Исследовательская работа "Различные способы решения квадратных уравнений"

Содержание

Введение…………………………………………………………………….     3

1.Квадратное уравнение……………………………………………………     5

2.История развития теории и практики решения квадратных уравнений.   6

3.Способы решения квадратных уравнений……………………………...     8

4.Тренировочные задания для отработки различных способов решения квадратных уравнений……………………………………………………..     21

Заключение………………………………………………………………….    25

Литература…………………………………………………………………..    26

Приложения…………………………………………………………………    27

Введение.

        Практически все, что окружает современного человека - это все так или иначе связано с математикой. А последние достижения в физике, технике и информационных технологиях не оставляют никакого сомнения, что и в будущем положение вещей останется прежним. Поэтому решение многих практических задач сводится к решению различных видов уравнений, которые достаточно часто сводятся к уравнениям второй степени (квадратным).

        На уроках алгебры, геометрии, физики мы очень часто встречаемся с решением  квадратных  уравнений.  Поэтому каждый ученик должен уметь верно и рационально решать  квадратные уравнения,  это также может пригодится при решении более сложных задач, в том числе и при сдаче экзаменов.

        Цель работы: выявитьспособы решения уравнения второй степени и рассмотреть применение данных способов решения квадратных уравнений на конкретных примерах.

        Задачи:

1)Проследить историю развития теории и практики решения квадратных уравнений.

2)Описать технологии различных существующих способов решения квадратных уравнений.

3)Показать применение данных способов при решении уравнений  

4)Подобрать тренировочные задания для отработки изученных приемов.

        Гипотеза: любое квадратное уравнение можно решить  всеми существующими способами.

Объект исследования: квадратные уравнения.

        Предмет исследования: способы решения уравнений второй степени.

        Уравнения - это наиболее объёмная тема всего курса математики.

        Данная работа является попыткой обобщить и систематизировать изученный материал по выше указанной теме.В него вошли как известные намиз школьного курса алгебры способы решения квадратных уравнений, так и дополнительный материал.

1.  Квадратные уравнения.

        Квадратным уравнением называют уравнение вида ах²+bх+с=0, где коэффициенты а, b, с - любые действительные числа, причём, а≠0. Коэффициенты а, b, с, различают по названиям: а - первый или старший коэффициент; b - второй или коэффициент при х; с - свободный член, свободен от переменной х.

        Квадратное уравнение также называют уравнением второй степени, так как его левая часть есть многочлен второй степени. Квадратное уравнение называют приведенным, если старший коэффициент равен 1; квадратное уравнение называют неприведенным, если старший коэффициент отличен от 1.  х²+рх+q=0 - стандартный вид приведенного квадратного уравнения

        Кроме приведенных и неприведенных квадратных уравнений различают также полные и неполные уравнения.

        Полное квадратное уравнение - это квадратное уравнение, в котором присутствуют все три слагаемых; иными словами, это уравнение, у которого коэффициенты b и с отличны от нуля.

        Неполное квадратное уравнение - это уравнение, в котором присутствуют не все три слагаемых; иными словами, это уравнение, у которого хотя бы один из коэффициентов b и с равен нулю.

        Обратите внимание: об ах² речи нет, этот член всегда присутствует в квадратном уравнении.

        Корнем квадратного уравнения ах²+вх+с=0 называют всякое значение переменной х, при котором квадратный трехчлен ах²+bх+с обращается в нуль; такое значение переменной х называют также корнем квадратного трехчлена.

        Можно сказать и так: корень квадратного уравнения ах²+bх+с=0 - это такое значение х, подстановка которого в уравнение обращает уравнение в верное числовое равенство.0=0.

        Решить квадратное уравнение - это значит найти все его корни или установить, что их нет.

2. История развития теории и практики решения квадратных уравнений

        Квадратные уравнения - это фундамент, на котором покоится величественное здание алгебры. Умение решать уравнения не только имеет теоретическое значение для познания естественных законов, но и служит практическим целям.  

