Предвидение будущего с помощью временных рядов

Всероссийский конкурс исследовательских работ учащихся

«ШАГИ В НАУКУ»

Направление: математика

Тема: «Предвидение будущего с помощью временных рядов»

Жичкин Александр

ГБОУ СОШ №2 п.г.т. Усть-Кинельский, г. Кинель

7 «В» класс

Научный руководитель:

Логинова Нина Андреевна

учитель математики

г. Обнинск, 2014/2015 учебный год

Оглавление

Введение

Любой человек, вне зависимости от желания, подсознательно или сознательно прогнозирует последствия своих действий. Во все времена человечество старалось предвидеть события, которые могут произойти в будущем, чтобы быть готовым к их возможным последствиям, определить свое рациональное поведение с целью уберечь себя от негативных последствий и с максимальной возможной эффективностью использовать в своих интересах положительные последствия будущих событий с целью изменить на сколько это возможно предвидимое будущее к лучшему.

Прогноз носит вероятностный характер, но так как он строится на аргументированных научных представлениях о развитии объекта, то он носит и достаточно достоверный характер.

Прогнозированием занимаются государственные подразделения различного уровня силами своих научно-исследовательских институтов, комитетов и комиссий, специализированные коммерческие фирмы, частные, промышленные, банковские, страховые и торговые корпорации.

За последние двадцать лет проблемы прогнозирования обсуждались более чем на 80 международных конференциях и симпозиумах, и по этим проблемам было опубликовано свыше десяти тысяч работ. По данным английских исследователей, охватывающим главным образом развитые страны, регулярное прогнозирование ведется 165 организациями, и в них занято свыше двух тысяч специалистов.

Среди методов прогнозирования особое место занимает анализ временных рядов. Актуальность метода (особенно в краткосрочной перспективе) объясняется возможностью получения детальной информации о будущем состоянии объекта прогнозирования.

Временной ряд – это последовательность упорядоченных во времени числовых показателей, характеризующих уровень состояния и изменения изучаемого явления. В зарубежной англоязычной литературе принят термин time series, в немецкой – zeitreihen analyze. Оба термина ближе всего переводятся по-русски как временные ряды или анализ временных рядов.

Особенность временных рядов состоит в том, что абсолютный уровень каждого члена ряда является одновременно результатом прошлого развития и исходной предпосылкой для развития в будущем. Исследование рядов дает возможность выявлять закономерности в изменении признаков, устанавливать взаимосвязь между минувшим и настоящим, предвидеть элементы будущего.

Основной целью исследования является изучение возможности использования временных рядов в целях получения детальной картины будущего.

Объект исследования – методы анализа временных рядов и методик их использования при составлении прогноза. Предмет исследования – предвидение будущего на примере численности населения Самарской области.

Задачи исследования:

- изучить учебную и научную литературу, отечественных и зарубежных авторов, посвященную анализу временных рядов;

- повторить, расширить и систематизировать имеющиеся знания по вопросам числовых рядов в алгебре;

- рассмотреть наиболее распространенные методы прогнозирования на основе временных рядов;

- составить прогноз численности населения Самарской области на основе методов анализа числовых рядов.

Для решения поставленных задач использовались следующие методы научного познания: исторический, сравнительный, монографический, экономико-статистические. В работе использовались научные приемы: логический, системно-структурный, обобщение, теоретическое моделирование, анализ и синтез.

Гипотеза: методы анализа временных рядов можно использовать для получения детальной картины будущего.

Теоретическая значимость работы заключается в сборе, систематизации и обобщении информации по методике использования временных рядов в прогнозировании.

Практическая значимость заключается в приобретении навыков изучения литературных источников, анализа данных полученных в ходе исследований, применении методов анализа временных рядов, в т.ч. с использованием вычислительной техники.

1. Первоначальные сведения о числовых рядах

1.1 Данные и ряды данных

1.2 Упорядоченные ряды данных. Таблицы распределения

1.3 Составление таблиц распределения без упорядочивания данных

1.4 Частота результата. Таблицы распределения частот

1.5 Процентные частоты. Таблицы распределения частот в процентах

1.6 Группировка данных

Научно обоснованное распределение на группы дает возможность сделать правильные выводы об изучаемой совокупности и происходящих в ней процессах.

