Его Величество π

Аннотация

Брюханова Екатерина Петровна

п.Абан, МБОУ Абанская СОШ№4 им.Героя Советского Союза В.С.Богуцкого,  6  класс, 10-13 лет

«Его Величество π»

Руководитель: Гузова Тамара Ивановна учитель, информатики и ИКТ, МБОУ Абанская СОШ№4, tamara_an64@mail.ru 

Цель работы:   провести исследование числа π и приоткрыть тайны, которые за ним стоят.

Методы проведенных исследований: теоретическая и практическая.

Основные результаты исследования: провести подбор, анализ и систематизацию источников с целью получения информации о числе  π, найти  интересные  факты и  правила   для запоминания числа π.

Практическая часть: на практике установить приближенное значение числа π различными способам, подобрать практико-ориентированные задачи по данной теме  с целью применения их на уроках математики.

.

Оглавление

1. Введение

2. Основное содержание

1. Удивительное число π
2. Понятие и история числа π
3. Обозначение числа  π 
4. Правила   для запоминания числа π
5. Рекорд запоминания числа π
6. Интересные факты числа π
7. О вычислениях значения числа π на современном этапе
8. Практическая часть «Вычисление приближенного значения пи»

3. Заключение

4. Список литературы

5. Приложение: практико-ориентированные задачи

I. Введение

Актуальность работы

    Поводом  для написания данной исследовательской работы послужило изучение программного комплекса «Математика на компьютерах», который мы установили в кабинете информатики для проведения совместных уроков математики и информатики. В программном  модуле  «Геометрические фигуры»  как раз и предлагали выполнить практические задания для нахождения отношения длины окружности к её диаметру. Предлагали нарисовать на плотной бумаге окружности разных диаметров, вырезать их и с помощью ниток  и линейки измерить длину и диаметр окружностей. Используя программу  «Калькулятор» выполнить вычисления. Оказалось, что отношение длины окружности к её диаметру есть некое постоянное число приблизительно равное 3,14 и обозначается оно π . Меня это очень заинтересовало и я решила повторить  практическую работу для  любых предметов, которые окружают нас: диск в спортивном зале, цветочный горшок, кастрюля, ведро, колесо автомобиля. Получила аналогичный результат.  Далее я в своем учебнике по математике  нашла параграф с темой «Длина окружности. Площадь круга», которую мы на ближайших  уроках будем рассматривать. К сожалению,  в учебнике  оказалось мало информации о числе  π. Было акцентировано внимание на то,  что довольно часто будем встречаться с ним на уроках в старших классах. Интересны были практические задания на нахождение числового значения числа π. Число π является одним из интереснейших чисел, встречающихся при изучении математики. Оно встречается в разных школьных дисциплинах. С числом π связано много интересных фактов, поэтому оно вызывает интерес к изучению. Услышав об этом числе много интересного, я сама решила путём изучения дополнительной литературы, ресурсов сети  Интернет  узнать как можно больше информации о нём и ответить на проблемные вопросы:

- Какие ещё  есть практические способы получения значений π («Пи»)?

- Как давно люди узнали о числе π  («Пи»)?

- Для чего необходимо  его изучение?

- Какие интересные факты с ним связаны?

- Верно ли, что значение Пи равно приближённо 3,14?

- Сколько найдено  знаков после запятой и как их можно запомнить?

Поэтому, перед собой я поставила цель: 

Цель работы: провести исследование числа π и приоткрыть тайны, которые за ним стоят.

Задачи:

1. Провести подбор, анализ и систематизацию источников с целью получения информации о числе  π.

 2. Найти  интересные  факты и  правила   для запоминания числа π.

3.  На практике установить приближенное значение числа π различными способам.

4. Подобрать практико-ориентированные задачи по данной теме  с целью применения их на уроках математики.

Объект исследования:

Объект исследования: Число π («Пи»).

Предмет исследования: Интересные факты, связанные с числом Пи.

Методы исследования

1. Работа с учебной и научно – популярной литературой, ресурсами сети Интернет.
2. Выполнение практических заданий «Вычисление приближенного значения пи»
3. Наблюдение, сравнение, анализ, аналогия.

II. Основная часть

1. Удивительное число π

Никакое другое число не является таким загадочным, как "Пи" с его знаменитым никогда не кончающимся числовым рядом. Во многих областях математики и физики ученые используют это число и его законы.