        Важность умения решать квадратные уравнения в очередной раз доказывает то, что такие уравнения умели решать еще в древности. Но как это делалось, если в то время не существовала символическая алгебра?

        Необходимость решать уравнения не только первой, но и второй степени еще в древности была вызвана потребностью решать задачи, связанные с нахождением площадей земельных участков и с земляными работами военного характера, а также с развитием астрономии и самой математики.

        В те далекие времена, когда мудрецы впервые стали задумываться о равенствах содержащих неизвестные величины, наверное, еще не было ни монет, ни кошельков. Но зато были кучи, а также горшки, корзины, которые прекрасно подходили на роль тайников-хранилищ, вмещающих неизвестное количество предметов. "Ищется куча, которая вместе с двумя третями ее, половиной и одной седьмой составляет 37.", - поучал во II тысячелетии до новой эры египетский писец Ахмес.

        В древних математических задачах Междуречья, Индии, Китая, Греции неизвестные величины выражали число павлинов в саду, количество быков в стаде, совокупность вещей, учитываемых при разделе имущества. Хорошо обученные науке счета писцы, чиновники и посвященные в тайные знания жрецы довольно успешно справлялись с такими задачами.

        Дошедшие до нас источники свидетельствуют, что древние ученые владели какими-то общими приемами решения задач с неизвестными величинами. Однако ни в одном папирусе, ни в одной глиняной табличке не дано описания этих приемов. Авторы лишь изредка снабжали свои числовые выкладки скупыми комментариями типа: "Смотри!", "Делай так!", "Ты правильно нашел". В этом смысле исключением является "Арифметика" греческого математика Диофанта Александрийского (III в.) - собрание задач на составление уравнений с систематическим изложением их решений.

        Квадратные уравнения решали и в Индии. Древнеиндийский математик Баудхаяма. впервые использовал квадратные уравнения в форме ax2 = c и ax2 + bx = c и привел методы их решения.

        Уравнения второй степени умели решать еще в древнем Вавилоне. Математики Древней Греции решали квадратные уравнения геометрически; например, Евклид - при помощи деления отрезка в среднем и крайнем отношениях. Задачи, приводящие к квадратным уравнениям, рассматриваются во многих древних математических рукописях и трактах.

        Формулы решения квадратных уравнений в Европе были впервые изложены в 1202 г. в «Книге абака» итальянским математиком Леонардом Фибоначчи.  Вывод формулы решения квадратного уравнения в общем виде имеется у Виета. Итальянские математики Тарталья, Кардано, Бомбелли среди первых в XVI в. учитывают, помимо положительных и отрицательные корни. Лишь в XVII в. благодаря трудам Жирара, Декарта, Ньютона и других ученых способ решения квадратных уравнений принимает современный вид.

3. Различные способы решения квадратных уравнений.

Способ 1. Решение квадратных уравнений по формуле.

Корни уравненияах2 + bх + с = 0, а ≠ 0можно найти по формуле

, где выражение b2 - 4ac= Dназывается дискриминантом.

Таким образом:

1. В случае положительного дискриминанта, т.е. при b2 - 4ac>0,  уравнение  ах2 + bх + с = 0 имеет два различных корня.

2. Если дискриминант равен нулю, т.е. b2 - 4ac = 0, то уравнение имеет один корень x=.

3. Если дискриминант отрицателен, т.е. b2 - 4ac< 0,  квадратное уравнение ах2 + bх + с = 0 не имеет корней.

Даннаяформула корней квадратного уравнения ах2 + bх + с = 0 позволяет найти корни любого квадратного уравнения (если они есть),  в том числе приведенного и неполного.

Пример:,

а=3,  в=4,   с=-7,

,

,

,

,

.

Способ 2. Решение квадратных уравнений по формуле с четным коэффициентом.

        Если второй коэффициент  уравнения b = 2k– четное число, то формулу корней        можно записать в виде

        Приведенное уравнение       х2 + рх + q= 0 совпадает с уравнением общего вида, в котором   а = 1, b = р и с = q. Поэтому для приведенного квадратного уравнения формула корней принимает вид  

Формулу удобно использовать, когда р— четное число.

