проектно-исследовательская работа "Решение квадратных уравнений"

Слайд 1

Слайд 2

Исследовательская работа по теме: Способы решения квадратных уравнений Выполнили: обучающиеся 8-А класса МБОУ «Ивановская средняя общеобразовательная школа» Руководитель: Давыдова Лариса Викторовна учитель математики.

Слайд 3

Впервые мы услышали о квадратных уравнениях на уроке математики от учителя. Особенно нас заинтересовали способы их решения , причем наиболее рациональные . Во-первых , очень удивило сочетание слов « квадратное », « уравнение ». Во-вторых , чем знамениты эти уравнения . В- третьих , почему их решением так долго занимались великие ученые. В-четвертых , способы решения квадратных уравнений и их практическая значимость . Эти вопросы нас очень заинтриговали, и мы решили проследить историю возникновения и решения данной проблемы . Введение

Слайд 4

1. Показать , что в математике , как и во всякой другой науке, достаточно своих неразгаданных тайн . 2. Подчеркнуть , что математиков отличает нестандартное мышление . А иногда смекалка и интуиция хорошего математика просто приводят в восхищение! 3. Показать , что сама попытка решения квадратных уравнений содействовала развитию новых понятий и идей в математике . 4. Научиться работать с различными источниками информации. 5. Продолжить исследовательскую работу по математике Цели и задачи проекта .

Слайд 5

Этапы исследования История возникновения квадратных уравнений. Определение квадратного уравнения и его виды. Решение квадратных уравнений, используя формулу дискриминанта . Франсуа Виет и его теорема. Свойства коэффициентов для быстрого нахождения корней квадратного уравнения. Практическая направленность.

Слайд 6

1 этап. История возникновения квадратных уравнений. ОКАЗЫВАЕТСЯ : Задачи на квадратные уравнения встречались уже в 499 г. В Древней Индии были распространены публичные соревнования в решении трудных задач – ОЛИМПИАДЫ .

Слайд 7

История возникновения квадратных уравнений. Вот одна из задач знаменитого индийского математика XII в. Бхаскары : Обезьянок резвых стая Всласть поевши , развлекалась . Их в квадрате часть восьмая На поляне забавлялась. А 12 по лианам… Стали прыгать, повисая. Сколько было обезьянок, Ты скажи мне, в этой стае ?

Слайд 8

Штифель (1486 – 1567) в 1544 году сформировал общее правило решения квадратных уравнений, приведённых к единому каноническому виду x 2 + bx = c при всевозможных комбинациях знаков и коэффициентов b и c . Франсуа Виет (1540 – 1603) вывел формулы решения квадратного уравнения в общем виде, однако он признавал только положительные числа. Итальянские учёные Тарталья, Кардано , Бомбелли среди первых в XVI веке учитывают, помимо положительных, и отрицательные корни . В XVII веке благодаря трудам Жиррара , Декарта, Ньютона и других учёных, способ решения квадратных уравнений принимает современный вид.

Слайд 9

Квадратные уравнения - ? произвольное квадратное уравнение - ? п риведенное квадратное уравнение - ? п олное - ? н еполное - ? Формула корней квадратного уравнения D = ? Х = ?

Слайд 10

Квадратным уравнением называется уравнение вида a х 2 + b x + c = 0 где х – переменная, a , b и c – некоторые числа, причём а ≠ 0. a x 2 + b x + c = 0 Первый коэффициент Второй коэффициент Свободный член

Слайд 11

Классификация . Квадратные уравнения. неполное полное а х 2 + b х + с = 0, а≠0 приведённое x 2 + p x + q = 0 b = 0; a x 2 + c = 0 c = 0; a x 2 + b x = 0 b = 0; c = 0; a x 2 = 0

Слайд 12

Решение полного квадратного уравнения. D = b 2 – 4 ∙ а ∙ с D > 0 D = 0 D < 0 Уравнение имеет два действительных корня. Уравнение имеет два равных действительных корня . Уравнение не имеет корней. х 1 = ( - b - √ D ) / 2а ; х 2 = ( - b + √ D ) /2а х 1,2 = - b / 2а a x 2 + b x + c = 0 - « ДИСКРИМИНАНТ» - РАЗЛИЧИТЕЛЬ

Слайд 13

2 этап. Провели исследование приведенных квадратных уравнений, решив эти уравнения № Уравнение Корни уравнения Сумма корней Произведение корней 1. х 2 + х –12 = 0 2. х 2 - 12х – 45 = 0 3. у 2 + 8у +15 = 0 4 . у 2 - 5у +6 = 0 5. z 2 -10z +21 = 0 6. z 2 - 3z -10 = 0 3 и –4 15 и -3 - 3 и –5 3 и 7 2 и 3 5 и -2 -1 12 -45 -8 15 5 6 10 21 3 -10 -12 Нашли связь между коэффициентами а , b , с , суммой и произведением корней квадратного уравнения. В ывод :

Слайд 14

Теорема Виета. Если корни х 1 и х 2 приведённого квадратного уравнения х 2 + p x + q = 0 , то х 1 + х 2 = - p , а х 1 · х 2 = q . Обратное утверждение: Если числа m и n таковы, что m + n = - p , m∙n = q , то эти числа являются корнями уравнения х 2 + p x + q = 0 . Обобщённая теорема: Числа х 1 и х 2 являются корнями приведённого квадратного уравнения х 2 + p x + q = 0 тогда и только тогда, когда х 1 + х 2 = - p , х 1 · х 2 = q . Следствие : х 2 + p x + q = ( х – х 1 )( х – х 2 )

Слайд 15

1540- -1603 Франсуа Виет Французский математик, ввел систему алгебраических символов, разработал основы элементарной алгебры . Он был одним из первых, кто числа стал обозначать буквами, что существенно развило теорию уравнений. Виета часто называют « отцом алгебры»

Слайд 16

Ситуации, в которых может использоваться теорема Виета . Проверка правильности найденных корней. Определение знаков корней квадратного уравнения . Устное нахождение целых корней приведённого квадратного уравнения. Составление квадратных уравнений с заданными корнями. Разложение квадратного трёхчлена на множители.

