите извлечь квадратный корень из 75.
Так как 82 = 64 и 92 = 81, вы знаете, ответ находится где-то между ними.
Попробуйте возвести 8,52 и вы получите 72,25 (слишком мало)
Теперь попробуйте 8,62 и вы получите 73,96 (слишком небольшой, но все ближе)
Теперь попробуйте 8,72 и вы получите 75,69 (слишком большая)
Теперь вы знаете, ответ находится между 8,6 и 8,7
Попробуйте возвести 8,652 и вы получите 74,8225 (слишком мало)
Теперь попробуйте 8,662 ... и так далее.
Продолжайте, пока не получите ответ достаточно точный для вас.
Глава 8. Метод вычетов нечётного числа
Многие знают метод извлечения квадратного корня разложением числа на простые множители. В своей работе представлю ещё один способ, с помощью которого можно узнать целую часть квадратного корня числа. Способ очень простой. Заметим, что для квадратов чисел верны следующие равенства:
1=12
1+3=22
1+3+5=32
1+3+5+7=42 и т.д.
Правило: узнать целую часть квадратного корня числа можно вычитая из него все нечётные числа по порядку, пока остаток не станет меньше следующего вычитаемого числа или равен нулю, и сочтя количество выполненных действий.
Например, чтобы получить квадратный корень из 36 и 121 это:
36 - 1 = 35 - 3 = 32 - 5 = 27 - 7 = 20 - 9 = 11 - 11 = 0
Общее количество вычитаний = 6, поэтому квадратный корень из 36 = 6.
121 - 1 = 120 - 3 = 117- 5 = 112 - 7 = 105 - 9 = 96 -11 = 85 – 13 = 72 - 15 = 57 – 17 = 40 -19 = 21 - 21 = 0
Общее количество вычитаний = 11, поэтому √121 = 11.
Еще пример: найдём √529
Решение: 1)_529
1
2)_528
3
3)_525
5
4)_520
7
5)_513
9
6)_504
11
7)_493
13
8)_480
15
9)_465
17
10)_448
19
11)_429
21
12)_408
27
13)_385
25
14)_360
27
15)_333
29
16)_304
31
17)_273
33
18)_240
35
19)_205
37
20)_168
39
21)_129
41
22)_88
43
23)_45
45
0
Ответ: √529 = 23
Ученые называют этот метод арифметическим извлечением квадратного корня, а за глаза «методом черепахи» из-за его медлительности.
Недостатком такого способа является то, что если извлекаемый корень не является целым числом, то можно узнать только его целую часть, но не точнее. В то же время такой способ вполне доступен детям, решающим простейшие математические задачи, требующие извлечения квадратного корня. Попробуйте извлечь квадратный корень из числа, например, 5963364 этим способом и вы поймёте, что он «работает», безусловно, без погрешностей для точных корней, но очень - очень длинный в решёнии.
Заключение
Описанные в работе методы извлечения корней встречаются во многих источниках. Тем не менее, разобраться в них оказалось для меня непростой задачей, что вызвало немалый интерес. Представленные алгоритмы позволят всем, кто заинтересуется данной темой, быстрее овладеть навыками вычисления квадратного корня, их можно использовать при проверке своего решения и не зависеть от калькулятора.
В результате проведённого исследования я пришел к выводу: различные способы извлечения квадратного корня без калькулятора необходимы в школьном курсе математики, чтобы развивать навыки вычислений.
Теоретическая значимость исследования – систематизированы основные методы извлечения квадратных корней.
Практическая значимость: в создании мини-книжечки, содержащей опорную схему извлечения квадратных корней различными способами (Приложение1).
Литература и сайты Интернета:
- И.Н. Сергеев, С.Н. Олехник, С.Б.Гашков «Примени математику». – М.: Наука, 1990
- Керимов З., «Как найти целый корень?» Научно-популярный физико-математический журнал "Квант" №2, 1980
- Петраков И.С. «математические кружки в 8-10 классах»; Книга для учителя.
–М.:Просвещение,1987
- Тихонов А.Н., Костомаров Д.П. «Рассказы о прикладной математики».- М.: Наука. Главная редакция физико- математической литературы, 1979
- Ткачева М.В. Домашняя математика. Книга для учащихся 8 класса учебных заведений. – Москва, Просвещение, 1994г.
- Жохов В.И., Погодин В.Н. Справочные таблицы по математике.-М.: ООО «Издательство «РОСМЭН-ПРЕСС», 2004.-120 с.
