Исследовательская работа по математике "Методы решения квадратных уравнений"

Муниципальное бюджетное образовательное учреждение Шахунская средняя общеобразовательная школа №1 им. Д. Комарова

Секция математики

Исследовательская работа на тему

«Методы решения квадратных уравнений»

Работу выполнила

 ученица 9а класса

Кропотова Анастасия

учитель Ветюгова Н.М..

Шахунья

 2013г

“Мне приходится делить своё время между политикой и уравнениями. Однако уравнения, по-моему, гораздо важнее, потому что политика существует только для данного момента, а уравнения будут существовать всегда”.

                                                                                                                                                                                  М.А. Эйнштейн

План

1. Цели и задачи исследовательской работы.
2.  История развития решения квадратных уравнений

         2.1   Зарождение алгебры 

2.2  Как составлял и решал Диофант квадратные уравнения

        2.3    Квадратные уравнения в Индии

3.Различные методы решения квадратных уравнений.

        3.1 Решение квадратного уравнения через дискриминант

        3.2 Решение квадратного уравнения  по формулам теоремы Виета

 3.3 Метод разложения на множители.

        3.4 Метод выделения полного квадрата

        3.5 Решение квадратных уравнений по формуле, зависящей от коэффициента в

        3.6.Метод переброски

        3.7 Свойства коэффициентов квадратного уравнения

        3.8  Метод введения новой переменной

       3.9  Графический метод.

       3.10  Геометрический способ решения квадратного уравнения

       3.11 Решение квадратного уравнения с помощью циркуля и линейки

4. Заключение

5. Список  литературы

Цели и задачи исследовательской работы

      Эту тему я выбрала, потому что, была очень  удивлена, что привычные и знакомые с 7 класса квадратные уравнения можно решить не только привычным способом через применение формул для вычисления дискриминанта и корней квадратного уравнения, но другими способами с привлечением всего математического аппарата.  Оказывается,  существуют другие формулы и методы решения, применение которых позволяет более рационально и быстро решать данные уравнения.

Цели работы:

• Знакомство с новыми  методами решения квадратных уравнений

• Углубление знаний по теме «Квадратные уравнения»
• Развитие математических, интеллектуальных способностей, навыков исследовательской работы
• Создание условий для самореализации личности

    Своей задачей я ставлю нахождение и изучение различных способов решения квадратного уравнения.

Историческая справка

Зарождение алгебры

Первые упоминания о способах решения уравнений, которые мы сейчас называем квадратными, относятся ко второму тысячелетию до н.э. Это эпоха расцвета Вавилонии и Древнего Египта.

Первое тысячелетие н.э. – Римские завоевательные войны. К этому периоду относится творчество Диофанта. Его трактат “Арифметика” содержит ряд задач, решаемых при помощи квадратных уравнений. В IX веке узбекский математик Аль-Хорезми в Трактате “Алгебра” классифицирует квадратные уравнения. Для нас это время знаковое тем, что приблизительно в это время образуется древнерусское государство Киевская Русь.

Все это время отличные по записи уравнения считались различными. Не было единого подхода к их решению.

И только в XVI веке французский юрист, тайный советник короля Франции и математик Франсуа Виет впервые вводит в обращение буквенные обозначения не только для неизвестных величин, но и для данных, то есть коэффициентов уравнения. Тем самым заложил основы буквенной алгебры.

       Необходимость решать уравнения не только первой, но и второй степени еще в древности была вызвана потребностью решать задачи, связанные с нахождением площадей земельных участков и с земляными работами военного характера, а также с развитием астрономии и самой математики. Квадратные уравнения умели решать около 2000 лет до н. э. вавилоняне. Применяя современную алгебраическую запись,  можно сказать, что в их клинописных текстах встречаются, кроме неполных, и такие, например, полные квадратные уравнения:

Правило решения этих уравнений, изложенное в вавилонских текстах, совпадает по существу с современным, однако неизвестно, каким образом дошли вавилоняне до этого правила. Почти все найденные до сих пор клинописные тексты приводят только задачи с решениями, изложенными в виде рецептов, без указаний относительно того, каким образом они были найдены.

Несмотря на высокий уровень развития алгебры в Вавилоне, в клинописных текстах отсутствуют понятие отрицательного числа и общие методы решения квадратных уравнений.

 Как составлял и решал Диофант квадратные уравнения

В “Арифметике” Диофанта нет систематического изложения алгебры, однако в ней содержится систематизированный ряд задач, сопровождаемых объяснениями и решаемых при помощи составления уравнений разных степеней.

При составлении уравнений Диофант для упрощения решения умело выбирает неизвестные.

Вот, к примеру, одна из его задач.

 “Найти два числа, зная, что их сумма равна 20, а произведение — 96”.