Группировка требует всестороннего анализа изучаемых явлений. Решающее значение в группировке имеет правильный выбор группировочных признаков в соответствии с задачами исследования. В основу группировки должны быть положены самые существенные, самые важные для изучаемого вопроса признаки, которые позволят выявить типы явлений.

Процесс образования однородных групп на основе разделения совокупности на части или объединение изучаемых единиц в совокупности по определенным для них признакам называют группировкой. Важнейшим методом обобщения данных являются группировки.

Три основных типа задач, решаемых с помощью метода группировки:

1) выделение типов явлений;

2) изучение структуры явления и структурных сдвигов, происходящих в явлении;

3) выявление взаимосвязей и взаимозависимостей между явлениями и признаками, характеризующими эти явления.

Различают следующие виды группировок:

1) типологические;

2) структурные;

3) аналитические.

Качественно однородные группы совокупностей, т. е. объекты, которые по своим группировочным признакам близки друг к другу, называют типологической группировкой.

Основное внимание в типологической группировке должно уделяться идентификации типов и выбору группировочного признака. Для построения типологической группировки необходимо воспользоваться количественными и качественными (атрибутивными) признаками.

Группировка по атрибутивному признаку предполагает, что число выделенных групп соответствует фактическому числу градаций этого признака. По количественному признаку необходимо правильно установить интервал группировки, определить необходимое число групп. Проблема определения интервалов типологической группировки решается на основании выделения таких количественных границ изменения группировочного признака, при которых явление изменяет или приобретает новое качество.

В типологической группировке от числа существующих типов зависит число групп. От состава, структуры однородных групп и изучения вариации признаков внутри однотипной совокупности и однотипных групп на основе построения структурной группировки зависят типы явлений. Разделение однородной совокупности на определенные группы, которые в дальнейшем будут характеризовать структуру по определенному группировочному признаку, называют структурной группировкой. Здесь также рассматриваются количественные и атрибутивные признаки.

По атрибутивному признаку группы отличаются друг от друга по характеру признака. Количественный признак также предполагает определение числа групп и ширины интервала.

Основная задача группировок – исследование связей и зависимостей между признаками единиц совокупности, которая решается с помощью построения аналитических группировок. Аналитическая группировка – это группировка, выявляющая взаимосвязи и взаимозависимости между изучаемыми явлениями и признаками, их характеризующими.

Все признаки в науке можно подразделять на факторные и результативные. Признаки, которые оказывают большое влияние на изменение результативных признаков, называют факторными. Признаки, изменяющиеся под влиянием факторных признаков, называют результативными.

Важная задача при построении аналитической группировки – выбор числа групп, на которые необходимо разбить изучаемую совокупность единиц наблюдения, и определение их границ.

Требования, которые необходимо соблюдать в процессе построения аналитических группировок, это: каждая изучаемая группа должна содержать однородные единицы совокупности по группировочному признаку, и количество единиц в каждой изучаемой группе должно быть достаточным для того, чтобы получить характеристики изучаемого объекта.

Простой называется группировка, если группа образована только по одному признаку. Если разбить группу на подгруппу в соответствии с определенными признаками, то такую группировку называют комбинированной.

Комбинационной считается группировка, когда разбивка совокупности на группы производится по двум и более группировочным признакам, взятым в сочетании (комбинации) друг с другом. Комбинационные группировки позволяют изучать единицы совокупности одновременно по нескольким признакам.

При изучении сложных явлений и процессов применяются комбинационные группировки. Для того чтобы построить комбинационную группировку, необходимо выявить наличие достаточно большого числа наблюдений.

Для того чтобы найти скопление (в мерном пространстве) объектов (точек), необходимо применить многомерную группировку. Различают группировки по используемой информации:

1) первичные – производятся на основе исходных данных, которые были получены в результате статистического наблюдения;

2) вторичные – это результат соединения или расчленения группировки.

