Презентация по теме " Площадь"

Слайд 1

Слайд 2

СОДЕРЖАНИЕ Площадь : Площадь многоугольника : Понятие площади многоугольника ПЛОЩАДЬ КВАДРАТА ПЛОЩАДЬ ПРЯМОУГОЛЬНИКА Задача к главе Площади параллелограмма , треугольника , трапеции : ПЛОЩАДЬ ПАРАЛЛЕЛОГРАММА ПЛОЩАДЬ ТРЕУГОЛЬНИКА ПЛОЩАДЬ ТРАПЕЦИИ Задачи к главе Теорема Пифагора : Теорема Пифагора ТЕОРЕМА,ОБРАТНАЯ ТЕОРЕМЕ ПИФАГОРА Задачи к главе

Слайд 3

Понятие площади многоугольника 1) Площадь- это положительное число , которое показывает сколько единичных квадратов или их частей укладывается в данной фигуре. Оглавление

Слайд 4

ПОНЯТИЕ ПЛОЩАДИ МНОГОУГОЛЬНИКА Свойства Площади: 1) Равные многоугольники имеют равные площади. Если ∆ ABC = ∆ A 1 B 1 C 1 → S 1 = S 2 B B 1 S 1 S 2 A C A 1 C 1 Оглавление

Слайд 5

ПОНЯТИЕ ПЛОЩАДИ МНОГОУГОЛЬНИКА 2 ) Если многоугольник составлен из нескольких многоугольников, то его площадь равна сумме площадей этих многоугольников. A S = S 1 + S 2 + S 3 S 1 С B S 2 S 3 D K Оглавление

Слайд 6

ПОНЯТИЕ ПЛОЩАДИ МНОГОУГОЛЬНИКА 3) Площадь квадрата равна квадрату его стороны. S ■ = a² Оглавление B D C a A a

Слайд 7

ПОНЯТИЕ ПЛОЩАДИ МНОГОУГОЛЬНИКА Многоугольник- фигура, составленная из отрезков так , что смежные отрезки не лежат на одной прямой , а не смежные отрезки не имеют общих точек. Понятие площади мы часто встречаем в повседневной жизни: площадь квартиры, государства, сечения детали. Оглавление

Слайд 8

ПОНЯТИЕ ПЛОЩАДИ МНОГОУГОЛЬНИКА Отрезок Многоугольник длина (1 см ) площадь (1 см² ) (1 мм) (1 мм² ) ( 1 м) (1 м² ) Оглавление

Слайд 9

ПЛОЩАДЬ КВАДРАТА Доказать : S ■ со стороной a = a² Доказательство : 1) a = где n –целое число. 2) Разобьем квадрат со стороной 1 см на n² равных квадратов. 3) Т.к S большого квадрата = 1 см² , то 1см S маленького квадрата = S=(2,1 см)² = 4,41см² Сторона каждого маленького квадрата = т.е = a → → Оглавление 2,1 см 2,1 см 1 см

Слайд 10

ПЛОЩАДЬ КВАДРАТА 4) Пусть a представляет собой конечную десятичную дробь, содержащую n знаков после запятой → m = a • 10ⁿ –целое. 5) Разобьем квадрат со стороной a на m² → S ▪ = → 6) Пусть a бесконечная десятичная дробь. Рассмотрим a , получаемое из a отбрасыванием всех десятичных знаков после запятой , начиная с ( n + 1) . Т.к. A отличается от an не более чем на то откуда Оглавление

Слайд 11

ПЛОЩАДЬ КВАДРАТА 6) S данного квадрата заключена между S ■ со стороной an и S■ со стороной Между a²n и 7) Увеличим неограниченно n → будет Становится малым→ будет мало отличаться от a²n→ S отличается от a² → →S = a² ч.и т.д. Оглавление

Слайд 12

ПЛОЩАДЬ ПРЯМОУГОЛЬНИКА Теорема: площадь прямоугольника равна произведению его смежных сторон. Дано : ABCD- прямоугольник. Доказать: S прямоугольник = a • b Доказательство: 1) S KBMF = S KADP + S ABCD + S DCMN + + S DNFP 2) ( a + b) ² = b² + S ABCD + a² + S ABCD ( a + b) ² = b² + 2 • S ABCD + a² a² + 2ab + b² = b² + 2 • S ABCD + a² 2 • S ABCD = 2ab S ABCD = a •b , ч и т . д Оглавление A B C D N M b a a a b b K b a P F

Слайд 13

ЗАДАЧА К ГЛАВЕ Расстояние от точки пересечения диагоналей до стороны прямоугольника на 8 см меньше , чем эта сторона . Найдите площадь прямоугольника, если его периметр равен 88 см. Дано: ABCD – прямоугольник AC; BD- диагонали AC∩ BD = 0 Расстояние от O до AD на 8 см меньше AD. x P ABCD = 88 см. Найти: S ABCD - ? Решение: 1) OH ┴ AD(OH- расстояние от O до AD) OH ║ CD , но О- CD ┴ AD( определение прямоугольника) середина AC → → H- середина AD Оглавление A D B C H O 2x

