Задачи на проценты

Районная научно- практическая  конференция «Шаг в будущее»

Муниципальное бюджетное образовательное учреждение средняя общеобразовательная школа села Могилёвка муниципального района имени Лазо Хабаровского края

Название работы:

«Задачи на проценты»

Руководитель работы: Куприянова Елена Николаевна,
учитель математики МБОУ СОШ с.Могилёвка

                                      Исполнители: Шалманов Максим

                                                   п.Переяславка

2014г.

Содержание

1.Введение…………………………………………………………………..2

2.Из истории процентов……………………………………………………4

3. Основные типы решения задач на проценты…………………………..5

3.1. Нахождение процента от числа……………………………………….5

3.2. Нахождение числа по его проценту…………………………………..6

3.3. Выражение в процентном отношении двух чисел…………………..7

3.4.Выражение в  процентном изменении величины…………………….8

3.5.Изменение величины числа на р (в процентах)……………………..10

3.6.Последовательное изменение величины числа в процентах……….11

3.7. Решение задач по формуле сложных процентов…………………...12

4.Заключение………………………………………………………………14

5. Список используемой литературы…………………………………..   15

1.ВВЕДЕНИЕ

Современная жизнь делает задачи на проценты актуальными, так как сфера практического приложения процентных расчетов расширяется. Вопросы инфляции, повышение цен, рост стоимости акций, снижение покупательской способности касаются каждого человека в нашем обществе. Планирование семейного бюджета, выгодного вложения денег в банки, невозможны без умения производить несложные процентные вычисления.

Сами проценты не дают экономического развития, но их знание помогает в развитии практических способностей, а также умение решать экономические задачи. Обдуманное изучение процентов может способствовать развитию таких навыков как экономичность, расчетливость.

Анализ результатов ЕГЭ с момента его существования говорит о том, что решаемость задания, содержащего текстовую задачу на проценты, составляет около 30%.

В вариантах ЕГЭ  встречаются задачи на проценты, и эти задачи часто вызывают затруднения у школьников.  Поэтому, изучение наиболее часто встречающихся типов задач на проценты, считаю актуальным.

Объектом исследования является изучение различных типов задач по теме «Проценты».

Изучая эту тему, я считаю, что многие задачи  предлагают решать с использованием специальных формул, которых в школьных учебниках нет. Я решил их найти в различной литературе или в сети ИНТЕРНЕТ.

Предмет исследования: решение задач на проценты с преимущественным использованием основных правил действия с десятичными и обыкновенными дробями, решение пропорций.

Цель работы. Расширение знаний о применении процентных вычислений в задачах и из разных сфер жизни человека.

Задачи исследования:

1) Изучить исторический и теоретический материал по интересующему вопросу.

2) Систематизировать задачи на проценты по типам.

3) Составить практические рекомендации по решению задач на проценты.

4) Выявить практическое применение таких задач.

Практическая значимость работы. Данная работа по решению  задач на проценты будет полезна выпускникам  школ при подготовке к ЕГЭ и ГИА.

2.ИЗ ИСТОРИИ ПРОЦЕНТОВ

Слово процент от латинского слова pro centum, что буквально означает «за сотню» или «со ста». Идея выражения частей целого постоянно в одних и тех же долях, вызванная практическими соображениями, родилась еще в древности у вавилонян. Ряд задач клинописных табличек посвящен исчислению процентов, однако вавилонские ростовщики считали не «со ста», а «с шестидесяти».

Ныне процент – это частный вид десятичных дробей, сотая доля целого (принимаемого за единицу). Знак % происходит, как полагают, от итальянского слова cento (сто), которое в процентных расчетах часто писалось сокращенно cto. Отсюда путем дальнейшего упрощения в скорописи буква t превратилась в наклонную черту (/), возник современный символ для обозначения процента. В школьном учебнике  дана еще одна любопытная версия возникновения знака %. Там, в частности, говорится, что этот знак произошел в результате нелепой опечатки, совершенной наборщиком. В 1685 г. в Париже была опубликована книга-руководство по коммерческой арифметике, где по ошибке наборщик вместо cto напечатал %.

