Число е в реальной жизни

Содержание

                           Число е  в реальной жизни.

Общая характеристика работы

«…Ею порождено многое из того,
Что достойно упоминания»

 «Ода экспоненте»

английский поэт  Элмер  Брил  .

Актуальность Возникновение чисел в нашей жизни не случайность. Невозможно представить себе общение без использования чисел. История чисел увлекательна и загадочна. Человечеству удалось установить целый ряд законов и закономерностей мира чисел, разгадать кое-какие тайны и использовать свои открытия в повседневной жизни. Без замечательной науки о числах – математики – немыслимо сегодня ни прошлое, ни будущее. А сколько ещё не разгаданного!

Все знают геометрический смысл числа π — это длина окружности с единичным диаметром. А вот смысл другой важной константы, e, имеет свойство быстро забываться.   Чем же так замечательно это число, равное 2,7182818284590...

Цель   константа  е - это фундаментальная константа, которая отражается в темпах роста .

Объект исследования:  найти    невидимую  связь между математикой и жизнью!  

Предмет исследования:  Фундаментальный характер  числа е      появляется при изучении роста какой-нибудь величины.

Гипотеза  в окружающей нас действительности всё  построено по удивительно гармоничным законам с математической точностью.

Цель и гипотеза исследования определили его задачи:

• Раскрыть понятия «число Эйлера», «экспонента», «экспоненциальность мира» и научиться «видеть» их в повседневной жизни .
• Познакомиться с определением числа е.
• Рассмотреть фундаментальный характер  числа е    при изучении роста какой-нибудь величины.  

 Методами исследовательской работы стали:

• Теоретические (анализ, синтез, сравнение научной и учебной литературы, а также ресурсов сети Интернет)
• Эмпирический (наблюдение, опрос учащихся и учителей МБОУ «Большекайбицкая СОШ»)
• Качественный анализ полученных в ходе исследования результатов.

Исследование проводилось на базе МБОУ «Большекайбицкая средняя общеобразовательная школа» Кайбицкого муниципального района Республики Татарстан среди 40 учащихся 11-ых классов и 15 учителей.

Этапы исследования:

I этап. Изучение теоретических аспектов «числа е», а также истории возникновения знаменитого числа;

II этап. Разработка вопросов для опросника, проведение опроса с учащимися и учителями. Анализ результатов опроса, выявление первичных результатов;

III этап. Практическая работа – сделать буклет по данной теме и выступить перед одноклассниками , подвести итоги  исследовательской работы.

Основное содержание работы

 В незапамятные времена, научившись считать, люди познали меру количества – число. Вглядываясь в сочетания чисел, они с изумлением увидели, что числа имеют какую-то самостоятельную жизнь, удивительную и полную тайны; тайны необъяснимой и поэтому загадочной и многозначительной... Священные, волшебные, загадочные, таинственные, совершенные.…
      Как только их не называли! «Я не знаю ничего более прекрасного в арифметике, чем эти числа, называемые некоторыми планетарными, а другими – магическими», - писал о них известный французский математик, один из создателей теории чисел Пьер де Ферма. Привлекающие естественной красотой, наполненные внутренней гармонией, доступные, но по-прежнему непостижимые, скрывающие за кажущейся простотой множества тайн.…

В своей жизни каждый из нас стакивается с числами. Курс школьной программы, да и дальнейшую жизнь, трудно представить без них.

Разговор об экспоненциальности нашего мира невозможно начать иначе, как с рассказа о так называемом «числе е». Число е – это основание натуральных логарифмов и важнейшая математическая константа (обозначается строчной латинской буквой «e»), которая в высшей математике встречается буквально на каждом шагу, она играет особенно важную роль в дифференциальном и интегральном исчислении. Иногда число e называют числом Эйлера. Леонард Эйлер (1707 – 1783 гг.) – это самый плодовитый в мире (на открытия) гениальный математик. Именно Эйлер первым ввел символ е (с этой буквы начинается его фамилия – Euler) и сделал так много открытий, связанных с числом е, что, в конце концов, е стали называть числом Эйлера. Численное значение указанного числа следующее:

e = 2,7 1828 1828 459045235360287471352662497757…,

где 1828 – это… год рождения Л. Н. Толстого (гениального русского писателя и мыслителя), что позволяет легко запомнить 9 цифр после запятой в значении числа е.