Пример:

,

,

,

,

,

,

.

Способ 3. Метод выделения полного квадрата.

,

,

,

,

,если,

,

Пример:,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

.

Способ 4.Решение уравнений с использованием теоремы Виета.

        Приведенным квадратным уравнениемназывается уравнение вида

, где старший коэффициент равен единице.

        Корни приведенного квадратного уравнения можно найти по следующей формуле:

.

         Чтобы квадратное уравнение ах2 + bх + с = 0, а ≠ 0 привести к приведенному виду, нужно все его члены разделить на a,и квадратное уравнение примет вид=0. Тогда

Если обозначитьи , то мы  получим уравнение вида. А формулы  примут вид

        Таким образом: сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.

        По коэффициентам  p и  q можно предсказать знаки корней.

     а) Если сводный член q приведенного уравнения) положителен (q> 0), то уравнение имеет  два одинаковых по знаку корня и это зависти от второго коэффициента:

-если р< 0, то оба корня  положительные;

-если р> 0, то оба корня отрицательные.

       б) Если свободный член q приведенного уравнения (1) отрицателен (q< 0), то уравнение имеет два различных по знаку корня, причем больший по модулю корень будет положителен, если p< 0 , или отрицателен, если p> 0.

Пример:,

,

,

.

Способ 5. Свойства коэффициентов квадратного уравнения.

        Пусть дано квадратное уравнение  ах2 + bх + с = 0, где а ≠ 0.

1. Если, а+ b + с = 0 (т.е. сумма коэффициентов равна нулю),

то х1= 1, х2 = с/а.

2. Еслиa – b + c=0, то х2 =-1, х2 = -с/а  

Данный метод удобно применять к квадратным уравнениям с большими коэффициентами.

Пример:,

а+ b + с = 0,

,

,

.

Способ 6.Способ переброски старшего коэффициента.

Рассмотрим квадратное уравнение

ах2 + bх + с = 0, где а ≠ 0.

        Умножая обе его части на а, получаем уравнение а2х2 + аbх + ас = 0.

Пусть ах = у, откуда х = у/а; тогда приходим к уравнению у2 + by + ас = 0,

равносильно данному.

        Его корни у1и у2 найдем с помощью теоремы Виета и окончательно:

х1 = у1/а  и  х1 = у2/а.

        При этом способе коэффициента умножается на свободный член, как бы «перебрасывается» к нему, поэтому его называют способом «переброски». Этот способ применяют, когда можно легко найти корни уравнения, используя теорему Виета и, что самое важное, когда дискриминант есть точный квадрат.

Пример:.

 «Перебросим» коэффициент 3 к свободному члену, в результате получим уравнение

у2+4у -21 = 0.

Согласно теореме Виета

 у1=-7 ,                х1 = -7/3 ,          x1 = -7/3

 у2 = 3;                 x2 = 3/3;           x2 = 1.

Способ 7. Разложение на множители способом группировки.

        При решении квадратных уравнений часто применяется метод разложения на множители (с помощью вынесения за скобки общего множителя, формул сокращенного умножения или способа группировки).

Пример:,

,

,

,

Способ 8. Приведение к виду (f(x))2=(g(x))2.

Путем преобразований уравнение приводится к виду (kx)2=(mx±n)2.

Пример: ,  | :7

,

,

,

,

,

,

|5x|=|2x-7|,

1)5x=2x-7,                        2)5x=7-2x,

5x-2x=-7,                            5x+2x=7,

3x=-7,                                 7x=7,

x=,                                    x=1.

Способ 9. Уменьшение степени уравнения (использование теоремы Безу).        Данный способ широко применяется при решении алгебраических уравнений высших степеней.

Теорема Безу. При делении многочлена n-й степени относительно x на двучлен x-a остаток равен значению делимого при x=a.