 В Европе в средние века расширилась торговля и, следовательно, особое внимание обращалось на умение вычислять проценты. Тогда приходилось рассчитывать не только проценты, но и проценты с процентов (сложные проценты). Часто конторы и предприятия для облегчения расчетов разрабатывали особые таблицы вычисления процентов. Эти таблицы держались в тайне, составляли коммерческий секрет фирмы. Впервые таблицы были опубликованы в 1584 году Симоном Стевином.

Проценты были особенно распространены в Древнем Риме. Римляне называли процентами деньги, которые платил должник заимодавцу за каждую сотню. От римлян проценты перешли к другим народам Европы. Долгое время под процентами понимались исключительно прибыль или убыток на каждые сто рублей. Они применялись только в торговых и денежных сделках. Затем область их применения расширилась, проценты встречаются в хозяйственных и финансовых расчетах, статистике, науке и технике.

3.ОСНОВНЫЕ ТИПЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ НА ПРОЦЕНТЫ
3.1. НАХОЖДЕНИЕ ПРОЦЕНТА ОТ ЧИСЛА

1способ. Чтобы найти часть (%) от целого, надо число умножить на часть (проценты, переведенные в десятичную дробь).

 2 способ. ( с помощью пропорции). Найти число А, которое составляет р% от числа N.

Решение.

N это 100%

А это р%

                А=

Формулы.

1%=0,01

1% от числа N это 0,01N

ПРИМЕР: В классе 32 ученика. Во время контрольной работы отсутствовало 12,5% учащихся. Найди, сколько учеников отсутствовало?

РЕШЕНИЕ 1: Целое в этой задаче – общее количество учащихся (32).
12,5% = 0,125
32 · 0,125 = 4
РЕШЕНИЕ 2: Пусть х учеников отсутствовали, что составляет 12,5%. Если 32 ученика – общее количество учеников (100%), то
32 ученика – 100%
х учеников – 12,5%
х =12,5*32:100=4
ОТВЕТ: В классе отсутствовало 4 ученика.

3.2. НАХОЖДЕНИЕ ЦЕЛОГО ПО ЕГО ПРОЦЕНТУ

1 способ. Чтобы найти целое по его части (%-м), надо число разделить на часть (проценты, переведенные в десятичную дробь).

2 способ ( с помощью пропорции). Найти всё число N, если известно, что р% составляет А.

N это 100%

А это р%

                N=

ПРИМЕР: Коля истратил в парке аттракционов 120 руб., что составило75% всех его карманных денег. Сколько было карманных денег у Коли до прихода в парк аттракционов?

РЕШЕНИЕ 1: В этой задаче надо найти целое, если известна данная часть и значение этой части.
75% = 0,75
120 : 0,75 = 160 рублей
РЕШЕНИЕ 2: Пусть х руб. было у Коли, что составляет целое, т.е 100%. Если он потратил 120 руб., что составило 75%, то
120 руб.– 75 %
х руб.– 100 %
х =120*100:75=160
ОТВЕТ:У Коли было 160 рублей.

3.3. ВЫРАЖЕНИЕ В ПРОЦЕНТНОМ  ОТНОШЕНИИ ДВУХ ЧИСЕЛ
ТИПОВОЙ ВОПРОС:
СКОЛЬКО % СОСТАВЛЯЕТ ОДНА ВЕЛИЧИНА ОТ ДРУГОЙ?

1 способ. Нужно одну величину разделить на другую и умножить на 100%.

2 способ. (С помощью пропорции). Найти, сколько процентов одно число

(А) составляет от другого (N), это значит найти процентное соотношение чисел.

Решение.

N это 100%

А это р%

                р%=

ПРИМЕР: Ширина прямоугольника 20м, а длина 32м. Сколько % составляет ширина от длины? (Длина является основой для сравнения)

РЕШЕНИЕ 1: 20: 32*100%=62,5%
РЕШЕНИЕ 2: В этой задаче длина прямоугольника 32м составляет 100%, тогда ширина 20м составляет х%. Составим и решим пропорцию:
20 метров – х %
32 метра – 100 %
х =20*100:32=62,5%
ОТВЕТ: Ширина составляет от длины 62,5%.
Обратите внимание на то, как меняется решение в зависимости от изменения вопроса.
ПРИМЕР: Ширина прямоугольника 20м, а длина 32м. Сколько % составляет длина от ширины? (Ширина является основой для сравнения)
РЕШЕНИЕ 1: 32:20*100%=160%
РЕШЕНИЕ 2: В этой задаче ширина прямоугольника 20м составляет 100%, тогда длина 32м составляет х%. Составим и решим пропорцию:
20 метров – 100 %
32 метра – х %
х =32*100:20=160%
ОТВЕТ: Длина составляет от ширины 160%.