Слайд 14

ЗАДАЧА К ГЛАВЕ 2) Т.к. О - середина AC; H- середина AD, то OH- средняя линия ∆ ACD → OH = CD 3) Пусть OH = x, тогда AD = ( x+8); CD=2 x т.к P ABCD = 88, то можно составить и решить уравнение. ( 2 x + x + 8) • 2 = 88 3 x + 8 = 44 3 x = 36 x = 12, значит CD = 24; AD = 20 4) S ABCD = AD • DC ; S ABCD = 24 • 20 = 480 кв.ед. Ответ: S ABCD = 480 кв.ед. Оглавление

Слайд 15

ПЛОЩАДЬ ПАРАЛЛЕЛОГРАММА Теорема: площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту. Дано: ABCD- параллелограмм. AD -основание, BH -высота. Доказать: S ABCD = BH • AD Доказательство: 1) BH  AD → ∆AB H - прямоугольник, а) CD  AD→ ∆ DKC- прямоугольник б) AB=CD(ABCD)- параллелограмм.  BAH =  CDK (как соответственный углы при AB  DC и AD -секущая)→ S ABH = S ADCK 2) S ABCD = S ABH + S HBCD = S ∆ DCK +S HBCD = = S B1BCD1 = BH • BC = BH • AD ч.и т.д. Оглавление A B C D H K

Слайд 16

ПЛОЩАДЬ ТРЕУГОЛЬНИКА Теорема: площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту. Дано: ABC –треугольник. Доказать: Доказательство: 1) Доп . постр . А CDB – параллелограмм BC -диагональ→ ∆ ABC=∆ BCD ( по 3 сторонам) → S ABD = S BCD → S паралл . = = 2S ABD→ S ABD = 2) S ABD = S ABD = H что и требовалось доказать Оглавление A B C D

Слайд 17

ПЛОЩАДЬ ТРЕУГОЛЬНИКА Следствие 1. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов. A S = C B Оглавление

Слайд 18

ПЛОЩАДЬ ТРЕУГОЛЬНИКА Следствие 2. Если высоты двух треугольников равны ,то их площади относятся как основания. Дано: ∆ ABC , ∆ A 1 B 1 C 1 BD ┴ AC , B 1 D 1 ┴ A 1 C 1 , BD = B 1 D 1 Доказать: , Доказательство: S ABC = ½ BD • AC; S A1B1C1 =½ B 1 D 1 • A 1 C 1 что и требовалось доказать Оглавление B A D C B 1 A 1 D 1 C 1

Слайд 19

ПЛОЩАДЬ ТРАПЕЦИИ Теорема: площадь трапеции равна произведению полусуммы ее оснований на высоту. Дано: ABCD –трапеция. BC;AD- основания. BH- высота . Доказать: Доказательство: 1) Доп.построении BD –диагональ. ∆ ABD; ∆ BCD 2) S трапеции = S 1∆ + S 2∆ Но BH=DK (это расстояние между параллельными прямыми)→ 3) ч.и т.д. Оглавление B A D C K H

Слайд 20

Задачи к главе Высота равнобедренной трапеции , проведенная из вершины тупого угла и делящая большее основание на два отрезка , один из которых равен половине меньшего основания , равна 6 см. Большее основание превосходит меньшее на 2 см. Найдите площадь трапеции. Дано: ABCD- р.б. трапеция. BH -высота ; BH =6 см. ; BC;AD -основания ; BC< AD; AH=½ BC ; AD-BC=2 Найти: S трапеции =? Решение: Оглавление A B C D H K 2 a a 2 a a 6

Слайд 21

ЗАДАЧи К ГЛАВЕ 1) Пусть AH=a, тогда BC=2a 2) Пусть CK - тоже высота ; тогда ∆ ABH= ∆ CKD - они прямоугольные( AB=CD- (боковые стороны р.б.трапеции) BH=CK -высоты одной трапеции.→ → AH=KD=a; HK=BC=2a. Получили, AD=AH+HK+ KD ,а значит AD=a+2a+a=4a 3) Т.к AD-BC=2 , то AD=BC + 2=2a+2 →4a=2a + 2 2a=2; a=1 ,значит BC=2; AD=4 Ответ: S трапеции =18 кв.ед. Оглавление

Слайд 22

Задачи к главе Высоты, проведенные из вершины тупого угла параллелограмма, составляют угол 45 º .Одна из высот делит сторону, на которую она опущена, на отрезки 2 см и 8 см, считая от вершины острого угла . Найдите площадь параллелограмма. Дано: ABCD -параллелограмма. BH; BB 1 -высоты.< B 1 BH=45º AB 1 = 2 см. B 1 D = 8 см. Найти: S параллелограмма = ? Решение: 1) Т.к BH -высота, то BH ┴ CD;BH┴AB 2) Т.к < B 1 BH=45º ;< ABH=90º →