1.7 Нечисловые ряды данных

2 Временные ряды и прогнозирование

2.1 Понятие временного ряда

В исследовании закономерностей важное место принадлежит временным, или динамическим, рядам, представляющим собой совокупность числовых данных, характеризующих изменение некоторого показателя во времени.

Элементы временного ряда отражают состояние объекта за определенные промежутки времени или фиксируют явление в строго установленные моменты. На основании этого различают интервальные и моментные ряды.

Примером интервального ряда может служить совокупность показателей, характеризующих выпуск однородной продукции за несколько лет. Типичным моментным рядом является множество числовых значений, отражающих стоимость остатков готовых изделий на складе предприятия по состоянию на конец каждого дня.

По расстоянию между датами или интервалами времени выделяют полные и неполные временные ряды. О полных рядах говорят, когда даты регистрации или окончания периодов следуют друг за другом с равными интервалами, о неполных – когда принцип равных интервалов не соблюдается.

Для составления достоверных прогнозов на основании анализа временных рядов необходимо учитывать следующие особенности: во-первых, данные, подлежащие изучению, должны быть однородны по содержанию и учитывать существо изучаемого явления.

Статистические данные, представленные в виде временных рядов, должны быть сопоставимы по территории, кругу охватываемых объектов, единицам измерения, моменту регистрации, методике расчета, достоверности.

Несопоставимость по территории возникает в результате изменения границ стран, регионов, хозяйств и т.д. Для приведения данных к сопоставимому виду производиться пересчет прежних данных с учетом новых границ.

Полнота охвата различных частей явления – важнейшее условие сопоставимости уровней ряда. Требование одинаковой полноты охвата разных частей изучаемого объекта означает, что уровни ряда за отдельные периоды должны характеризовать размер того или иного явления по одному и тому же кругу входящих в его состав частей.

При определении сравниваемых уровней ряда необходимо использовать единую методику расчета. Особенно это важно при международных сопоставлениях.

Трудности при сравнении данных по моменту регистрации возникают из-за сезонных явлений. Различие репрезентативности выборки несет в себе существенные погрешности в величины уровней ряда.

Нанесение эмпирических данных на координатное поле – исходный этап разработки прогноза. Графическое изображение динамического ряда позволяет оценить тенденцию изменения исследуемого показателя во времени, выделить узловые пункты в развитии явления, дать ответ на вопрос об объеме базовой информации, необходимой для расчетов. Если исходные данные за первоначально выбранный промежуток времени образуют закономерность, удовлетворительную с точки зрения ее экономической интерпретации, то длина предпрогнозного периода может считаться приемлемой для выполнения последующих вычислений. Если же динамика изменения признака не согласуется с положениями теории, то следует попытаться изменить объем исходной информации путем увеличения или сокращения числа элементов во временном ряду. Характер кривой при этом может перетерпеть определенные изменения.

Иногда вместо показателей с годовым исчислением признака рекомендуется использовать более мелкие единицы измерения времени: квартал, месяц, декаду и т.д. Подобный подход позволяет решить две задачи: увеличить количество членов в динамическом ряду, а также обеспечить условия для исследования внутригодичной колеблемости признака. Если исходная кривая имеет более сложную форму, то для более наглядного выявления тенденции изменения показателя во времени могут применяться различные методы.

2.2 Методы анализа временных рядов

Метод скользящей средней является наиболее простым способом сглаживания эмпирических кривых. Суть этого метода состоит в замене фактических значений показателя их усредненными величинами, имеющими значительно меньшую вариацию, чем исходные уровни ряда.

В зависимости от периода усреднения различают скользящие средние, рассчитанные для нечетного и четного числа интервалов времени.

Варианты расчета скользящих средних отличаются друг от друга следующими особенностями: чем значительнее период усреднения, тем более плавный характер приобретает линия скользящей средней; по мере увеличения интервала сглаживания количество элементов в ряду скользящих средних сокращается (на два уровня при трехчленном сглаживании, на четыре – при четырех и пятичленном); значения скользящих средних, рассчитанных по разным методикам, не совпадают.

