Тетраэдр с целочисленными ребрами.

Слайд 1

ФГКОУ Санкт-Петербургское с уворовское военное у чилище Министерства обороны Российской Федерации Тетраэдр с целочисленными рёбрами Авторы: Лебидь Александр Неженец Алексей 11 класс 2016

Слайд 2

Тетраэдры вокруг нас

Слайд 3

расширить геометрические представления о видах тетраэдра, его свойствах и рассмотреть их применение на практике

Слайд 4

изучить тетраэдр с целочисленными рёбрами изучить виды и условия существования тетраэдра с целочисленными рёбрами изучить свойства тетраэдров с целочисленными рёбрами решить задачи с применением свойств тетраэдров Задачи

Слайд 6

Этапы работы

Слайд 7

использование свойств тетраэдра упрощает решение задач стереометрии

Слайд 8

Тетраэдр (греч. τετρ αεδρον — четырёхгранник ) — простейший многогранник, гранями которого являются четыре треугольника. У тетраэдра 4 грани, 4 вершины и 6 рёбер.

Слайд 9

Равногранные тетраэдры Равногранным называется тетраэдр, все грани которого равны.

Слайд 10

Свойства равногранного тетраэдра 1. Грани представлены равными треугольниками. 2. Скрещивающиеся ребра попарно равны. 3. Трехгранные углы равны. 4. Противолежащие двугранные углы равны. 5. Сумма плоских углов при каждой вершине равна 180°. 6. Развертка тетраэдра - треугольник или параллелограмм. 7. Описанный параллелепипед прямоугольный. 8. Общие перпендикуляры скрещивающихся ребер попарно перпендикулярны. 9. Средние линии попарно перпендикулярны. 10. Периметры граней равны. 11. Площади граней равны. 12. Высоты тетраэдра равны. 13. Отрезки, соединяющие вершины с центрами тяжести противоположных граней, равны. 14. Радиусы описанных около граней окружностей равны. 15. Центр тяжести тетраэдра совпадает с центром описанной сферы. 16. Центр тяжести тетраэдра совпадает с центром вписанной сферы. 17. Центр описанной сферы совпадает с центром вписанной. 18. Вписанная сфера касается граней в центрах описанных около этих граней окружностей.

Слайд 11

Свойства равногранного тетраэдра Свойство 15. Центр тяжести тетраэдра совпадает с центром описанной сферы. Свойство 16. Центр тяжести тетраэдра совпадает с центром вписанной сферы.

Слайд 12

Правильные тетраэдры Тетраэдр называется правильным , если все его грани - равносторонние треугольники.

Слайд 13

Свойства правильного тетраэдра: Свойство 3. Если тетраэдр правильный, то любая его вершина проектируется в ортоцентр противоположной грани. Свойство 4 . Отрезки , соединяющие середины противоположных ребер и перпендикулярные этим ребрам являются радиусами полувписанной сферы . Свойство 5. Если тетраэдр правильный, то каждые два противоположных ребра тетраэдра взаимно перпендикулярны . 1. Сумма плоских углов при каждой вершине будет равна 180°. 2. Все плоские углы равны 60°. 3. Если тетраэдр правильный , то любая его вершина проектируется в ортоцентр противоположной грани. 4. Отрезки , соединяющие середины противоположных ребер и перпендикулярные этим ребрам являются радиусами полувписанной сферы. 5. Если тетраэдр правильный , то каждые два противоположных ребра тетраэдра взаимно перпендикулярны. 6. Шесть плоскостей симметрии пересекаются в одной точке. В точке О пересекаются четыре прямые , проведенные через центры описанных около граней окружностей перпендикулярно к плоскостям граней, и точка О является центром описанной сферы.

Слайд 14

Пифагоровы тетраэдры Тетраэдр называют пифагоровым , если его плоские углы при одной из вершин прямые, и все ребра выражаются целыми числами.

Слайд 15

Программа для нахождения рёбер пифагоровых тетраэдров

Слайд 16

Свойства Пифагоровых тетраэдров Сумма плоских углов тетраэдра меньше 270 ˚. Бимедианы тетраэдра пересекаются в одной точке, которая делит пополам каждую из них. Центроид прямоугольного тетраэдра является центром равных масс, помещённых в его вершины. Если в прямоугольном тетраэдре OABC ребра OA, OB, OC попарно перпендикулярны, то основание H высоты OH этого тетраэдра есть ортоцентр треугольника ABC. Основанием высоты прямоугольного тетраэдра, проведенной из вершины с прямыми плоскими углами, является точка пересечения высот противоположной грани.