- http://translate.google.ru/translate
- http://www.murderousmaths.co.uk/books/sqroot.htm
- http://ru.wikipedia.ord /wiki /teorema/
Добрый день, уважаемые гости!
Меня зовут Лев Соколов, я учусь в 8 классе в вечерней школе.
Представляю вашему вниманию работу на тему: «Извлечение квадратных корней из больших чисел без калькулятора».
При изучении темы квадратные корни в этом учебном году, меня заинтересовал вопрос, как можно извлечь квадратный корень из больших чисел без калькулятора и я решил изучить его глубже, так как на следующий год мне предстоит сдавать экзамен по математике.
Цель моей работы: найти и показать способы извлечения квадратных корней без калькулятора
Для достижения цели я решал следующие задачи:
1. Изучить литературу по данному вопросу.
2. Рассмотреть особенности каждого найденного способа и его алгоритм.
3. Показать практическое применение полученных знаний и оценить степень сложности в использовании различных способов и алгоритмов.
4.Создать мини-книжечку по самым интересным алгоритмам.
Объектом моего исследования стали квадратные корни.
Предмет исследования: способы извлечения квадратных корней без калькулятора.
Методы исследования:
1. Поиск способов и алгоритмов извлечения квадратных корней из больших чисел без калькулятора.
2. Сравнение и анализ найденных способов.
Я нашел и изучил 8 способов извлечения квадратных корней без калькулятора и отработал их на практике. Название найденных способов приведены на слайде.
Я остановлюсь на тех из них, которые мне понравились.
Покажу на примере, как можно способом разложения на простые множители извлечь квадратный корень из числа 3025.
Основной недостаток этого способа - он занимает много времени.
С помощью формулы Древнего Вавилона я извлеку квадратный корень из этого же числа 3025.
Способ удобен только для малых чисел.
Из этого же числа 3025 извлекаем квадратный корень уголком.
На мой взгляд, это самый универсальный способ, он применим к любым числам.
В современной науке известно много способов извлечения квадратного корня без калькулятора, но я изучил не все.
Практическая значимость моей работы: в создании мини-книжечки, содержащей опорную схему извлечения квадратных корней различными способами.
Результаты моей работы могут успешно применяться на уроках математики, физики и других предметах, где требуется извлечение корней без калькулятора.
Спасибо за внимание!
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Правильному применению методов можно научиться, применяя и на разнообразных примерах. Г. Цейтен Цель работы: найти и показать те способы извлечения квадратных корней, которыми можно будет воспользоваться, не имея под рукой калькулятора. Задачи: - Изучить литературу по данному вопросу. - Рассмотреть особенности каждого найденного способа и его алгоритм. - Показать практическое применение полученных знаний и оценить степень сложности в использовании различных способов и алгоритмов. - Создать мини-книжечку по самым интересным алгоритмам.
Объект исследования: квадратные корни Предмет исследования: способы извлечения квадратных корней без калькулятора. Методы исследования: Поиск способов и алгоритмов извлечения квадратных корней из больших чисел без калькулятора. Сравнение найденных способов. Анализ полученных способов.
Способы извлечения квадратного корня: 1. Способ разложения на простые множители 2. Извлечение квадратного корня уголком 3. Способ использования таблицы квадратов двузначных чисел 4. Формула Древнего Вавилона 5. Способ отбрасывания полного квадрата 6. Канадский метод 7. Метод подбора угадыванием 8. Метод вычетов нечётного числа
Способ разложения на простые множители Для извлечения квадратного корня можно разложить число на простые множители и извлечь квадратный корень из произведения. 3136│2 7056│2 209764│2 1568│2 3528│2 104882│2 784│2 1764│2 52441│229 392│2 882│2 229│229 196│2 441│3 98│2 147│3 √209764 = √2∙2∙52441 = 49│7 49│7 = √2²∙229² = 458. 7│7 7│7 √3136 = √ 2²∙2²∙2²∙7² = 2∙2∙2∙7 = 56. √7056 = √2²∙2²∙3²∙7² = 2∙2∙3∙7 = 84. Не всегда легко можно разложить, чаще до конца не извлекается, занимает много времени.
Формула Древнего Вавилона (Вавилонский метод) Алгоритм извлечения квадратного корня древневавилонским способом. 1 . Представить число с в виде суммы а ² + b , где а ² ближайший к числу с точный квадрат натурального числа а ( а ² ≈ с ); 2. Приближенное значение корня вычисляется по формуле: Результат извлечения корня с помощью калькулятора равен 5,292.