Считается, что чем короче исходный ряд, тем меньший период усреднения нужно использовать для расчета скользящих средних. При этом потеря уровней ряда и связанное с ней искажение эмпирической кривой будут минимально возможными. Для сглаживания рядов с большим числом элементов могут применяться скользящие средние, рассчитанные за четыре, пять, шесть, семь и более лет.

Метод наименьших квадратов. Предпосылкой для использования метода наименьших квадратов является наличие корреляционной связи между признаками. Корреляционную связь следует отличать от функциональной.

Функциональная связь – это такая связь, при которой каждому значению независимой переменной соответствует строго определенная величина зависимой переменной. В ней отражается все множество причинно-следственных отношений, существующих между рассматриваемыми признаками.

Корреляционная связь является неполной статистической связью. При корреляционном взаимодействии на показатель-функцию оказывают влияние не только факторы-аргументы, отобранные в процессе исследования, но и множество прочих признаков, неподдающихся изучению в силу несовершенства статистического учета, трудности вычисления и т.п. При корреляционной связи каждому значению независимой переменной могут соответствовать несколько значений функции.

Во временных рядах роль независимой переменной выполняет показатель времени t. Значения этого показателя чередуются в строго определенной последовательности, исключающей возможность появления нетипичных величин. Неслучайный характер изменения независимой переменной (t) позволяет использовать для определения констант функции  математический аппарат регрессионного анализа.

Важнейшей составной частью регрессионного анализа является метод наименьших квадратов. Он позволяет подобрать параметры прогнозирующей функции с таким расчетом, чтобы суммарные отклонения фактических значений временного ряда (yt) от вычисленных по уравнению  были бы минимально возможными. Однако непосредственное использование отклонений при нахождении параметров функции представляется нецелесообразным, поскольку отрезки между исходными и расчетными уровнями временного ряда могут принимать как положительные так и отрицательные знаки, а их сумма нередко равняется нулю для целого семейства линий , в том числе и для линий, не отражающих наблюдаемую динамику.

2.3 Обоснование вида и расчет параметров аналитических функций

Методы скользящих средних и конечных разностей существенно упрощают задачу выявления закономерности изменения показателя во времени, однако не решают ее в полном объеме. Эти методы позволяют более наглядно представить динамику показателя, но полученные с их помощью предварительные оценки нельзя рассматривать как безусловные доказательства возможности использования тенденции, сформированной в прошлом и настоящем, для предвидения будущего.

Научно обоснованный прогноз требует проведения углубленного качественного анализа причин изменения признака, исследования внутренней логики развития объекта, определения характера взаимодействия явления с внешними факторами. Без детального изучения сущности процесса нельзя быть убежденным в том, что закономерности прошлых периодов сохранят свою направленность в предстоящие годы.

При подборе пригодной для прогнозирования функции  основными являются общие соображения о характере возможного развития событий в будущем. Особое значение в этой связи приобретает вопрос об установлении важнейших отличительных признаков потенциального роста показателя. Этот рост может быть равномерным, ускоренным, замедленным. Он может стремиться к предельным (абсолютным или относительным) рубежам, характеризоваться наличием точек перегиба и т.п.

В настоящее время в прогностической деятельности наиболее широко используются следующие функции: линейная, параболическая, степенная, экспоненциальная, простая модифицированная экспоненциальная, гиперболическая, логистическая и др.

При обосновании выбора аналитического выражения, пригодного для разработки прогноза, необходимо стремиться к определенному соответствию между сущностью изучаемого процесса и специфическими свойствами функции, призванной воспроизвести закономерность изменения признака во времени. С этой точки зрения необходимо установить, имеет ли функция  предел насыщения, точку перегиба, экстремальное значение, является ли искомая зависимость возрастающей или убывающей.

Под пределом насыщения понимается некоторая величина, к которой приближается значение функции по мере увеличения параметра t. Уровень насыщения характеризует абсолютный предел в развитии исследуемого объекта.