Мало какому числу из всех чисел, которые используются в математике, в естественных науках, в инженерном деле и в повседневной жизни, уделяется столько внимания, сколько уделяется числу Пи. В одной книге говорится: «Число Пи  захватывает умы гениев науки и математиков-любителей во всем мире» («Fractals for the Classroom»).

Его можно встретить в теории вероятностей, в решении задач с комплексными числами и прочих неожиданных и далеких от геометрии областях математики. Английский математик Август де Морган назвал как-то "Пи" “…загадочным числом 3,14159…, которое лезет в дверь, в окно и через крышу”. Это таинственное число, связанное с одной из трех классических задач Античности - построение квадрата, площадь которого равна площади заданного круга - влечет за собой шлейф драматических исторических и курьезных занимательных фактов.

Некоторые даже считают его одним из пяти важнейших чисел в математике. Но, как отмечается в книге «Fractals for the Classroom», при всей важности числа Пи «трудно найти сферы в научных расчетах, где потребовалось бы больше двадцати десятичных знаков Пи».

2. Понятие числа π

Число π — математическая константа, выражающая отношение длины окружности к длине ее диаметра. Число π (произносится «пи») — математическая константа, выражающая отношение длины окружности к длине её диаметра. Обозначается буквой греческого алфавита «пи». В цифровом выражении π начинается как 3,141592 и имеет бесконечную математическую продолжительность.

 Оно входит в одну из основных формул для нахождения длины окружности  C = πd, или C = 2πr. Другая известная формула, в которой встречается π, – формула площади круга

 S = πr2.

3. История числа π

Как считают специалисты, это число было открыто вавилонскими магами. Оно использовалось при строительстве знаменитой Вавилонской башни. Однако недостаточно точное исчисление значения Пи привело к краху всего проекта. Возможно, что эта математическая константа лежала в основе строительства легендарного Храма царя Соломона.

История числа Пи, выражающего отношение длины окружности к её диаметру, началась в Древнем Египте. Площадь круга диаметром d египетские математики определяли как (d-d/9)2 (эта запись дана здесь в современных символах). Из приведенного выражения можно заключить, что в то время число p считали равным дроби (16/9)2, или 256/81, т.е. π  = 3,160... 

В священной книге джайнизма  (одной из древнейших религий, существовавших в Индии и возникшей в VI в. до н.э.) имеется указание, из которого следует, что число Пи в то время принимали равным то, что даёт дробь 3,162...

 В V в. до н.э. китайским математиком Цзу Чунчжи было найдено более точное значение этого числа: 3,1415927...

4. Обозначение числа  π

    Первым ввёл обозначение отношения длины окружности к диаметру современным символом Пи английский математик Уильям  Джонсон в 1706 г. В качестве символа он взял первую букву греческого слова "periferia", что в переводе означает "окружность". Введённое У.Джонсоном обозначение стало общеупотребительным после опубликования работ Л.Эйлера, который воспользовался введённым символом впервые в 1736 г.

В конце XVIII в. А.М.Лажандр на основе работ И.Г.Ламберта доказал, что число Пи иррационально. Затем немецкий математик Ф.Линдеман, опираясь на исследования Ш.Эрмита, нашёл строгое доказательство того, что это число не только иррационально, но и трансцендентно, т.е. не может быть корнем алгебраического уравнения. Поиски точного выражения Пи продолжались и после работ Ф.Виета. В начале XVII в. голландский математик из Кёльна Лудольф ван Цейлен (1540-1610)  (некоторое историки его называют Л.ван Кейлен) нашёл 32 правильных знака. С тех пор (год публикации 1615) значение числа  π с 32 десятичными знаками получило название числа Лудольфа.

5. Правила   для запоминания числа π

   Число "Пи" - это отношение длины окружности к ее диаметру, оно выражается бесконечной десятичной дробью. В обиходе нам достаточно знать три знака (3,14). Однако в некоторых расчетах нужна большая точность.

У наших предков не было компьютеров, калькуляторов и справочников, но со времен Петра I они занимались геометрическими расчетами в астрономии, в машиностроении, в корабельном деле. Впоследствии сюда добавилась электротехника - там есть понятие "круговой частоты переменного тока". Запомнить знаки Пи человечество пытается уже давно. Но как уложить в память бесконечность? Любимый вопрос мнемонистов-профессионалов. Разработано множество уникальных теорий и приёмов освоения огромного количества информации. Многие из них опробованы на Пи.

   Для запоминания числа "Пи" было придумано двустишие (к сожалению, мы не знаем автора и места первой публикации его; но еще в конце 40-х годов двадцатого века московские школьники занимались по учебнику геометрии Киселева, где оно приводилось).