Диофант рассуждает следующим образом: из условия задачи вытекает, что искомые числа не равны, так как если бы они были равны, то их произведение равнялось бы не 96, а 100. Таким образом, одно из них будет больше половины их суммы, т. е. 10 + х, другое же меньше, т. е. 10 — х. Разность между ними 2х. Отсюда уравнение

или же

Отсюда х = 2. Одно из искомых чисел равно 12, другое 8. Решение х = —2 для Диофанта не существует, так как греческая математика знала только положительные числа.

Если мы решим эту задачу, выбирая в качестве неизвестного одно из искомых чисел, то мы придем к решению уравнения

Ясно, что, выбирая в качестве неизвестного полу разность искомых чисел, Диофант упрощает решение; ему удается свести задачу к решению неполного квадратного уравнения (1).

Квадратные уравнения в Индии.

Задачи на уравнения встречаются уже в астрономическом трактате “Ариабхаттаим”, составленном в 449 г. индийским математиком и астрономом Арибхаттой. Но это уже раннее средневековье.

В Алгебраическом трактате ал-Хорезми даётся классификация линейных и квадратных уравнений.

Индий учёные знали решения неопределённых уравнений в целых числах (в том числе и в отрицательных, чего сам Диофант избегал).                                              

     Греческий математик Герон (I или II век нашего летоисчисления) вывел формулу для решения квадратного равнения ax2 + bx = c умножением всех членов на а и  прибавлением к обеим половинам уравнения  :

В Индии пришли к более простому способу вывода, который встречается в школьных учебниках: они умножали на 4a и к обеим половинам по b2. Это даёт:

     Индийские математики часто давали задачи в стихах.

Задача о лотосе.

Над озером тихим, с полмеры над водой,

Был виден лотоса цвет.

Он рос одиноко, и ветер волной

Нагнул его в сторону – и уж нет

Цветка над водой.

Нашёл его глаз рыбака

В двух мерах от места, где рос.

Сколько озера здесь вода глубока?

Тебе предложу я вопрос.

                                                    Ответ:

Кстати, в одном из древних рукописных сборников задач в стихах жизнь Диофанта описывается в виде следующей алгебраической загадки, представляющей надгробную надпись на его могиле:

 Прах Диофанта гробница покоит; дивись ей — и камень

 Мудрым искусством его скажет усопшего век.

 Волей богов шестую часть жизни он прожил ребенком.

 И половину шестой встретил с пушком на щеках.

 Только минула седьмая, с подругою он обручился.

 С нею пять лет проведя, сына дождался мудрец;

 Только полжизни отцовской возлюбленный сын его прожил.

 Отнят он был у отца ранней могилой своей.

 Дважды два года родитель оплакивал тяжкое горе,

 Тут и увидел предел жизни печальной своей.

Задача-загадка сводится к составлению и решению уравнения:

 откуда х = 84 = вот  сколько лет жил Диофант

Различные способы решения квадратных уравнений

1. Решение квадратного уравнения через дискриминант. Я не буду подробно останавливаться на этом способе, т.к. он является классическим способом и всем хорошо известен.
2. Решение квадратного уравнения  по формулам теоремы Виета.

 Решим уравнение  х2 +10х-24=0.

Так как   х1 *х2 =-24

                х1 +х2 = -10,  то   24= 2*12,  но  -10=-12+2,  значит

                х1 =-12  х2 =2

Ответ: х1=2,  х2 =-12.

3. Метод разложения на множители.

Привести квадратное уравнение общего вида к виду А(х)·В(х)=0,

где А(х) и В(х) – многочлены относительно х.

х2  + 10х - 24=0.                                                      

 Разложим на множители  левую часть: х2  + 10х - 24= х2  + 12х -2х - 24=

х(х + 12) - 2(х + 12)= (х + 12)(х - 2).

   (х + 12)(х - 2)=0

   х + 12=0 или  х - 2=0

            х= -12           х= 2

   Ответ: х1= -12, х2 = 2.

4. Метод выделения полного квадрата.

Решим уравнение  х2 + 6х - 7=0

   х2 + 6х - 7=х2 + 2х3 + 32 - 32 - 7=(х-3)2 - 9- 7= (х-3)2 - 16    

    (х-3)2 -16=0

    (х-3)2 =16

    х-3=4 или х-3=-4

    х=1            х=-7

    Ответ: х1=1, х2 =-7.

5. Решение квадратных уравнений по формуле 

Если b - нечетное, то D= b2- 4ac   и  х 1,2=                   , (если  D>0)  

Если b- -четное, то D1=                    и х1,2=                      , (если  D>0)

  Метод переброски

В некоторых случаях удобно решать сначала не данное уравнение ax2 + bx + c = 0, а приведенное y2+by+ac=0, которое получается из данного “переброской” коэффициента а, а затем разделить найденные корни на а для нахождения корней исходного уравнения.