Наличие пределов насыщения заметно усложняет разработку прогнозов, особенно в тех случаях, когда объектом изучения является интенсивно развивающиеся процессы с коротким предпрогнозным периодом. Ограниченная длина временного ряда не позволяет сформулировать достаточно надежную гипотезу о возможных изменениях характера кривой в перспективе, поскольку трудно установить в какой момент на смену ускоренному росту может прийти более умеренное развитие с затухающим темпом возрастания функции.

Для отображения тенденций с непостоянным темпом изменения признака часто используются логистические кривые. Их отличительной особенностью является наличие точки перегиба, после которой ускоренный темп изменения функции сначала замедляется, а затем уменьшается до нулевого значения.

Некоторые функции могут принимать экстремальные, т.е. минимальные или максимальные значения по сравнению с близлежащими точками кривой.

Наиболее широкое применение в практике прогнозирования нашли возрастающие функции. Возрастающей (убывающей) считается зависимость, у которой увеличение аргумента сопровождается ростом (уменьшением) .

К числу возрастающих функций могут быть отнесены линейная, экспоненциальная, степенная, простая модифицированная экспоненциальная, логистическая, гиперболическая и др. Убывающими являются линейная (b<0), гиперболическая (b>0) и некоторые другие зависимости. К функциям с пределом насыщения относятся простая модифицированная экспоненциальная, логистическая, гиперболическая. Точку перегиба из числа перечисленных функций имеет только логистическая зависимость. Экстремальное значение может принимать параболическая и некоторые другие функции.

Выбор аналитической зависимости , пригодной для прогнозирования, осуществляют, исходя из общеэкономических соображений о характере изменения признака, а также степени соответствия графика функции  базовой кривой.

Если по итогам экономического анализа не удалось отдать предпочтение какой-либо одной аналитической функции, то последующие расчеты могут выполняться для нескольких конкурирующих зависимостей, имеющих сходные графики изменения переменной.

3 Результаты исследования

Исследование предвидения будущего с помощью методов анализа временных рядов рассмотрим на примере демографических прогнозов населения Самарской области.

Прогнозирование демографических процессов объективно необходимо и возможно. Их важность обусловлена тем обстоятельством, что изменения численности определяет возможное расширение рынка труда, объем и структуру потребительского спроса, экономический и социальный прогресс общества. Четкое представление о численности населения в среднесрочной и долгосрочной перспективах позволяет заблаговременно сориентировать развитие таких отраслей социальной инфраструктуры как здравоохранение, жилищно-коммунальное хозяйство, образование, свести к минимуму остроту социальных проблем.

Изменение численности определяет демографическую ситуацию, под которой понимают особенности воспроизводства населения на той или иной территории на разных этапах ее развития.

Различают три основных демографических ситуаций: 1. Экстенсивное воспроизводство. II. Интенсивное воспроизводство. III. Суженное воспроизводство или негативная демографическая ситуация.

Для первого типа воспроизводства населения, свойственного, как правило, слаборазвитым в экономическом отношении странам, характерны: а) высокий уровень рождаемости, б) высокий уровень показателя абсолютного воспроизводства населения, в) относительно высокий уровень прироста населения, г) высокий уровень смертности, д) низкий уровень миграции.

Второй тип воспроизводства населения присущ всем высокоразвитым странам. Его характерными чертами являются: а) относительное снижение уровня рождаемости, б) относительно низкий уровень показателя абсолютного воспроизводства населения, в) резкое снижение смертности, г) явно выраженный процесс постарения общества, д) высокий уровень миграции.

Третий тип воспроизводства населения присущ, как правило, странам находящимся в экстремальных условиях. Он находит свое выражение в: а) резком сокращении рождаемости, б) сокращении значений показателя абсолютного воспроизводства населения, в) относительно высоком уровне смертности, г) постепенном сокращении (депопуляции) численности населения, д) хаотическом характере миграционных потоков.

В качестве базы исследования были использованы данные Территориального органа Федеральной службы государственной статистики по Самарской области о численности населения за период с 1990 по 2013 гг. и основных демографических показателях на 1000 человек населения (рождаемость, смертность, миграционный прирост, число браков и разводов) с 2002 по 2012 гг. (табл. 1, 2).

