Исследовательский проект "Системы счисления"

Слайд 1

Презентацию составили ученики 9 «Б»класса Гусев Алеша, Галин Женя. Руководитель: учитель математики Гусева Марина Алексеевна Системы счисления

Слайд 2

Цель : понять, как возникли Системы счисления.

Слайд 3

Задачи : 1.Понять ,как и зачем возникли системы счисления. 2.Мы должны научиться жить в новой цивилизации, пользоваться ее благами, но не зависеть от них.

Слайд 4

Система счисления - это совокупность правил для обозначения и наименования чисел.

Слайд 5

«Мысль выражать все числа немногими знаками, придавая им, кроме значения по форме, еще значение по месту, настолько проста, что именно из-за этой простоты трудно оценить, насколько она удивительна». Французский математик Пьера Симона Лаплас (1749-1827 )

Слайд 6

Системы счисления, в которых каждой цифре соответствует величина, не зависящая от её места в записи числа. Единичная (унарная) система Римская система Древнеегипетская десятичная система Алфавитные системы Системы счисления, в которых вклад каждой цифры в величину числа зависит от её положения (позиции) в последовательности цифр, изображающей число . Вавилонская шестидесятеричная система Двоичная система Шестнадцатеричная система Десятичная система Системы счисления позиционные Непозиционные

Слайд 7

Примеры непозиционных систем счисления Унарная система Простейшая и самая древняя - так называемая унарная система счисления. В ней для записи любых чисел используется всего один символ - палочка, узелок, зарубка, камушек. Длина записи числа при такой системе счисления прямо связана с его величиной, что роднит этот способ с геометрическим представлением чисел в виде отрезков. Сами того не осознавая, этой системой счисления пользуются малыши, показывая на пальцах свой возраст. Именно унарная система счисления до сих пор вводит детей в мир счета.

Слайд 8

Римская система счисления В римской системе счисления цифры обозначаются буквами латинского алфавита: I – 1 V – 5 X - 10 L – 50 C – 100 D - 500 M - 1000 Для записи промежуточных чисел используется правило: меньшие знаки, поставленные справа от большего, прибавляются к его значению, а меньший знак, поставленный слева от большего, вычитается из него. Например , IX обозначает число 9, XI обозначает - 11 Десятичное число 28 представляется следующим образом: XXVIII = 10 + 10 + 5 + 1 + 1 + 1 Число 99 имеет вот такое представление: IC = -1 + 100 LVII = 50+5+1+1=57, где L - пятьдесят, V - пять, I - единица; XXVI = 10+10+5+1=26, где X - десять, V - пять, I - единица Римская система счисления сегодня используется в основном для обозначения знаменательных и юбилейных дат, разделов и глав в книгах.

Слайд 9

Системы счисления, которые применялись на Руси На Руси широко применялись системы счисления, отдаленно напоминающие римскую. С их помощью сборщики податей заполняли квитанции об уплате подати (ясака) и делали записи в податной тетради. Вот фрагмент из текста закона об ясачных знаках: " ...кроме изложения словами, было показано особыми знаками число внесенных рублей и копеек так, чтобы сдающие могли быть уверены в справедливости показания... ... Дабы не можно было сделать никаких прибавлений, все таковые знаки очерчивать кругом прямыми линиями" __________________________________________________________ Например, 1232 руб. 24 коп., изображается так:

Слайд 10

Употребляемые в квитанции знаки означали следующее: Однако, непозиционные системы счисления имеют ряд недостатков: Для записи больших чисел приходится вводить новые символы. И всегда есть числа, которые трудно изобразить даже вновь введенными символами. Невозможно записывать дробные и отрицательные числа. Сложно выполнять арифметические операции. тысяча рублей Звезда сто рублей колесо десять рублей квадрат один рубль X одна копейка I

Слайд 11

НЕДОСТАТКИ НЕПОЗИЦИОННЫХ СИСТЕМ СЧИСЛЕНИЯ 1. Существует постоянная потребность введения новых знаков для записи больших чисел 2. Невозможно представлять дробные и отрицательные числа. 3. Сложно выполнять арифметические операции, так как не существует алгоритмов их выполнения .

Слайд 12

Позиционные системы счисления Система счисления называется позиционной, если значение каждой цифры числа зависит от ее места (позиции) в коде числа. Позиционные системы-результат длительного исторического развития непозиционных систем счисления. В позиционной записи помимо конкретной величины для каждого знака имеет значение позиция, в которой он находится в записи числа. Знаки , с помощью которых записываются числа в позиционных системах счисления, называются цифрами, всё множество используемых знаков (цифр) - алфавитом, а их количество в алфавите - основанием системы счисления. Основанием (базисом) позиционной системы счисления называется количество знаков, используемых для изображения числа в этой системе .

