Лобачевский Н. И. и пятый постулат Евклида

Слайд 1

Лобачевский Н. И. и пятый постулат Евклида Выполнила Подвальная Ксения Ученица 7 «В» класса Гимназии №1 г. Ярославля Руководитель: Рожкова Н.В.

Слайд 2

Пятый постулат Евклида «Если сумма внутренних углов с общей стороной, образованных двумя прямыми при пересечении их третьей, с одной из сторон от секущей меньше 180°, то эти прямые пересекаются, и притом по ту же сторону от секущей.»

Слайд 3

Пятый постулат Евклида Почему математики пытались доказать пятый постулат Евклида? Пятый постулат чрезвычайно сильно отличается от других постулатов Евклида, простых и интуитивно очевидных. Поэтому в течение 2 тысячелетий не прекращались попытки исключить его из списка аксиом и вывести как теорему. За много веков было предложено много доказательств пятого постулата, но в каждом из них рано или поздно обнаруживался порочный круг: оказывалось, что среди явных или неявных посылок содержится утверждение, которое не удаётся доказать без использования того же 5-го постулата.

Слайд 4

Лобачевский Н. И. и пятый постулат В начале ХIX в. в "сражение" с пятым постулатом вступил русский математик, профессор Казанского университета Николай Иванович Лобачевский.

Слайд 5

Итак, допустим, что пятый постулат не верен: через точку А, не принадлежащую прямой в (рис. 5, а), можно провести более чем одну прямую, которая не пересекается с в .

Слайд 6

Лобачевский Н. И. и пятый постулат Евклида Лобачевский доказывает, что две параллельные прямые неограниченно сближаются друг с другом в сторону параллельности, но в обратном направлении они неограниченно удаляются друг от друга.

Слайд 7

Лобачевский Н. И. и пятый постулат Евклида Лобачевский вводит эти определения и обозначения, стремясь, со свойственной ему настойчивостью, узнать, что может получиться из его предположения о неверности пятого постулата, и быстрее обнаружить желанное противоречие. Но и здесь он не получил его.

Слайд 8

Неевклидова геометрия В чем суть открытия Лобачевского? Создавая неевклидовую геометрию Лобачевский принимает всю систему аксиом Евклида, кроме аксиомы параллельных (пятого постулата). Вместо V постулата он принимает противоположное предложение: «Через данную точку, не лежащую на данной прямой, можно провести бесчисленное множество прямых, не встречающих данную прямую». Вместе с этим предложением он принимает остальные аксиомы Евклидовой геометрии и на этом основании строит новую геометрию. Получившаяся геометрия логически стройная, нигде противоречий не встречается. Лобачевский называет ее «воображаемой».

Слайд 9

«Воображаемая геометрия» существенно отличается от привычной геометрии Евклида. Если через точку С, лежащую вне прямой АВ, можно, предположил Лобачевский, провести хотя бы две прямые а и b , которые не пересекутся с прямой АВ. Точно так же не пересекают прямую АВ и прямые m , n, p, проходящие через точку С. Из этого совершенно нелепого на первый взгляд допущения Лобачевский стал делать дальнейшие выводы.

Слайд 10

Начнем с того, что сумма углов треугольника в «воображаемой геометрии» всегда меньше 180 0 . Наконец, в этой геометрии не существует подобных треугольников. Более того, в геометрии Лобачевского имеет место четвертый признак равенства треугольников: если углы одного треугольника соответственно равны углам другого треугольника, то эти треугольники равны.

Слайд 11

Во-первых, потому, что если раньше существовала одна геометрия – евклидова, то теперь появилась другая – неевклидова геометрия. Во – вторых, новая геометрия явилась чистым порождением разума, отделившейся от окружающей действительности. Поэтому Лобачевский назвал ее «воображаемой». Появление неевклидовой геометрии было важным шагом в превращении математики в науку о логически мыслимых формах и отношениях.

Слайд 12

Мы привели только несколько фактов из геометрии Лобачевского. Осталось сказать, что в последние годы жизни автор пытался доказать непротиворечивость своей геометрии. Но безуспешно.

Слайд 13

Спасибо за внимание!