Слайд 23

ЗАДАЧИ К ГЛАВЕ В треугольнике ABC AA 1 и CC 1 - медианы. Они пересекаются в точке О. AA 1 = 9 см., CC 1 = 12 см., < AOC = 120 º Найдите площадь треугольника. Дано: ∆ ABC; AA 1 ,CC 1 –медианы. AA 1 ∩ CC 1 = 0 . CC 1 = 12 см. ; AA 1 = 9 см. < AOC = 120º Найти: S ABC = ? Решение: 1) Т.к . AA 1 и CC 1 - медиана , то , значит ; ; Т.к. AA 1 = 9 см , то AO = 6 см, OA 1 = 3 см. CC 1 =12 см, CO = 8 см ; OC= 4см. Оглавление A B C H O C 1 A 1

Слайд 24

ЗАДАЧИ К ГЛАВЕ 2) S ∆ AOC = AO • OC • sin< AOC; S ∆ AOC = • 6 • 8 • sin120º S ∆ AOC = ; S ∆ AOC = 12 √3 см² 3) ∆ AOC и ∆ AA 1 C имеют общую высоту → = = = → S ∆ AAC = = 18√3 4) Т.к. медиана делит ∆ ABC на два треугольника, равной площади , то S ABC = 2 • 18√3 = 36√3 см² Ответ: S ABC = 36√3 см². Оглавление

Слайд 25

Теорема Пифагора Трудно найти человека , у которого имя Пифагора не ассоциировалось бы с теоремой Пифагора . Даже те , кто в своей жизни далек от математики , продолжают сохранять воспоминания о «пифагоровых штанах»-квадрате на гипотенузе, равновеликом двум квадратам на катетах. Причина такой популярности теоремы Пифагора ясна: это простота- красота- значимость .В самом деле, теорема Пифагора проста , но не очевидна. Противоречие двух начал и придает ей особую притягательную силу , делает ее красивой. Сохранилось древнее предание , что в честь своего открытия Пифагор принес в жертву богам быка, по другим свидетельствам - даже сто быков . Теорема Пифагора имеет огромное значение . Она применятся в геометрии буквально на каждом шагу. Оглавление

Слайд 26

Теорема Пифагора Теорема: в прямоугольном треугольнике, квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катета. Дано: ∆ ABC –прямоугольный. AC -гипотенуза. AB;BC -катеты. Доказать: AC² = AB² + BC² или c² = a² + b² Доказательство: 1)S BKML = (a + b)² S BKML = 4 • S ACB + S AFEC 2) Док – ть , что AEFC- квадрат. a) т.к. ∆ ABC –прямоугольный, то сумма его острых углов 90 º . б)т.к. ∆ ABC = ∆ AMK( по 2 катетам)→< MAK =< ACB=;

Слайд 27

Теорема Пифагора в) < MAK + < KAC + < BAC=180º ( разносторонние),тогда  + < KAC +  = 180º ( + )=90º → 90 +

Слайд 28

ТЕОРЕМА,ОБРАТНАЯ ТЕОРЕМЕ ПИФАГОРА Теорема: если квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон ,то треугольник прямоугольный. Дано:∆ ABC AB² =AC² + BC² Доказать: ∆ ABC- прямоугольник. Оглавление A B C A 1 C 1 B 1

Слайд 29

ТЕОРЕМА,ОБРАТНАЯ ТЕОРЕМЕ ПИФАГОРА Доказательство: 1) Доп.постр . ∆ A 1 B 1 C 1 ,в котором A 1 C 1 =AC; B 1 C 1 =BC ;

Слайд 30

ЗАДАЧИ К ГЛАВЕ В окружности радиуса 13 см проведена хорда на расстоянии 5 см от центра окружности . Найдите длину хорды. Дано: 13 Окружность(О ;R ) ; R=13 см AB -хорда ; OH- расстояние от O до AB; O 5 OH= 5см Найти: AB- ? Решение: 1)Доп.построение: OA; ∆ AOB - р / б , т.к OA и OB- радиусы одной окружности. 2) Т.к . OH - расстояние от O до AB ,то OH┴AB → OH -высота р / б ∆ , проведенная к основанию → OH -медиана. 3) Рассм . ∆ OBH- прямоугольный ; OB=13 см ; OM= 5 см ; По Теореме Пифагора BH = OB² - OH² ; BH = 13² - 5² =12 см → AB=24 см. Ответ: AB=24 см. • Оглавление B A H

Слайд 31

ЗАДАЧИ К ГЛАВЕ Стороны треугольника пропорциональны числам 7, 24 и 25. Докажите , что данный треугольник прямоугольный. Дано: ∆ ABC; AB : BC : AC= 7 : 24: 25 Доказать: ∆ ABC- прямоугольный Доказательство: 1) Т.к. AB : BC : AC = 7 : 24 : 25 ,то AB= 7 x BC=24 x AC=25 x 2)AC² = (25 x)² = 625 x² AB² + BC² =(7 x)² + (24 x)² = 49 x²+ 576 x² =625 x² Получили , что AC² = AB² + BC² → ∆ ABC- прямоугольный, AC- гипотенуза. Ч.и т.д. Оглавление A B C

Слайд 32

Конец. Большое Спасибо за внимание!!! Оглавление