Слайд 13

Двоичная система Наименьшее из чисел, которое можно взять за основание системы счисления-это число 2. Эта система одна из очень старых. Она встречалась у некоторых племён Австралии и Полинезии. Изобретение двоичного способа нумерации приписывают китайскому императору Фо Ги , жизнь которого относится к 4-му тысячелетию до новой эры.

Слайд 14

Но автор двоичной арифметики в истории науки доподлинно известен,им является немецкий математик Готфрид Лейбниц , который в 1697 г. разработал двоичную арифметику. Лейбниц настолько был восхищен этим своим открытием, что в честь Фо Ги он выпустил специальную медаль, на которой были даны двоичные изображения начального ряда натуральных чисел.

Слайд 15

Двоичная система проста, так как для представления информации в ней используются всего два состояния или две цифры. Представление информации в двоичной системе использовалось человеком с давних времен. Так, жители островов Полинезии передавали необходимую информацию при помощи барабанов: чередование звонких и глухих ударов. Звук над поверхностью воды распространялся на достаточно большое расстояние, таким образом "работал" полинезийский телеграф. Преимущества двоичной системы счисления: Простота совершаемых операций Возможность осуществлять автоматическую обработку информации, реализуя только два состояния элементов компьютера. Недостаток двоичной системы счисления: Быстрый рост числа разрядов в записи, представляющей двоичное число.

Слайд 16

Восьмеричная система счисления. Восьмеричная система счисления - позиционная система счисления с основанием 8. Для представления чисел в ней используются арабские цифры. Используется всего восемь цифр - 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Восьмеричная система часто используется в областях, связанных с цифровыми устройствами. Характеризуется лёгким переводом восьмеричных чисел в двоичные и обратно, путём замены восьмеричных чисел на триады двоичных. Широко использовалась в программировании в 1950-70-ые гг. ,однако в настоящее время почти полностью вытеснена шестнадцатеричной.

Слайд 17

Десятичная система счисления Причина, по которой десятичная система счисления стала общепринятой, вовсе не математическая. Десять пальцев рук - вот аппарат для счета, которым человек пользуется с доисторических времен. Хотя первые записи арабско-индийскими цифрами встречаются в испанских рукописях еще в 10-м веке, десятичная система начинает закрепляться в Европе только, начиная с 12-го века. Новая нумерация в Европе встретила ожесточенное сопротивление как со стороны официальной схоластической науки того времени, та и со стороны отдельных правительств. Так, например, в 1299 г. во Флоренции купцам было запрещено пользоваться новыми цифрами, в бухгалтерии приказано было либо пользоваться римскими цифрами, либо писать числа словами. Убежденным сторонником использования арабско-индийской системы счисления был известный итальянский математик Леонардо Пизанский (Фибоначчи).

Слайд 18

Современная десятичная система счисления . Древнее изображение десятичных цифр не случайно: каждая цифра обозначает число по количеству углов в ней. Например, 0 - углов нет, 2 - два угла и т.д. Написание десятичных цифр претерпело существенные изменения. Форма, которой мы пользуемся, установилась в XVI веке. Язык чисел, как и любой другой, имеет свой алфавит. В том языке чисел, которым мы обычно пользуемся, алфавитом служат десять цифр - от 0 до 9 . В современном русском языке, а также в языках других народов названия всех чисел до миллиона составляются из 37 слов, обозначающих числа 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 , 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100, 200, 300, 400, 500, 600, 700, 800, 900, 1000 (например, восемьсот пятнадцать тысяч триста девяносто четыре). В свою очередь названия этих 37 чисел, как правило, образованы из названий чисел первого десятка (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) и чисел 10, 100, 1000 .В основе этого словообразования лежит число десять, и поэтому наша система наименований называется десятичной системой счисления.

Слайд 19

Шестнадцатеричная система счисления Для обозначения цифр в шестнадцатеричной системе счисления используются шестнадцать символов - арабские цифры 0 , 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9 и буквы латинского алфавита A, B, C, D, E, F (A=10, B=11, C=12, D=13, E=14, F=15) . Также использует символы "+" и "-" для обозначения знака числа и запятую (точку) для разделения целой и дробной частей числа. Система внедрена американской корпорацией IBM. Широко используется в программировании.