Двустишие написано по правилам старой русской орфографии, по которой после согласной в конце слова обязательно ставился "мягкий" или "твердый" знак. Вот оно, это замечательное историческое двустишие:

Кто и шутя, и скоро пожелаетъ

"Пи" узнать число - ужъ знаетъ.

Тому, кто собирается в будущем заниматься точными расчетами, имеет смысл это запомнить. Так чему же равно число "Пи" с точностью до одиннадцати знаков? Сосчитай количество букв в каждом слове и напиши эти цифры подряд (первую цифру отдели запятой). Такой точности уже вполне достаточно для инженерных расчетов.

Кроме старинного существует и современный способ запоминания, на который указал в читатель, назвавшийся Георгием: 

Чтобы нам не ошибаться,

Надо правильно прочесть:

Три, четырнадцать, пятнадцать,

Девяносто два и шесть.

Надо только постараться

И запомнить всё как есть:  

Три, четырнадцать, пятнадцать,

Девять, два, шесть, пять, три, пять.

Чтоб наукой заниматься,

Это каждый должен знать.

Можно просто постараться

И почаще повторять:

«Три, четырнадцать, пятнадцать,

Девять, двадцать шесть и пять.» 

Ну а математики с помощью современных компьютеров могут вычислить практически любое количество знаков числа "Пи".

6. Рекорд запоминания числа π

   Мировой рекорд, установленный в прошлом столетии в Германии - 40 000 знаков. Российский рекорд значений числа Пи 1 декабря 2003 года в Челябинске установил Александр Беляев. За полтора часа с небольшими перерывами на школьной доске Александр написал 2500 цифр числа пи. По словам Александра Беляева - руководителя центра развития образной памяти, такой эксперимент со своей памятью может провести любой из нас. Важно лишь знать специальные техники запоминания и периодически тренироваться. Современный мировой рекорд по запоминанию знаков числа  после запятой принадлежит китайцу Лю Чао, который в 2006 году в течение 24 часов и 4 минут воспроизвёл 67 890 знаков после запятой без ошибки. В том же 2006 году японец Акира Харагути смог побить рекорд китайца и  воспроизвёл 83 431 цифру.

7. Интересные факты числа π

• Международный праздник «День числа Пи» отмечается 14 марта, которое в американском формате дат (месяц/день) записывается как 3.14, что соответствует приближённому значению числа π.

• Ещё одной датой, связанной с числом π, является 22 июля, которое называется «Днём приближённого числа Пи» (англ. Pi Approximation Day), так как в европейском формате дат этот день записывается как 22/7, а значение этой дроби является приближённым значением числа π.

• В штате Индиана (США) в 1897 был выпущен билль, законодательно устанавливающий значение числа Пи равным 3,2. Данный билль не стал законом благодаря своевременному вмешательству профессора Университета Пердью, присутствовавшем во время рассмотрения принятия данного закона.
• Выход нового диска Кейт Буш "Aerial" заставил сердца математиков забиться сильнее. В песне, которую певица так и назвала – "Пи", прозвучали 124 числа из знаменитого числового ряда 3,141…
• В современной математике число π -это не только отношение длины окружности к диаметру, оно входит в большое число различных формул. Удивительное число π используется в математике и в повседневной жизни. Перед зданием Музея Искусств в Сиэтле на ступенях установлена металлическая скульптура числа π.
• Германский король Фридрих Второй был настолько очарован этим числом, что посвятил ему…целый дворец Кастель дель Монте, в пропорциях которого можно вычислить Пи. Сейчас волшебный дворец находится под охраной ЮНЕСКО. 

• Как пишет "Die Welt", существует и Пи-клуб, члены которого, являясь фанатами загадочного математического феномена, собирают все новые сведения о Пи и пытаются разгадать его тайну. Чтобы вступить в него, для начала надо вызубрить наизусть как можно большее количество чисел Пи после запятой.