Таблица 1

Численность населения Самарской области на начало года, тыс.чел.

Таблица 2

Основные демографические показатели на 1000 человек населения

Составление прогноза осуществлялось при помощи пакета «Анализ данных» программного продукта Microsoft Excel 2003.

Метод скользящего среднего позволяет составить точный краткосрочный прогноз численности населения Самарской области. В ближайшие годы предполагаемая динамика прироста населения будет отрицательной. По результатам полученного прогноза численность населения в 2014-2015 гг. сократиться соответственно на 356 и 74 чел. (рис. 1).

Рис. 1. Графический прогноз (метод скользящего среднего)

При помощи метода наименьших квадратов была получена математическая зависимость в виде у=9689,012-3,21561t. В построенной модели степень корреляционной связи слабая – только 44% полученного результата объясняется временным фактором. Предполагаемая динамика так же будет отрицательной, сокращение составит 526 и 3215 человек в 2014 и 2015 гг.

В качестве альтернативы была рассмотрена прогнозная модель, основанная на уравнении регрессии, учитывающая зависимость численности населения от количества родившихся, умерших, миграционного потока, браков и разводов, в расчете на 1000 человек. Полученная модель имеет вид:

y=3281,367-7,87515x1+2,135652x2-2,95437x3-2,04775x4+4,506822x5

Для перечисленных переменных были построены частные функции линейного вида (табл. 3).

Таблица 3

Прогнозные функции

С помощью математических функций были рассчитаны значения переменных, используемых для вычисления прогноза на 2014 и 2015 гг. Результаты представлены в таблице 4.

Таблица 4

Прогнозные значения переменных на 2014-2015 гг.

Альтернативный вариант расчета показал самое значительное снижение численности Самарской области в 2014 и 2015 гг. – на 7385 и 2875 чел.

При оценке прогноза необходимо учитывать, что он основывается на тенденциях, сформированных в предшествующие периоды и не учитывает возможные отклонения от них.

Заключение

Познание закономерностей изменений во времени – сложная и трудоемкая процедура исследования, так как любое изучаемое явление формирует множество факторов, действующих в разных направлениях.

Изучив отечественную и зарубежную литературу можно с уверенностью сказать, что анализ временных рядов широко используется при кратко- и среднесрочном прогнозировании, обеспечивая исследователей качественной информацией.

Прогнозирование с помощью методов анализа временных рядов носит ярко выраженный вероятностный характер, и зависит от информации за предшествующие периоды, о чем свидетельствуют полученные результаты, отличающиеся по своей величине.

Однако, детальная количественная информация, получаемая таким образом, с точки зрения предвидения имеет большую ценность, чем данные качественного характера, обеспечиваемые другими методами. Это делает анализ временных рядов ценной методикой с точки зрения прогнозирования.

Список использованной литературы

1. Афанасьев, В.Н. Анализ временных рядов и прогнозирование / В.Н. Афанасьев, М.М. Юзбашев. – М.: Финансы и статистика, 2010. – 320 с.
2. Ефремова, Е.А. Анализ и прогнозирование на основе коротких временных рядов / Е.А. Ефремова, В.А. Прядкина. – sibac.info/16550.
3. Парсаданов, Г.А. Прогнозирование национальной экономики / Г.А. Парсаданов, В.В. Егоров. – М.: Высшая школа, 2002. – 304 с.
4. Чессман, Т. Осваиваем прогнозирование временных рядов / Т. Чессман. – www.osp.ru/win2000/2013/10/13037710.
5. samarastat.gks.ru/wps/wcm/connect/rosstat_ts/samarastat/ru/reporting/statistical_reports/ /current_information/

Приложение 1

Прогнозная функция количества родившихся в Самарской области

Прогнозная функция количества умерших в Самарской области

Продолжение прил.1

Прогнозная функция миграционного потока в Самарской области

Прогнозная функция количества заключенных браков в Самарской области

Окончание прил. 1

Прогнозная функция количества оформленных разводов в Самарской области