Слайд 20

Основные достоинства любой позиционной системы счисления, это: простота выполнения арифметических операций; ограниченное количество символов, необходимых для записи любого числа; удобство для механического представления чисел.

Слайд 21

Альтернативные системы счисления Двенадцатеричная система счисления . На ее широкое использование в прошлом явно указывают названия числительных во многих языках, а также сохранившиеся в ряде стран способы отсчета времени, денег и соотношения между некоторыми единицами измерения. Её происхождение Связано, со счётом на пальцах, а именно, так как четыре пальца руки (кроме большого) имеют в совокупности 12 фаланг (рисунок)., то по этим фалангам перебирая их по очереди большим пальцем, и ведут счёт от 1 до 12. Затем 12 принимается за единицу следующего разряда и т.д.

Слайд 22

Девятнадцатеричная система счисления Использует девятнадцать цифр - 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9, а также символы "+" и "-" для обозначения знака числа и запятую (точку) для разделения целой и дробной частей числа. Так как запись знаков внутри цифр достаточно неудобна, то плюс при положительных цифрах не пишут вообще, а отрицательные цифры вместо минуса надчеркивают . При таком подходе таблицы сложения и умножения в этой системе счисления повторяют те же таблицы для обычной десятичной системы, но с учетом знаков цифр.

Слайд 23

Система счисления с основанием 32 . О практическом использовании этой системы счисления пока ничего не известно. Однако перспектива есть по двум причинам. Во-первых , аналогичная 8 и 16 связь с двоичной системой, что позволяет легко переводить числа из любой из этих систем в любую другую. Во-вторых , в русском языке (если не различать "е" и "ё") как раз 32 буквы. Система счисления с основанием 36 . Так как 36=10+26, то 36 - последнее основание, до которого можно "дотянуть" обозначение цифр буквами латинского алфавита по правилу, действующему для шестнадцатеричной системы счисления.

Слайд 24

Система счисления с основанием 40 . Совершенно особое слово "сорок" и часто используемое в русском языке выражение "сорок сороков" явно указывают на употребление в прошлом и этой системы счисления. Числительные, обозначающие десятки, до 40 и после 40 образуются по разным правилам. Это же число 40 является соотношением между русскими единицами веса - пудом (16кг) и фунтом (400г).

Слайд 25

Шестидесятеричная система счисления . Ведет свою историю еще с Древнего Египта, то есть с IV тысячелетия до нашей эры. Ее появление вызвано сочетанием двух причин. Во-первых , при счете на пальцах можно фиксировать до 60 различных положений (косточек или суставов между ними). Во-вторых , 60 лет - наименьшее общее кратное периодов обращения вокруг Солнца всех планет Солнечной системы, доступных для наблюдения без оптических приборов. Поэтому именно 60 лет были периодом, на который составлялись древние астрономические календари. Шестидесятилетний цикл летоисчисления широко известен как восточный календарь (в двух вариантах - японском и китайском). Шестидесятеричная система счисления до сих пор сохранилась в измерении углов и времени. Угол равностороннего треугольника делится на 60 градусов. Градус, как и час, делится на 60 минут, а минута - на 60 секунд .

Слайд 26

Тысячная система счисления. Эта система должна была бы использовать тысячу различных цифр. Наверное, такое возможно в Китае, имеющем тысячи иероглифов. Но подавляющее большинство европейцев не имеет навыка удерживать в голове и различать столь большое количество различных знаков. И тем не менее, именно тысячная система счисления лежит в основе образования числительных во всех европейских языках. А вместо тысячи цифр используется их представление в десятичной системе, что в конечном счете приводит к двойной системе счисления: десятично-тысячной. Чтобы не путать разряды двух разных систем счисления, разряды тысячной системы счисления называют классами. Первые из них - единица, тысяча, миллион, миллиард. Так как большие числа употребляются сравнительно редко, то принятые в разных языках названия для последующих классов оказались в конфликте друг с другом.

Слайд 27

Примеры раннее используемых системы счисления : Шестидесятеричная система счисления ее мы находим в подсчете времени: в часе 60 мин., в минуте 60 секунд.Окружность-60*6=360град . Двенадцатеричная система счисления дюжина - мера измерения, которая используется и в настоящее время. Пятеричная система счисления долгое время использовалась в Китае 24-ричная система счисления 24 часа в сутках Семеричная система счисления 7 дней в неделе

Слайд 28

Восьмеричная Двоичная Шестнадцатеричная Двоичная система счисления является основной системой представления информации в памяти компьютера. 0,1 0,1,2,3,4,5,6,7 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9, A,B,C,D,E,F Какие системы счисления используют специалисты для общения с компьютером?