Следствие из теоремы Безу. Если  уравнение   а0хn + a1xn-1+ … + an-1x+an = 0,

 где все коэффициенты  целые, имеет целые корни, то это делители свободного члена.

Пример:,

,

,

,

,

,

.

Способ 10.Графический способ.

        Используя  знания о квадратичной и линейной функциях и их графиках, можно решить квадратное уравнение так называемым функционально-графическим методом. Причем некоторые квадратные уравнения можно решить различными способами, рассмотрим эти способы на примере одного квадратного уравнения.

         1способ.,

.

 Построим графики  функции y=x2 и y =

в одной системе координат.

        Абсциссы  точек пересечения этих двух графиков являются корнями данного уравнения.

        2 способ.  ,

,

         Построим графики  функции y=x2-  и  y =

в одной системе координат.

        Абсциссы  точек пересечения этих двух графиков являются корнями данного уравнения.

.

3 способ. ,

.

         Построим графики  функции y=3x+4 и  y =

в одной системе координат.

        Абсциссы  точек пересечения этих двух графиков являются корнями данного уравнения.

.

Способ 11.Решение при помощи циркуля и линейки.            Предлагаю следующий способ нахождения корней квадратного    уравнения    ах2 + bх + с = 0 с помощью циркуля и линейки.

       Допустим, что искомая окружность пересекает ось

абсцисс в точках В(х1; 0 ) и D (х2; 0), где х1 и х2 - корни уравнения   ах2  + bх + с = 0,  и  проходит  через  точки

А(0; 1) и С(0; c/a) на  оси  ординат.  Тогда по теореме о секущих  имеем OB • OD = OA • OC, откуда OC = OB • OD/ OA= х1х2/ 1 = c/a.

Центр окружности находится в точке пересечения перпендикуляров SF и SK, восстановленных в серединах хорд AC и BD, поэтому

Итак:

1) построим точки         (центр окружности) и A(0; 1);

2) проведем окружность с радиусом SA;

3) абсциссы точек пересечения этой окружности с осьюОх являются корнями исходного квадратного уравнения.

  При этом возможны три случая.

1) Радиус окружности больше ординаты центра (AS>SK, или  R>a + c/2a),  окружность пересекает ось Ох в двух точках (рис. а) В(х1; 0) и D(х2; 0), где х1 и х2 - корни квадратного уравнения  ах2  + bх + с = 0.

2) Радиус окружности равен ординате центра  (AS = SB, или R = a + c/2a), окружность касается оси Ох (рис.б) в точке В(х1; 0), где х1 - корень квадратного уравнения.

3) Радиус окружности меньше ординаты центра                                      

окружность не имеет общих точек с осью абсцисс (рис в), в этом случае уравнение не имеет решения.

Пример:.

        Определим координаты  точки центра окружности по формулам:

,

.

Проведем окружность радиуса SA, где А (0; 1).

.

Способ 12. Решение с помощью номограммы.

      Это старый и в настоящее время забытый способ решения квадратных уравнений, помещенный  на с.83 сборника: Брадис В.М. Четырехзначные математические таблицы. - М., Просвещение, 1990.

      Таблица XXII. Номограмма для решения уравнения z2 + pz + q = 0. Эта номограмма позволяет, не решая квадратного уравнения, поегокоэффициен-

там определить корни уравнения.

     Криволинейная шкала номограммы построена

по формулам (рис.10):

     Полагая ОС = р, ED = q, ОЕ = а (все в см.), из

подобия   треугольников  САН  и  CDF получим

пропорцию

откуда после подстановок и упрощений вытекает уравнение  z2 + pz + q = 0,

причем буква   z   означает метку любой точки криволинейной шкалы.

Пример:.

Разделим  коэффициенты  этого уравнения на 3.

,

.

Способ 13. Геометрический способ.

           В древности, когда геометрия была более развита, чем алгебра, квадратные уравнения решали не алгебраически, а геометрически.

Пример:,

, .