3.4. ВЫРАЖЕНИЕ В ПРОЦЕНТНОМ  ИЗМЕНЕНИИ ВЕЛИЧИНЫ
ТИПОВОЙ ВОПРОС:

НА СКОЛЬКО % ИЗМЕНИЛАСЬ (УВЕЛИЧИЛАСЬ, УМЕНЬШИЛАСЬ) ПЕРВОНАЧАЛЬНАЯ ВЕЛИЧИНА?

Чтобы найти изменение величины в % необходимо:
1) найти на сколько изменилась величина (без %)
2) разделить полученную величину из п.1) на величину, являющуюся основой для сравнения
3) перевести результат в % (выполнив умножение на 100%)
ПРИМЕР: Цена платья снизилась с 1250 руб. до 1000 руб. Найти на сколько процентов снизилась цена платья?
РЕШЕНИЕ 1:
1) 1250 –1000= 250 (руб.) на столько изменилась цена
2) Основа для сравнения здесь 1250 руб. (т.е. то, что было изначально)
3)250:1250*100%=20%
одним действием: (1250 –1000):1250*100%=20%

РЕШЕНИЕ 2: 

В этой задаче первоначальная цена 1250 руб. - 100%, тогда изменение цены 250 руб. составляет  х%. Составим и решим пропорцию:
1250 руб. – 100 %
250 руб.– х %
х =250*100:1250=20%
ОТВЕТ: Цена платья уменьшилась на 20%.
Обратите внимание на то, как меняется решение в зависимости от изменения вопроса.
ПРИМЕР: Цена платья повысилась с 1000 руб. до 1250 руб.  Найти на сколько процентов повысилась цена платья?
РЕШЕНИЕ 1:
1) 1250 –1000= 250 (руб) на столько изменилась цена
2) Основа для сравнения здесь 1000 руб. (т.е. то, что было изначально)
3)250:1000*100%=25%
Решение задачи одним действием:
(1250 –1000):1000*100%=25%
РЕШЕНИЕ 2:
1250 –1000= 250 (руб.) на столько изменилась цена.

В этой задаче первоначальная цена 1000 руб. - 100%, тогда изменение цены 250 руб. составляет х%. Составим и решим пропорцию:
1000 руб. – 100 %
250 руб.– х %
х =250*100:1000=25%
ОТВЕТ: Цена платья увеличилась на 25%.

3.5.  ИЗМЕНЕНИЕ ВЕЛИЧИНЫ (ЧИСЛА) НА  р%

Чтобы увеличить положительное число а на р процентов, следует умножить число а на коэффициент увеличения к = (1 + 0,01р).

Чтобы уменьшить положительное число а на р процентов, следует умножить число а на коэффициент уменьшения к = (1 - 0,01р).

Задача 1.Товар стоил тысячу рублей. Продавец поднял цену на 10%, а через месяц снизил её на 10%.Сколько стал стоить товар?

Решение. Пусть товар стоил 1000руб., после повышения цены на 10% он стал стоить 1,1*1000 руб. После понижения этой цены на 10%, он стал стоить 0,9*1,1*1000=990 руб.

Ответ. 990 руб.

Задача 2 (изЕГЭ2013)

Брюки дороже рубашки на 30% и дешевле пиджака на 22%. на сколько процентов рубашка дешевле пиджака?