Извлечение квадратного корня уголком Способ почти универсальный, так как применим к любым числам, но составление ребуса (угадывание цифры на конце числа) требует логики и хороших вычислительных навыков столбиком.
Алгоритм извлечения квадратного корня уголком 1. Разбиваем число (5963364) на пары справа налево (5`96`33`64) 2. Извлекаем квадратный корень из первой слева группы ( - число 2). Так мы получаем первую цифру числа. 3. Находим квадрат первой цифры (2 2 =4). 4. Находим разность первой группы и квадрата первой цифры (5-4=1). 5.Сносим следующие две цифры (получили число 196). 6. Удваиваем первую, найденную нами цифру, записываем слева за чертой (2*2=4). 7.Теперь необходимо найти вторую цифру числа: удвоенная первая цифра, найденная нами, становится цифрой десятков числа, при умножении которого на число единиц, необходимо получить число меньшее 196 (это цифра 4, 44*4=176). 4 - вторая цифра числа &. 8. Находим разность (196-176=20). 9. Сносим следующую группу (получаем число 2033). 10. Удваиваем число 24, получаем 48. 11. 48 десятков в числе, при умножении которого на число единиц, мы должны получить число меньшее 2033 (484*4=1936). Найденная нами цифра единиц (4) и есть третья цифра числа. Далее процесс повторяется.
Метод вычетов нечётного числа (арифметический способ) Алгоритм извлечения квадратного корня: Вычитать нечётные числа по порядку, пока остаток не станет меньше следующего вычитаемого числа или равен нулю. Подсчитать количество выполненных действий – это число есть целаячасть числа извлекаемого квадратного корня. Пример 1: вычислить 1. 9 − 1 = 8; 8 − 3 = 5; 5 − 5 = 0. 2. Выполнено 3 действия
36 - 1 = 35 - 3 = 32 - 5 = 27 - 7 = 20 - 9 = 11 - 11 = 0 общее количество вычитаний = 6, поэтому квадратный корень из 36 = 6. 121 – 1 = 120 - 3 = 117- 5 = 112 - 7 = 105 - 9 = 96 - 11 = 85 – 13 = 72 - 15 = 57 – 17 = 40 - 19 = 21 - 21 = 0 Общее количество вычитаний = 11, поэтому квадратный корень из 121 = 11. 5963364 = ??? Российские учёные «за глаза» называют его «методом черепахи» из-за его медлительности. Он неудобен для больших чисел.
Теоретическая значимость исследования – систематизированы основные методы извлечения квадратных корней. Практическая значимость: в создании мини-книжечки, содержащей опорную схему извлечения квадратных корней различными способами.
Спасибо за внимание!
Предварительный просмотр:
При решении некоторых задач потребуется извлечь квадратный корень из крупного числа. Как это сделать?
Метод вычетов нечётного числа.
Способ очень простой. Заметим, что для квадратов чисел верны следующие равенства:
1=12
1+3=22
1+3+5=32
1+3+5+7=42 и т.д.
Правило: узнать целую часть квадратного корня числа можно вычитая из него все нечётные числа по порядку, пока остаток не станет меньше следующего вычитаемого числа или равен нулю, и сочтя количество выполненных действий.
Например, чтобы получить квадратный корень из 36 и 121 это:
36 - 1 = 35 - 3 = 32 - 5 = 27 - 7 = 20 - 9 = 11 - 11 = 0
Общее количество вычитаний = 6, поэтому квадратный корень из 36 = 6.
121 - 1 = 120 - 3 = 117- 5 = 112 - 7 = 105 - 9 = 96 -11 = 85 – 13 = 72 - 15 = 57 – 17 = 40 -19 = 21 - 21 = 0
Общее количество вычитаний = 11, поэтому √121 = 11.
Канадский метод.
Этот быстрый метод был открыт молодыми учёными одного из ведущих университетов Канады в 20 веке. Его точность – не более двух – трёх знаков после запятой. Вот их формула:
√ X = √ S + (X - S) / (2 √ S), где X - число, из которого необходимо извлечь квадратный корень, а S - число ближайшего точного квадрата.
Пример. Извлечь квадратный корень из 75.
X = 75, S = 81. Это означает, что √ S = 9.
Просчитаем по этой формуле √75: √ 75 = 9 + (75 - 81) / (2∙ 9)
√ 75 = 9 + ( - 6/18 ) = 9 - 0,333 = 8,667
Способ извлечения квадратного корня уголком.
1. Разбиваем число (5963364) на пары справа налево (5`96`33`64)
2. Извлекаем квадратный корень из первой слева группы ( - число 2). Так мы получаем первую цифру числа.