Слайд 17

Представляем задания из материалов государственной итоговой аттестации, которые легко решаются, зная теорему Виета: Верно ли, что числа 15 и 7 являются корнями уравнения x 2 – 22x + 105 = 0 ? Определите знаки корней уравнения x 2 + 5 x – 36 = 0 . 3.Найдите устно корни уравнения x 2 – 9 x + 20 = 0 . 4.Составьте квадратное уравнение, корнями которого являются числа 1/3 и 0,3. 5. Разложите квадратный трёхчлен x 2 + 2x – 48 на множители.

Слайд 18

Мы решали квадратные уравнения различными способами: выделением квадрата двучлена, по формуле корней, с помощью теоремы Виета, и каждый раз убеждались в том, что уравнение можно решить легче и быстрее. Оказывается , есть ещё другие способы решения квадратных уравнений, которые позволят устно и быстро находить корни квадратного уравнения.

Слайд 19

3 этап. Провели исследование квадратных уравнений. № Уравнение Корни уравнения а+ b+c a- b+c 1. х 2 + 17х – 18 = 0 1 и -18 0 -35 2. 2х 2 – х – 3 = 0 -1 и 3 -2 0 3. х 2 – 39х – 40 = 0 -1 и 40 -78 0 4 . 14х 2 – 17х +3 = 0 1 и 3 0 34 5. 100х 2 - 97х -197=0 -1 и 197 -194 0 Нашли связь между коэффициентами а , b , с и корнями квадратного уравнения. В ывод :

Слайд 20

Если в уравнении ах 2 + b х +с = 0, а + b + с = 0, то один из его корней равен 1 , а другой, в соответствии с теоремой Виета, равен с/а . Пример: х 2 + х – 2 = 0 ; а = 1 , в = 1 , с = -2 1 + 1 – 2 = 0 ; х 1 = 1 , х 2 = -2 Если в уравнении ах 2 + b х + с = 0, а – b + с = 0 или b= a+c , то один из его корней равен –1 , а другой –с/а Пример : х 2 – х – 2 = 0, 1 – (- 1 ) + ( -2 ) = 0, х 1 = -1, х 2 = 2 Свойство 1. Свойство 2.

Слайд 21

4 этап. Провели исследование квадратных уравнений. № Уравнение Корни уравнения а=с b=a 2 +1 b= -(a 2 +1) 1. 7 х 2 + 50х +7 = 0 -7 и -1 /7 7 50 2. 2х 2 –5 х +2 = 0 2 и 1/2 2 -5 3. 4х 2 – 17х + 4 = 0 4 и 1/4 4 -17 4 . 14х 2 – 197х +14=0 14 и 1/14 14 -197 5. 6х 2 + 37х +6=0 -6 и -1/6 6 37 Нашли связь между коэффициентами а , b , с и корнями квадратного уравнения. В ывод :

Слайд 22

Если a = c, b = a 2 + 1, то x 1 = - a , а x 2 = -1/a . Если a = c, b = -(a 2 + 1), то x 1 = a , а x 2 = 1/a . Пример. 3х 2 +10х+3=0, а=3, b =10, с=3. Так как а=с=3, b =3 2 +1=10, то х 1 =-3, х 2 =1/3 Пример. 3х 2 - 10х+3=0, а=3, b =-10,с=3. Так как а=с=3, b =-(3 2 +1)=-10, то х 1 =3, х 2 =1/3 Свойство 3. Свойство 4.

Слайд 23

ах² + вх + с = 0 у² + ву + с = 0 ах = у, х = Приём "переброски"

Слайд 24

Вывод: 1. Проводя исследование, выяснили, что кроме традиционных методов решения квадратного уравнения , которые мы узнали на уроках алгебры, существуют еще не менее интересные, а главные полезные свойства, практически устного решения квадратного уравнения. 2. И сследовательскую работу по математике планируем продолжать и далее. 3. Результаты своего исследования мы представили в виде карточки-памятки по решению квадратного уравнения.

Слайд 25

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ А.П.Ершова, В.В.Голобородько , А.С.Ершова «Самостоятельные и контрольные работы по алгебре и геометрии для 8 класса», «ИЛЕКСА»,Москва,2003 . М.Б.Миндюк , Н.Г.Миндюк « Разноуровневые дидактические материалы по алгебре, 8 класс», «ГЕНЖЕР»,Москва,2002. Л.В.Кузнецова, Л.О.Дедищева «Алгебра 7-9 .Тематические зачеты» Г.И.Ковалева «Уроки математики в 8 классе»,издательство «БРАТЬЯ ГРИНИНЫ»,Волгоград, 2001 .