Число е – трансцендентное число (доказал Ш. Эрмит в 1873 г.), то есть оно не является корнем никакого многочлена с целыми коэффициентами, и не существует закона, по которому чередуются цифры после запятой в значении числа е (ещё в 1961 г. с помощью ЭВМ было получено 100265 десятичных знаков). Предполагается, что e – это нормальное число, то есть вероятность появления разных цифр в его (бесконечной!) записи одинакова.

Иногда число е малообоснованно называют неперовым числом, по имени изобретателя логарифмов Джона Непера (1550–1617). 

Число e может быть определено несколькими способами.

• Число е обозначает предел, к которому стремится выражение е* = (1 + 1/N)^N, когда целочисленный параметр N устремляется к бесконечности: N = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,… [символ ^ («крышка») будет означать «возведение в степень», то есть выражение в круглой скобке (1+1/N) возводится в степень N]. Короче говоря, выражение е* устремляется к числу е = 2,718281828459045… .

• Число е  – это сумма бесконечного ряда: е = 1/0! + 1/1! +1/2! +1/3! +1/4! + 1/5! + … (в знаменателе стоят натуральные числа 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, …, идущие до бесконечности).
• Число е – это единственное число, для которого выполняется следующее условие: площадь области под графиком y = 1/x на интервале от  х = 1 до x = e равна 1.

Число е можно представить в виде бесконечной цепной дроби (её открыл Эйлер):

е = 2 + 1/(1 +1/(2+2/(3+3/(4+4/…)))).

 Как и число π, е- трансцендентное число, то есть оно не может быть корнем какого-нибудь алгебраического уравнения с рациональными коэффициентами. Подобно тому,  как с помощью циркуля и линейки невозможно построить отрезок прямой, длина которого в соответствующих единицах в точности равна π, не существует и способа построения отрезка, длина которого выражалась бы числом е.  

Имея огромное применения в математике, остается неотмеченным вопрос: как же его используют в реальной жизни, то есть каково практическое применение числа Эйлера.Число е встречается  буквально на каждом шагу в высшей математике, в особенности в задачах теории вероятностей, в реальной жизни оно проявляет себя ярче всего при росте какой – либо величины, будь то рост клетки или банковского счета.

  Предположим, что кто-то положил один доллар в банк, выплачивающий 4% годовых.  Если проценты простые, то каждый год сумма вклада возрастет на 4% от первоначального капитала. Каждый доллар через двадцать пять лет «вырастет» и превратится в два доллара. Если же банк выплачивает сложный процент, то доллар будет расти быстрее, потому что после каждого начисления процентов капитал немного увеличивается и в следующий раз процент начисляется от большой суммы. Чем чаще производят перерасчет и прибавление прибыли к основному капиталу, тем быстрее растет вклад. При ежегодном начислении сложных процентов доллар за 25 лет превратится в (1+1/25)25 , то есть в 2,66 долларов. При начислении сложных процентов каждые полгода [если банк выплачивает 4 (сложных) процента годовых, то прирост  вклада за каждые шесть месяцев составляет 2%]  доллар за 25 лет превратится в (1+1/50)50 , или 2,69 доллара.

  В рекламных проспектах банков их составители особо подчеркивают, сколько раз в год производится начисление прибыли.  Непосвященному может показаться, что при достаточно частом начислении процентов (например, если производит пересчет миллион раз в год) за 25 лет доллар превратится в весьма ощутимую сумму. В действительности ничего подобного не произойдет. Через 25 лет один доллар вырос бы до величины (1+1/n)n  , где n- число начисленной прибыли. При n, стремящемся  к бесконечности, это выражение стремится к пределу, равному 2,718  , что всего на 3 цента больше той суммы, которая получилась бы, если бы прибыль начислялась лишь раз в полгода. Этот предел и называется числом е. 