Слайд 17

Задача 1 Основание тетраэдра – прямоугольный треугольник с гипотенузой 65 см и катетом 25 см. Высота проходит через вершину прямого угла основания и равна 80 см. Найдите площадь сечения тетраэдра, проходящего через меньший катет основания перпендикулярно к большему боковому ребру. М

Слайд 18

Задача 2 В тетраэдре DABC в основании лежит правильный треугольник АВС, О – точка пересечения высот этого треугольника, AD = BD = CD , DAС = 60°. Найдите косинус угла DAO. O

Слайд 19

Задача 3 В треугольной пирамиде все четыре грани являются равнобедренными треугольниками с основанием и боковой стороной 4. Найти объем пирамиды. F E Q Р

Слайд 20

узнали виды и условия существования тетраэдров с целочисленными рёбрами изучили свойства тетраэдров с целочисленными рёбрами применили изученный теоретический материал при решении задач Заключение

Слайд 21

Список литературы и интернет-ресурсов Ершова А.П., Голобородько В.В. «Самостоятельные и контрольные работы по геометрии для 10 класса» -М.: ИЛЕКСА, 2013 Зив Б.Г. «Задачи по геометрии». – М.: Просвещение, 2003 Перепелкин Д.И. Курс элементарной геометрии. Часть II. Геометрия в пространстве. – М.: Гостехиздат , 1949 Прасолов В.В., Шарыгин И.Ф. Задачи по стереометрии. – М.: Наука, 1989 Понарин Я.П. Элементарная геометрия: В 2 т. – Т.2: Стереометрия, преобразования пространства. – М.: МЦНМО, 2006 Рурукин А.Н. «Контрольно-измерительные материалы. Геометрия. 10 класс».- М.: ВАКО, 2013 Сергеев И.Н., Панферов В.С. «1000 задач с ответами и решениями по математике. Все задания группы С «Закрытый сегмент». – М.: Экзамен, 2013 Шарыгин И. Ф. “Задачи по геометрии”, Москва, 1984 http://reshuege.ru /

Слайд 22

Спасибо за внимание!

Слайд 23

Дано: тетраэдр АВС D ; О – центр тяжести. Доказать: О – центр описанной сферы. Доказательство: 1) Т.к . тетраэдр ABCD равногранный , то по свойству 1 AB = CD. Пусть точка К – середина отрезка АВ, а точка L середина отрезка DC, отсюда отрезок KL бимедиана тетраэдра ABCD, откуда по свойствам медиан тетраэдра следует, что точка О - середина отрезка KL- является центром тяжести тетраэдра ABCD. 2) К тому же медианы тетраэдра пересекаются в центре тяжести, точке О, и делятся этой точкой в отношении 3:1, считая от вершины. Далее, учитывая свойство 13 равногранного тетраэдра, получаем следующее равенство отрезков АО = ВО = СО = DО, из которого и следует, что точка О является центром описанной сферы (по определению описанной около многогранника сферы). 3) Обратно. Пусть К и L - середины ребер АВ и СD соответственно , точка О - центр описанной сферы тетраэдра , т.е. середина отрезка KL. Т.к. О – центр описанной сферы тетраэдра, то треугольники AOB и COD – равнобедренные с равными боковыми сторонами и равными медианами OK и OL. Поэтому ΔAOB=ΔCOD. А значит AB=CD. Аналогично доказывается равенство других пар противоположных ребер, из чего по свойству 1 равногранного тетраэдра и будет следовать искомое. Теорема доказана. С войство 15

Слайд 24

Дано : тетраэдр АВС D ; О – центр тяжести. Доказать: О – центр вписанной сферы. Доказательство: 1) Рассмотрим биссектор двугранного угла при ребре AB, он разделит отрезок DC в отношении площадей граней ABD и ABC. 2) Т.к . тетраэдр ABCD равногранный , то по свойству 11 S ΔABD =S ΔABD =>DL=LС, откуда следует, что биссектор ABL содержит бимедиану KL. Применяя аналогичные рассуждения для остальных двугранных углов, и принимая во внимание тот факт, что биссекторы тетраэдра пересекаются в одной точке, которая является центром вписанной сферы, получаем, что эта точка неминуемо будет центром тяжести данного равногранного тетраэдра. 3) Обратно. Из того, что центр тяжести и центр вписанной сферы совпадают, имеем следующее: DL=LC =>S ABD =S ADC . Доказывая подобным образом равновеликость всех граней, и применяя свойство 11 равногранного тетраэдра, получаем искомое. Теорема доказана. С войство 16

Слайд 25

Свойство 3 Дано: ABCD – правильный тетраэдр AH – высота Доказать : H –ортоцентр Доказательство: 1) Точка H может совпадать с какой - либо из точек A, B, C. Пусть H ≠ B, H ≠ C 2) AH  (ABC) => AH  BH, AH  CH, AH  DH 3) Рассмотрим  ABH,  А CH,  ADH : AD – общая ; AB = AC = AD =>  ABH =  А CH =  ADH => BH = CH = DH=> т . H – является ортоцентром  ABC. Теорема доказана.