Пример: решите уравнение

2х2-9х-5=0

заменим приведенным квадратным уравнением с “переброской” коэффициента а

( D>0 ), по теореме, обратной теореме Виета, подбором найдем корни

вернемся к корням исходного уравнения

Ответ: 5; -0,5

Замечание: метод хорош для квадратных уравнений с “удобными” коэффициентами. В некоторых случаях позволяет решить квадратное уравнение устно.

7.Свойства коэффициентов квадратного уравнения

• Если в квадратном уравнении a+b+c=0, то один из корней равен 1, а второй по теореме Виета равен

Пример: решите уравнение

157х2+20х-177=0

a = 157, b = 20, c = -177

a + b+ c =157+20-177=0

x1 = 1,

x2 = =

Ответ: 1;

• Если в квадратном уравнении a+c=b, то один из корней равен -1, а второй по теореме Виета равен

Пример: решите уравнение

203х2+220х+17=0

a = 203, b = 220, c = 17

a + c = 203 + 17 = 220 = b

х1 = -1,

Ответ: -1;

Вывод: при решении квадратного уравнения стандартного вида полезно сначала проверить являются ли числа 1 и -1 корнями уравнения.

8. Метод введения новой переменной

Умение удачно ввести новую переменную – важный элемент математической культуры. Удачный выбор новой переменной делает структуру уравнения более прозрачной.

Пример: решите уравнение

Пусть: t = 5х + 3

Произведем замену переменной

(Устно проверим условие D > 0) по теореме, обратной теореме Виета

t1 = 1, t2 = 2

Произведем обратную замену и вернемся к переменной х

Если t = 1, то

Если t = 2, то

Ответ: -0,4; -0,2

Вывод: при решении уравнения не следует торопиться выполнять преобразования. Посмотрите, нельзя ли записать уравнение проще, введя новую переменную.

И, наконец, наиболее “зрелищный” метод.

9. Графический метод.

Для решения уравнения f(x) = g(x) необходимо построить графики функций y = f(x),

y = g(x) и найти точки их пересечения; абсциссы точек пересечения и будут корнями уравнения.

Вспомним применение этого метода при решении квадратного уравнения:

Построим график функции

Графиком является парабола, “ветви” которой направлены вверх (0;0) – вершина параболы график симметричен относительно оси ординат

Построим график функции y = x + 2

Линейная функция. Графиком является прямая.

 Точки пересечения: А(-1;1) и В(2;4)                               Ответ: -1;2

Применяя графический метод в данном случае, мы нашли точное значение корней, но так бывает не всегда. Однако, графический метод часто применяют не для нахождения корней уравнения, а для определения их количества.

10.  Геометрический

способ решения квадратного уравнения

• Решим уравнение У2 - 6у - 16=0    

Представим в виде  У2- 6у = 16. На рис.

«изображено» выражение У2- 6у , т.е.

из площади квадрата со стороной у

дважды вычитается площадь квадрата со стороной 3. Значит У2 –6у+9 есть

площадь квадрата со стороной у-3. Выполнив замену  У2- 6у = 16, получим

(у-3)2 =16+9

у-3=5 или у-3=-5

у1 =8       у2 =-2                                Ответ: у1 =8 ,  у2 =-2

 11. Решение квадратного уравнения с помощью циркуля и линейки

         Решим уравнение aх2 +bх+c=0:

 Построим точки S(-b:2a,(a+c):2a)- центр окружности и точку А(0,1)

 Провести окружность радиуса SA

       Абсциссы точек пересечения  с осью Ох есть корни исходного уравнения

Например, решим уравнение х2 -2х-3=0

Определим координаты точки S: х0=1, у0=-1

Ответ: х=-1,у=3

 Заключение 

Посмотрите на многообразие методов решения. Как, когда, сразу ли появилось такое многообразие? Как много вопросов…

Безусловно, человечество “додумалось” до всего не сразу и в одночасье. Для этого потребовались долгие годы и даже столетия. Но как бы хотелось самой внести какой – либо вклад в развитие прекрасной науки - математики.

Список  литературы:

1.  "История математики в древности” Э. Кольман.
2. “Решение уравнений в целых числах” Гельфонд.
3. “В мире уравнений” В.А.Никифоровский.
4. “История математики в школе” Г.И.Глейзер.
5. “Рассказы о старой и новой алгебре” И.Депман.
6. “Пифагор: рассказы о математике” Чистаков.
7. “Краткий очерк истории математики” Стройк Д.Я.
8. “Очерки по истории математики” Болгарский Б.В.
9. “История математики” (энциклопедия) под редакцией Юшкевича.