        Рассмотрим квадрат со стороной х, на его сторонах строятся прямоугольники  так,  что  другая  сторона   каждого   из   них    равна  , следовательно,  площадь каждого равна х. Полученная фигура дополняется до нового квадрата ABCD, достраивая в  углах четыре равных квадрата, сторона каждого из них , а площадь .

      Площадь  S  квадрата  ABCD  можно  представить  как сумму  площадей: первоначального  квадрата   х2,  четырех  прямоугольников (4• х = х ) и четырех пристроенных квадратов (• 4 = ), т.е. S = х2 + х + . Заменяя

х2 + х числом, получим, что S =  , откуда следует, что сторона квадрата ABCD, т.е. отрезок АВ = . Для искомой стороны х первоначального квадрата получим

.

Но учитывая, что в древности не знали отрицательных чисел, второй корень уравнения не находится. Я, используя теорему Виета, могу вычислить второй корень

=.

4. Тренировочные задания для отработки различных способов решения квадратных уравнений

1. Решение квадратных уравнений по формуле.

;

;

;

;

.

2. Решение квадратных уравнений по формуле с четным коэффициентом.

;

;

;

;

.

3. Метод выделения полного квадрата.

;

;

;

;

.

4. Решение уравнений с использованием теоремы Виета.

;

;

;

;

.

5. Свойства коэффициентов квадратного уравнения.

;

;

;

;

.

6. Способ переброски старшего коэффициента.

;

;

;

;

.

7. Разложение на множители способом группировки.

;

;

;

;

.

8. Приведение к виду (f(x))2=(g(x))2.

;

;

;

;

.

9. Уменьшение степени уравнения (использование теоремы Безу).

;

8;

;

;

.

10. Графический способ.

;

;

;

;

.

11.  Решение при помощи циркуля и линейки.

;

;

;

;

.

12. Решение с помощью номограммы.

 ;

;

;

;

.

13. Геометрический способ.

;

;

;

.

Заключение

        Человечество прошло длительный путь от незнания к знанию, непрерывно заменяя на этом пути неполное и несовершенное знание все более полным и совершенным.

        В ходе выполнения своей исследовательской работы я считаю, что с поставленной целью и задачами я справилась, мне удалось обобщить и систематизировать изученный материал по выше указанной теме.

        Способов решения квадратных уравнений очень много. Я  нашла 13 способов решения квадратных уравнений. Нужно отметить, что не все они удобны для решения, но каждый из них уникален. Некоторые способы решения помогают сэкономить время, что немаловажно при решении заданий на ОГЭ и ЕГЭ. Для того чтобы усвоить все методы решения уравнений, нужно прорешать несколько уравнений изучаемым способом. А для этого нужны задания, поэтому в данной работе, я составила несколько групп тренировочных заданий для каждого из способов решения квадратных уравнений.

        Подводя итоги, можно сделать вывод: квадратные уравнения играют огромную роль в математике. Эти знания могут пригодиться нам на протяжении всей жизни, а так как эти методы решения квадратных уравнений просты в применении, то они, безусловно, должны заинтересовать увлекающихся математикой школьников.

Литература

1)Мордкович А.Г. М 79 Алгебра. 8 класс: В двух частях. Ч.1: Учебник для общеобразовательных учреждений. - 4-е издание - М.: Мнемозина, 2002. - 223 с.:

2)Гусев В.А., Мордкович А.Г. Математика: Справочные материалы: Книга для учащихся. - М.: Просвещение, 1988

3)Глейзер Г.И. История математики в школе. - М.: просвещение, 1982

4)Брадис В.М. Четырехзначные математические таблицы для средней школы. - м., просвещение, 1990

5)Окунев А.К. Квадратичные функции, уравнения и неравенства. Пособие для учителя. - М.: Просвещение, 1972

6)Пресман А.А. Решение квадратного уравнения с помощью циркуля и линейки.М., Квант, №4/72. С.34.

7)Дидактические материалы по алгебре. М., Математика (приложение к газете "Первое сентября"), №№ 21/96, 10/97.

Приложения.

Приложение 1. Результаты опроса 9-х классов.