Слайд 29

Полезно запомнить запись в этих системах счисления первых двух десятков целых чисел: 10 - я 2 - я 8 - я 16 - я 0 0 0 0 1 1 1 1 2 10 2 2 3 11 3 3 4 100 4 4 5 101 5 5 10 - я 2 - я 8 - я 16 - я 6 110 6 6 7 111 7 7 8 1000 10 8 9 1001 11 9 10 1010 12 A 11 1011 13 B 10 - я 2 - я 8 - я 16 - я 12 1100 14 C 13 1101 15 D 14 1110 16 E 15 1111 17 F 16 10000 20 10 17 10001 21 11 18 10010 22 12 19 10011 23 13

Слайд 30

Почему люди пользуются десятичной системой, а компьютеры — двоичной? Компьютеры используют двоичную систему потому, что она имеет ряд преимуществ перед другими системами: - для ее реализации нужны технические устройства с двумя устойчивыми состояниями (есть ток — нет тока, намагничен — не намагничен и т.п.), а не, например, с десятью, — как в десятичной - представление информации посредством только двух состояний надежно и помехоустойчиво; - двоичная арифметика намного проще десятичной . Недостаток двоичной системы — быстрый рост числа разрядов, необходимых для записи чисел.

Слайд 31

Двоичная система, удобная для компьютеров, для человека неудобна из-за ее громоздкости и непривычной записи. Перевод чисел из десятичной системы в двоичную и наоборот выполняет машина. Для программистов удобнее работать с более компактной записью. Такими системами и являются 8-аяи 16-ая 10000000001 - двоичная 10000000001 1 0 0 2 1 0 4 восьмеричная шестнадцатеричная Почему в компьютерах используются также восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления?

Слайд 32

Из всех систем счисления особенно проста и поэтому интересна для технической реализации в компьютерах двоичная система счисления.

Слайд 33

Современный компьютер может обрабатывать числовую, текстовую, графическую, звуковую и видео информацию Для представления информации в вычислительной техники преимущественное распространение получило двоичное кодирование. Все виды информации (числовая, текстовая, графическая, звуковая и видео) кодируются на машинном языке, в виде логической последовательности нулей и единиц.

Слайд 34

Связано это с тем, что удобно представлять информацию в виде последовательности электрических импульсов: импульс отсутствует (0), импульс есть (1). Такое кодирование принято называть двоичным, а сами логические последовательности нулей и единиц - машинным языком. Вид информации Пример Двоичный код Числовая 20 последовательность нулей и единиц Текстовая двадцать Графическая Звуковая А почему?

Слайд 35

1.Изобретения различных средств и инструментов для хранения, передачи и обработки информации совершались с древних времен и до наших дней. 2.Различные системы счисления используются всегда, когда появляется потребность в числовых расчетах, начиная с вычислений младшеклассника, выполняемых карандашом на бумаге, кончая вычислениями, выполняемыми на суперкомпьютерах. 3. Важнейшей для большинства людей возможностью компьютерной техники является то, что компьютерная техника может быть использована для работы с текстовыми данными. Вероятно, каждый должен согласиться с тем, что подавляющее большинство пользователей ПК используют программы для обработки текстов чаще, чем программы какого-либо другого назначения. И с тем, что сейчас сложно будет найти компьютер, на котором не была бы установлена какая-либо программа для обработки текстов. При этом многие люди, вероятно, и не догадываются о том, что текстовые данные в ПК представлены, в конечном итоге, в виде числовых данных. Выводы.

Слайд 36

1 . Гашков С.Б. Системы счисления и их применение. МЦНМО, 2004г. 2. Угринович Н.Т. Информатика и информационные технологии. Учебник для 10–11 классов. 3. Энциклопедия “ ВикипедиЯ ” [Электронный ресурс]: Режим доступа: http://ru.wikipedia.org, свободный 4. Выгодский «Справочник по элементарной математике» 5.И. Янсен «Курс цифровой электроники», I том Приложение «Первое сентября» Информатика. Спец. выпуски №42, 1995 г.; №7, 1997 г.; №36, 1998 г. 6.С.В. Фомин «Системы счисления» 7.И.Депман. Мир чисел. ЛИТЕРАТУРА:

Слайд 37

Удачи! Удачи!