Предположим, что в банке, выплачивающем простой процент, один доллар через какой-то промежуток времени удваивается. При непрерывном начислении  прибыли доллар за то же время превратился бы в е долларов независимо от того, сколько простых процентов прибыли выплачивает в действительности банк. Однако за очень большой промежуток времени даже очень маленькая ежегодная прибыль может увеличить первоначальный капитал до гигантской суммы. Если бы в первом году нашей эры кто-то положил один доллар в банк, выплачивающий 4% годовых, то к 2015 году на его счету было бы уже (1,04)2015  долларов, то есть сумма вклада выражалась бы огромным числом!

       Не все величины возрастают так, как растет капитал в рассмотренных нами примерах. Тип роста, о котором шла речь, обладает одной весьма важной особенностью:  в каждый момент времени скорость роста пропорциональна величине того, что возрастет. Иначе говоря, отношение приращения изменяющейся величины к ее текущему значению всегда одно и то же. Величины такого типа изменяются подобно снежному кому, несущемуся с вершины горы: чем больше становится ком, тем быстрее налипает на него снег. Этот тип роста свойствен многим процессам в живой и неживой природе. Все они описываются формулами, в которые входит функция y=е х. Эта функция настолько важна, что она в отличие от других показательных функций, у=а х, где а ≠е (например, у=2х ), получила особое название. Её называют экспоненциальной функцией или кратко экспонентой. Экспонента с точностью совпадает со своей производной. Именно этим и объясняется причина столь частого появления экспоненты в формулах математического анализа. Инженеры чаще пользуются десятичными логарифмами, в математическом анализе встречаются исключительно натуральные логарифмы с основанием, равным числу е.

     Если держать гибкую цепь за оба конца, то она провиснет по кривой, которая так и называется - цепная линия. В уравнение этой кривой, записанное в декартовых координатах, также входит число е.         Висящая цепь образует цепную линию.

     Тем же уравнением описывается сечение паруса, надутого ветром (рис 1): если вертикальная составляющая скорости ветра равна нулю, то она выгибает парус так же, как направленная по вертикали сила земного тяготения изгибает цепь. Маршалловы и Каролинские острова, а также острова Гильберта (рис 2)- это вершины потухших подводных вулканов. В сечении вертикальной плоскости они имеют форму цепной линии.

Рис1рис2рис3

Рис4 рис5

И самое интересное то, что во всем этом человек не принимает никакого участия! Человеку умному дается возможность переводить все закономерности природы на математические формулы, находить зависимости межды величинами. Поэтому верно изречение «числа управляют миром…»

    Французский энтомолог Жан Анори Фарб в книге «Жизнь паука» дает описание цепной линии, непревзойденное по своему красноречию: «бессмысленное число е вновь предстает перед нами, начертанное на этот раз на паутине. Выйдя из дому в туманное утро, рассмотрим внимательно сплетенную за ночь паутину, усеянную крохотными капельками. Её липкие нити провисают под тяжестью груза, образуя цепные линии, и вся сеть становится похожей на множество ожерелий, как бы повторяющих очертания невидимого колокола. Стоит лишь лучу солнца проникнуть сквозь туман, как паутина начинает переливаться всеми цветами радуги, превращаясь в сверкающую гвоздь бриллиантов, и число е предстает перед нами во всем своем великолепии»(рис 3)

       Из вышеизложенного следует вывод, что число е является базовым соотношением роста для всех непрерывно растущих процессов. Число е позволяет взять простой темп прироста (где разница видна только в конце года) и вычислить составляющие этого показателя, нормальный рост, при котором с каждой наносекундой (или даже быстрее) всё вырастает еще на немного. Число е участвует как в системах с экспоненциальным, так и постоянным ростом: население, радиоактивный распад (рис5), подсчет процентов.  Число смертей от опухолевых заболеваний увеличивается с возрастом тоже по экспоненте. Высыхание почвы после дождя - закон изменения влажности, это спадающая экспонента (рис4). Нарастание численности особей биологического вида, размножение бацилл в теле  происходит по нарастающей экспоненте. Так что число е – это не случайное, взятое наугад число. Все природные процессы экспоненциальны !