8. О вычислениях значения числа π на современном этапе

С появлением ЭВМ значения числа π было вычислено с достаточно большой точностью. В США, например, был получен результат с более 30 млн. знаков. Если распечатать значение числа, полученное в США, то оно займёт 30 томов по 400 страниц в каждом. Вычисление такого числа знаков для π не имеет практического значения, а лишь показывает огромное преимущество и совершенство современных средств и методов вычисления по сравнению со старыми. Так за полвека вырастала запись точного значения числа π с помощью компьютера:

• 1949 год — 2037 десятичных знаков
• 1958 год — 10000 десятичных знаков
• 1961 год — 100000 десятичных знаков
• 1973 год — 10000000 десятичных знаков
• 1986 год — 29360000 десятичных знаков
• 1987 год — 134217000 десятичных знаков
• 1989 год — 1011196691 десятичный знак
• 1991 год — 2260000000 десятичных знаков
• 1994 год — 4044000000 десятичных знаков
• 1995 год — 4294967286 десятичных знаков
• 1997 год — 51539600000 десятичных знаков
• 1999 год — 206 158 430 000 десятичных знаков.

Суперкомпьютер в сентябре 1999 года работал 37 часов 21 минут 4 секунды, используя 865 Гбайт памяти для основной задачи, и  46 часов и 816 Гбайт для вспомогательной оптимизации вычислений.

В 2009 году французский программист Фабрис  Беллар поставил рекорд вычисления числа π с точностью до 2,7 трлн знаков после запятой.
         2 августа 2010 года американский студент Александр Йи и японский исследователь Сигэру Кондо рассчитали последовательность с точностью в  5 триллионов цифр после запятой и попали в Книгу рекордов  Гиннесса.

9. Практическая часть

           «Вычисление приближенного значения пи»

Я попытаюсь экспериментальным путем вычислить значение числа π.

1. Проверим  отношение длины окружности к её диаметру.
2. Проверим  отношение длины окружности к её диаметру  для любых предметов, которые нас окружают. 
3. Проверила соотношения человеческого тела.
4. Измерение с помощью  наблюдения и расчета

I.  Простейшее измерение

1. Начертим на плотном картоне окружность диаметра d =15 см, вырежем получившийся круг и обмотаем вокруг него тонкую нить. Измерив длину С =46,5 см одного полного оборота нити, разделим С на длину диаметра d окружности . Получившееся частное будет приближенным значением числа π, т. е. π= С / d = 46,5 см /15 см = 3,1. Повторим эксперимент для окружностей с разными диаметрами. Для вычислений   используем программу «Калькулятор»:

2) d=10,8 см ,С=34,5 см, т.е.  π = С / d =34,5см/10,8см =3,2

3)  d=5,2 см,  С=17 см, т.е.  π = С / d =17 см/5,2см = 3,2

4) d=6,7 см,  С=21 см, т.е.  π = С / d =21 см/6,7см = 3,13

Вывод: все данные числа  близки к числу 3

II. Проверка  отношения  длины окружности к её диаметру  для любых предметов, которые нас окружают

1. Возьмём  любые предметы: диск в спортивном зале, цветочный горшок, кастрюлю, ведро. 

2.  Измерим диаметр каждого предмета и длину окружности с помощью метра и линейки.

3. Вычислим с помощью программы «Калькулятор» для каждого случая значение числа π, округлив результат до сотых.

4.  Составим таблицу по найденным нами данным :

Вывод: отношение длины окружности к диаметру любого предмета равен в среднем приблизительно 3, 14

III.  Проверка соотношений человеческого тела

Художники эпохи Возрождения заметили следующие соотношения в размере человеческого тела. Оказывается отношения размаха рук (h) к росту человека (H) всегда равно одному и тому же числу, связанному с числом Фидия (Ф) и числом π . Надо знать, что  π = 2· Ф· h/ H     Ф1,62

Этот факт подтвердили и мои измерения:

1) мои показатели  H = 162 см, h = 157 см, π = 3,14

2) показатели одноклассника  H = 144 см, h = 140 см, π = 3,15

3)  показатели одноклассницы H = 155 см, h = 151 см, π = 3,16

4) показатели руководителя  H = 165 см, h = 158 см, π = 3,11

 Вывод: число π 3,14

IV. Измерение с помощью наблюдения и расчета

Из таблицы мы видим, что если взять отношение календарных дней к количеству выходных дней в любом году, то получается  как раз значение π. 

(Число дней в 2010 году) /(Число выходных дней в 2010 году) = 3.14

Вывод: с числом Пи мы встречаемся в окружающем нас мире везде и повсюду. Не зря есть такая поговорка английского  математика Моргана: «Число π лезет в дверь, в окно и через крышу».                                    