Решение: Итак, пусть рубашка стоит Х, тогда брюки 1,3*Х (100%+30%=130%)
Пусть пиджак стоит У, тогда брюки стоят 0,78*У (на 22% дешевле, 100%-22%=78%)
Уравнение:   1,3⋅x=0,78⋅y   Пропорция:     x/y=0,78:1,3       x/y=0,6=60%  

Это означает, что стоимость рубашки составляет 60% от стоимости пиджака, т.е. она на 100%-60%=40% его дешевле. ОТВЕТ: 40%

3.6. Последовательное изменение величины числа

ПРИМЕР: Число уменьшили на 15%, а затем увеличили на 20%. Найти на сколько процентов изменилось число?
Самая распространенная ошибка: число увеличилось на 5 %.
РЕШЕНИЕ 1:
1) Хотя исходное число не дано, для простоты решения можно принять его за 100 (т.е. одно целое или 1)
2) Если число уменьшилось на 15%, то полученное число составит 85%, или от 100 это было бы 85.
3) Теперь полученный результат надо увеличить на 20%, т.е
85 – 100%, а новое число

х – 120% (т.к. увеличилось на 20%)
х = 85*120:100=102
4)Таким образом,  в результате изменений число 100 (первоначальное) изменилось и стало 102, а это означает, что первоначальное число увеличилось на 2%

РЕШЕНИЕ 2:
1) Пусть исходное число Х
2) Если число уменьшилось на 15%, то полученное число составит 85% от Х, т.е. 0,85Х.
3) Теперь полученное число надо увеличить на 20%, т.е
0,85Х – 100%, а новое число

? – 120% (т.к. увеличилось на 20%)
? =120*0,85Х:100=1,02Х
4) Таким образом, в результате изменений число Х (первоначальное), является основой для сравнения, а число 1,02Х (полученное), тогда первоначальное  число увеличилось на 2%

3.7.Решение задач по формуле сложных процентов

Сложным процентом называется сумма дохода, которая образуется в результате инвестирования денег при условии, что сумма начисленного простого процента не выплачивается в конце каждого периода, а присоединяется к сумме основного вклада и в следующем платежном периоде сама приносит доход. Сложные проценты - это проценты, полученные на начисленные проценты.

Формула сложного процента

1. х(1+ 0,01а)n

периодическое увеличение  некоторой величины на одно и то же число процентов

2. х(1- 0,01а)n

периодическое уменьшение некоторой величины на одно и то же число процентов.

где х - начальный вклад, сумма.

а - процент(ы) годовых

n- время размещения вклада в банке

Задача 1:

Вкладчик открыл счет в банке, внеся 2000 рублей на вклад, годовой доход по которому составляет 12%, и решил в течение шести лет не брать процентные начисления. Какая сумма будет лежать на счете через шесть лет?

Решим эту задачу по формуле сложных процентов:

первоначальный вклад – 2000,

процент годовых – 12%

n - 6 лет, значит

2000(1 + 0,12)6 = 2000*1,126 6= 2000*1,973823 = 3947,65руб

ОТВЕТ: через 6 лет на счете будет лежать сумма в виде 3947 руб. и 65 коп..

Задача 2

После двух последовательных снижений цен на одно и то же число процентов стоимость товара с 400 рублей снизилась до 324 рублей. На сколько процентов стоимость товара снижалась каждый раз?

Решение:

400*(1-0,01а)2=324

20(1 - 0,01а) = 18

1 - 0,01а = 0,9

а = 10

ОТВЕТ: стоимость товара каждый раз снижалась на 1

4. Заключение

Прикладное значение этой темы очень велико и затрагивает финансовую, экономическую, демографическую и другие сферы нашей жизни. Изучение процента продиктовано самой жизнью. Умение выполнять процентные вычисления и расчеты необходимо каждому человеку, так как с процентами мы сталкиваемся в повседневной жизни.

Я  получил полноценные представления о процентах, об их роли в повседневной жизни. Работа над данной темой  способствовала расширению моего математического кругозора, развитию умения анализировать, сравнивать, глубоко и прочно усвоив материал.

 Мне хочется порекомендовать ученикам  способы решения задач на проценты, формулу сложных процентов и применять её при решении  задач на проценты.

5. Список используемой литературы

1.Крамор В.С. «Повторяем и систематизируем школьный курс алгебры и начала  анализа».  

2.Ф.Ф. Нагибин «Математическая шкатулка» .

3. Л.О.Денищева «Готовимся  к ЕГЭ».

4. А.Л. Семёнова, И.В. Ященко «Типовые тестовые задания ЕГЭ-2013»