Экспериментальная часть работы.

Для разработки вопросов опросника мы использовали выше предложенные  рисунки и фото. Основной идеей при разработке вопросов стали следующие вопросы: что может объединять предложенные рисунки?

Таким образом, опросник включал следующие вопросы:

• Что вы можете сказать о «числе Эйлера», «экспоненте», «цепной линии»?
•  Знаком ли вам термин  «"Все природные процессы экспоненциальны "  »?
• Можно ли “проверить  изменение величин по экспоненте”? Каким образом?
• При начислении сложных процентов даже через 25 лет один доллар вырос бы до величины (1+1/n)n  , где n- число начисленной прибыли. При n, стремящемся к бесконечности, это выражение стремится к пределу, равному 2,718 ?

Анализ обработки результатов опроса позволил сделать следующие выводы. Многие участники эксперимента не смогли дать правильные ответы на заданные вопросы. Так, на первый вопрос ответили всего 32% участников. На вопрос 2 ответили положительно 41% участников. На третий вопрос ответили всего 15% респондентов. Четвертый вопрос носил практический характер и его результат формировался на основе наблюдения.  Таким образом, мы можем сказать, что большинство участников эксперимента не знают о «числе Эйлера» и его законах.

Для того чтобы устранить данную проблему, мы решили устроить небольшой экскурс в мир «экспоненты» и показать на практическом опыте  как начисляются сложные проценты и даже через 25 лет один доллар вырос бы до величины (1+1/n)n  , где n- число начисленной прибыли. То есть при n, стремящемся к бесконечности, это выражение стремится к пределу, равному 2,718 . Для этого, нами было организовано внеклассное мероприятие в рамках клуба любителей математики на тему: «Замечательное число е », на котором мною было продемонстрировано соблюдение законов «экспоненты» в жизни людей и в природе.

После окончания практической работы нами был проведен вторичный опрос по вопросам того же опросника. Опрос показал, что 100% учащихся теперь стали понимать и разбираться в вопросах о  «числе Эйлера». Таким образом, исследовательская работа дала свои плоды.

Заключение.

За кажущейся простотой и случайностью живого восприятия окружающей действительности скрывается математика. Когда мы слушаем музыку, наш мозг занимается алгеброй. Когда мы смотрим на что-либо, наш мозг занимается геометрией. У человека не может возникнуть отношение к предмету, чувство, эмоция, пока мозг не произвел «измерение», сравнение этого предмета с уже имеющимся в памяти чем-то подобным. Впереди идет математика, а только потом возникает чувство. Эту работу мозг производит мгновенно, потому мы ее не замечаем и не осознаем,  и нам кажется, что чувство возникает сразу.

  В этом году на уроках математики  я узнала многое о «экспоненте, числе е » и стала интересоваться, читала много информации на сайте электронной энциклопедии «Википедия», анализировала теоретические работы и энциклопедии.

Не думаю, что эта работа раскрыла в полной мере все секреты, но я вместе с учителем для себя раскрыла  новые горизонты. Я точно знаю, что я не стану великим математиком, но уверена, что полученные знания в данной области помогут мне стать гармоничной личностью.

                 Список использованной литературы

• Я.И. Перельман. Живая математика. Математические рассказы и головоломки. М: Триада – литера 1994
• Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ для 11 класса, М., 1990.
• Гарднер М. Математические досуги, М., 1995.
• Перельман Я.И. Занимательная алгебра, Екатеринбург, 1994.
• Перельман Я.И. Занимательная физика, Екатеринбург, 1994.
• Фельдблюм Б. О самом важном в математике. Л., 1969.
• Internet ресурсы