III. Заключение

     В ходе проведённого исследования  я подробнее познакомилась с числом π: узнала некоторые аспекты его богатейшей истории и интереснейшие  факты. Была удивлена, сколько же существуют способов и приёмов для запоминания как можно большее количество чисел Пи после запятой. Посмотрела наглядно, какими способами можно получить число π. На основе экспериментов вычислила приближенное значение числа различными способами. Провела обработку и анализ результатов эксперимента. Подготовила небольшую подборку практико-ориентированных задач, с целью применения их на уроках математики. Проведенная работа была очень увлекательной, познавательной и интересной. Я ответила на все проблемные вопросы, которые поставила перед собой и думаю, что достигла поставленной цели.  Подводя итог работы, я прихожу к выводу, что данная тема  актуальна. С числом π связано много интересных фактов, поэтому оно вызывает интерес к изучению.    В настоящее время с числом π связано труднообозримое множество формул, математических и физических фактов. Их количество продолжает стремительно расти. Они используются  во многих сферах: физика, электротехника, электроника, теория вероятностей, строительство и навигация - это лишь некоторые из них. И кажется, что подобно тому, как нет конца знакам числа Пи, так нет конца и возможностям практического применения этого полезного, неуловимого числа Пи. Всё это говорит о возрастающем интересе к важнейшей математической константе, изучение которой насчитывает уже более двадцати двух веков.

Любой школьник сегодня должен знать, что обозначает и чему приближенно равно число. Ведь у всех первое знакомство с числом,  использование его при вычислении длины окружности, площади круга происходит в 6 классе. При правильном понимании и применении числа π,  возможно легкое запоминание тем и изучение дисциплин школьного курса. Переходя из класса в класс, я не раз ещё встречусь с этим числом. Считаю, что данная тема имеет перспективы развития  в следующем направлении:  

«Число π в школьном курсе и в современной математике». Так что останавливаться на этой работе не стану, а продолжу свои исследования.

Список   литература:

   1. Глейзер Г.И.  История математики в школе  IV- VI классы. – М.:                          Просвещение,  1982.

   2. Депман И.Я., Виленкин Н.Я.  За страницами учебника математики -  М.:  Просвещение, 1989.

  3.  Жуков А.В. Вездесущее число «Пи». -  М.: Едиториал УРСС, 2004.

  4. Кымпан Ф.   История числа «Пи».  -  М.: Наука, 1971.

  5. Свечников А.А. Путешествие в историю математики – М.: Педагогика – Пресс, 1995.

  6. Виленкин И. Я. и др. учебник Математика 6 класс, издательство «Просвещение», 2004

   Интернет ресурсы:

    - http:// crow.academy.ru/ materials_/pi/history.htm

    -  http://hab/kp.ru// daily/24123/344634/    

   -  http:// /ru.wikipedia.org/wiki/Pi

   -  http://arbuz.narod.ru/z_piclub.htm

    - http://encyclopedia.dekanat.ru 

Приложение

Практико-ориентированные задачи

№1

Диаметр долгоиграющей пластинки равен 50 см. Найдите длину окружности этой пластинки. Число    округлите до десятых.

№2

Колесо на расстоянии 380 м сделало 150 оборотов. Найдите диаметр колеса. Результат округлите до сотых метра (-3,14).

№3

Измерьте радиус и вычислите площадь каждого круга на рисунке

№4

Окружность арены цирка имеет длину 40,8 м. Найдите диаметр и площадь арены

№5

Радиус арены цирка равен 23,9 м (стандарт). Какое расстояние пробежит лошадь, сделав 5 кругов? ( Ответ:750, 46 м)

№6

Диаметр циферблата Кремлевских курантов 6,12 м, длина минутной стрелки 3,27 м. Найдите площадь циферблата. Какой путь проходит конец минутной стрелки курантов за час? Ответы округлите до сотых долей метра.

№7

Выполните измерения и вычислите площадь каждой заштрихованной фигуры на рисунке .

№8

Диаметр колеса тепловоза равен 180 см. За 2,5 мин колесо сделало 500 оборотов. С какой скоростью идет тепловоз?

№9

Длина экватора Луны примерно равна 10,9 тыс. км. Чему равен диаметр Луны? (Результат округлите до сотен километров.)

№10

Длину экватора Земли можно измерить - 39,878 тыс. км. А чему равен радиус земного   шара?

№11

Длина окружности 3,5 дм. Чему равна длина второй окружности, у которой диаметр составляет 5/7 диаметра первой окружности?

№12

Найдите площадь круга, у которого диаметр равен 12 см. Найдите площадь круга, у которого диаметр в 2 раза меньше диаметра первого круга.