Слайд 26

Доказательство . 1) Тетраэдр ABCD – правильный => AO= BO = CO =DO 2) Рассмотрим треугольники AOB, AOC, COD, BOD,BOC, AOD. AO=BO=>  AOB – равнобедренный => OL – медиана, высота, биссектриса AO=CO=>  AOC– равнобедренный => ОK– медиана, высота, биссектриса CO=DO=>  COD– равнобедренный => ON– медиана, высота, биссектриса BO = DO =>  BOD – равнобедренный => OM– медиана, высота, биссектриса AO=DO=>  AOD– равнобедренный => OS– медиана, высота, биссектриса BO=CO=>  BOC– равнобедренный => OP– медиана, высота, биссектриса Тогда ,  AOB=  AOC=  COD=  BOD=  BOC=  AOD => AO=BO=CO=DO и AB=AC=AD=BC=BD=CD 3) OL, OK, ON, OM, OS, OP - высоты в равных равнобедренных треугольниках ; OL,OK,ON,OM,OS, OP - радиусы сферы . Теорема доказана. С войство 4 Дано: ABCD – правильный тетраэдр; OL  AB, OK  AC, OS  AD, ON  CD, OM  BD, OP  BC, AL =BL, AK=CK, AS=DS, BP=CP, BM = DM, CN = DN. Доказать : LO = OK = OS = OM = ON =OP

Слайд 27

Свойство 5 Дано : DABC – правильный тетраэдр; H – ортоцентр Доказать: AB  CD, AD  BC, AC  BD. Доказательство: 1) Рассмотрим ребра AB и CD DABC – правильный тетраэдр =>  ADB – равносторонний ( ADB )  ( EDC ) = ED ED – высота  ADB => ED  AB 2) AB  ED, ED  (EDC ), AB  CE , CE  (EDC) => AB  (EDC) => AB  CD. Аналогично доказывается перпендикулярность других ребер. Теорема доказана.

Слайд 28

Свойство 1 Дано : прямоугольный тетраэдр DABC Доказать: Σ при вершине ≤ 270° Доказательство: При вершине B сумма углов равна 270° , т.к. 90˚+90˚+90˚=270˚. При других вершинах это значение будет меньше: Теперь рассмотрим случай, когда ∠DCA=90˚. Углы ∠BCA и ∠BCD острые, так как △BCA и △BCD прямоугольные. Следовательно, равенство справедливо. Теорема доказана.

Слайд 29

Свойство 2 Дано : прямоугольный тетраэдр ABCD, MN, EF и PQ – бимедианы Доказать: MN∩EF∩PQ=G, Доказательство: Пусть при вершине D три плоских угла - прямые; MN, EF и PQ - бимедианы прямоугольного тетраэдра ABCD, соответствующие парам ребер AB и CD, AC и BD, BC и AD. Так как отрезки ME и FN параллельны BC и равны половине BC, то четырехугольник EMFN - параллелограмм. Точка G - точка пересечения его диагоналей MN и EF - делит их пополам . Из параллелограмма EPFQ следует, что середины бимедиан EF и PQ совпадают с точкой G. Теорема доказана.

Слайд 30

М Дано : DABC – тетраэдр, ΔАВС, ABC = 90°, AC = 65 см, AB = 25 см. BD = 80 см – высота. Сечение через меньший катет основания, ⊥ большему боковому ребру. Найти: S сечения Решение: 1) Найдем второй катет ΔАВС по теореме Пифагора, следовательно , меньший катет основания – катет АВ. 2) Проведем сечение через АВ и АМ – высоту треугольника АСD . АВ⊥DBC, АМ(наклонная)⊥DC, тогда по теореме о трёх перпендикулярах ВМ⊥DC, значит по признаку перпендикулярности прямой и плоскости DC⊥АВМ=> ΔАВМ – искомое сечение. 3) Найдем гипотенузу ΔСВD, CD = 100 4) ΔАВМ – прямоугольный, СD·MB = DB·CB , MB = 48 5) S ΔАВМ = Ответ: 600 Задача 1

Слайд 31

Дано : DABC – тетраэдр, ΔАВС - правильный, точка О - точка пересечения высот ΔАВС AD = BD = CD, DAС = 60°. Найти: cos DAO Решение: 1) ADC – равнобедренный. Так как DAС = DСA = 60° => ADС = 60°, следовательно, ADC – правильный. Аналогично, все боковые грани – правильные треугольники. Тетраэдр DABC – правильный. 2) Пусть ребро тетраэдра равно а, тогда 3 ) Ответ : О Задача 2

Слайд 32

Дано : DABC – пирамида, все грани – равнобедренные треугольники со сторонами , 4, 4. Найти: V пирамиды Решение: 1 ) Так как все грани пирамиды по условию являются равнобедренными треугольниками, то данная пирамида является равногранным тетраэдром DABC: DA = BC = DB = AC = 4, DC = AB = 2) Проведем в тетраэдре бимедианы KL, FE, PQ. 3) V равногранного тетраэдра= Ответ: 7 F E Q Р Задача 3