3. Находим квадрат первой цифры (22=4).
4. Находим разность первой группы и квадрата первой цифры (5-4=1).
5.Сносим следующие две цифры (получили число 196).
6. Удваиваем первую, найденную нами цифру, записываем слева за чертой (2*2=4).
7.Теперь необходимо найти вторую цифру числа: удвоенная первая цифра, найденная нами, становится цифрой десятков числа, при умножении которого на число единиц, необходимо получить число меньшее 196 (это цифра 4, 44*4=176). 4 - вторая цифра числа &.
8. Находим разность (196-176=20).
9. Сносим следующую группу (получаем число 2033).
10. Удваиваем число 24, получаем 48.
11.48 десятков в числе, при умножении которого на число единиц, мы должны получить число меньшее 2033 (484*4=1936). Найденная нами цифра единиц (4) и есть третья цифра числа.
Далее процесс повторяется.
Действие извлечения корня квадратного обратно действию возведения в квадрат.
√81= 9 92 =81.
Метод подбора.
Пример: Извлечь корень из числа 676.
Замечаем, что 202 = 400, а 302 = 900, значит 20 < √676 < 900.
Точные квадраты натуральных чисел оканчиваются цифрами 0; 1; 4; 5; 6; 9.
Цифру 6 дают 42 и 62.
Значит, если из 676 извлекается корень, то это либо 24, либо 26.
Осталось проверить: 242 = 576, 262 = 676.
Ответ: √676 = 26.
Еще пример: √6889.
Так как 802 = 6400, а 902 = 8100, то 80 < √6889 < 90.
Цифру 9 дают 32 и 72, то √6889 равен либо 83, либо 87.
Проверяем: 832 = 6889.
Ответ: √6889 = 83.
Если затрудняетесь решать методом подбора, то можно подкоренное выражение разложить на множители.
Например, найти √893025.
Разложим число 893025 на множители, вспомните, вы делали это в шестом классе.
Получаем: √893025 = √36 ∙52 ∙72 = 33 ∙5 ∙7 = 945.
Вавилонский метод.
Шаг №1. Представить число х в виде суммы: х=а2 + b, где а2 ближайший к числу х точный квадрат натурального числа а.
Шаг №2. Использовать формулу:
Пример. Вычислить .
Арифметический метод.
Вычитаем из числа все нечётные числа по порядку, пока остаток не станет меньше следующего вычитаемого числа или равен нулю. Подсчитав количество выполненных действий, определяем, целую часть квадратного корня из числа.
Пример. Вычислить целую часть числа.
Решение. 12 - 1 = 11; 11 - 3 = 8; 8 - 5 = 3; 3 < 7. Выполнено 3 действия, 3 - целая часть числа. Итак, .
Метод (известный как метод Ньютона) заключается в следующем.
Пусть а1 — первое приближение числа (в качестве а1 можно брать значения квадратного корня из натурального числа — точного квадрата, не превосходящего х) .
Следующее, более точное приближение а2 числа найдется по формуле .
Третье, еще более точное приближение и т.д.
(n+1)-е приближение найдется по формуле .
Пример.
Нахождение приближенного значения числа методом Ньютона дает следующие результаты: а1=5; а2= 5,3; а3=5,2915.
- итерационная формула Ньютона для нахождения квадратного корня из числа х (n=2,3,4,…, аn - n-е приближение .
Указанный способ позволяет извлекать квадратный корень из большого числа с любой точностью, правда с существенным недостатком: громоздкость вычислений.
Метод оценки.
Шаг №1. Выяснить диапазон, в котором лежит исходный корень (100; 400; 900; 1600; 2500; 3600; 4900; 6400; 8100; 10 000).
Шаг №2. По последней цифре определить на какую цифру заканчивается искомое число.
Цифра единиц числа х | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 0 |
Цифра единиц числа х2 | 1 | 4 | 9 | 6 | 5 | 6 | 9 | 4 | 1 | 0 |
Шаг №3. Возвести в квадрат предполагаемые числа и определить из них искомое число.
Пример 1. Вычислить.
Решение. 2500 < 3364 < 3600 502 < 3364 < 602 50 < < 60.
= *2 или = *8.
522 = (50 +2)2 = 2500 + 2 · 50 · 2 + 4 = 2704;
582 = (60 − 2)2 = 3600 − 2 · 60 · 2 + 4 = 3364.
Следовательно, = 58.
Если хочется пить...
Рисуем гуашью: "Кружка горячего какао у зимнего окна"
Привередница
Большое - маленькое
Две снежинки