Различные способы доказательства теоремы Пифагора

Слайд 1

Государственное бюджетное общеобразовательное учреждение Лицей № 369 Красносельского района Санкт-Петербурга Научно - практическая конференция учащихся «Эврика» Тема: Различные способы доказательства теоремы Пифагора Секция: Математика Выполнили: Золотцев Иван и Борысевич Даниил Научный руководитель: Ушкова Татьяна Ефимовна, учитель математики Санкт-Петербург 2014 – 2015 учебный год

Слайд 2

Различные способы доказательства теоремы Пифагора Выполнил : Золотцев Иван и Борысевич Даниил

Слайд 3

Цели и задачи Цель работы состоит в том, чтобы познакомиться с различными подходами и способами их реализации при доказательстве одной геометрической теоремы. Задача данной работы показать многообразие идей, использованных при доказательстве одного и того же утверждения

Слайд 4

Актуальность выбора данной темы состоит в том, что всякую математическую задачу можно решить многими способами, более или менее рациональными. Теоремы, с которыми можно познакомиться в курсе алгебры и геометрии – те же задачи, и теорема Пифагора не исключение. Приведенный в учебнике способ её доказательства это только один из вариантов решения задачи. Данная работа даёт возможность познакомиться с многообразием этих решений.

Слайд 5

Содержание: Исторический экскурс Формулировка Теоремы Пифагора Различные способы доказательства Литература

Слайд 6

Пифагор Пифагор - с гр. «тот, кого предсказала Пифия» . Пифия сообщила Мнесарху, отцу Пифагора, что Пифагор принесет столько пользы и добра людям, сколько не приносил и не принесет в будущем никто другой. Пифагор родился в Сидоне примерно в 570 до н. э.

Слайд 7

Пифагор Пифагор рос и воспитывался на острове Самосе, потом долго путешествовал, изучил мировые достижения математики, но вернулся на родину. Там подвергся преследованиям со стороны властей и бежал в Кротон.

Слайд 8

Пифагор В Кротоне он основал тайный религиозно-этический научный орден Пифагорейцев. Очень скоро слава об этом учреждении разлетелась по всей Элладе. В этот орден спьяну захотел вступить богатый Килон, но получил отказ и в злости пожёг дом Пифагора.

Слайд 9

Пифагор На пожаре, спасая учителя, погибли его ученики. Пифагор расстроился и уморил себя голодом в священном храме. Пифагор внёс свой вклад в геометрию, музыку и философию, но потомки помнят его, за доказательство теоремы, позже названой его именем.

Слайд 10

Теорема Пифагора Она была известна в Египте, Индии, Персии и Двуречье и во времена Пифагора звучала так: в данном треугольнике АВС угол А является прямым только тогда, когда площадь квадрата при стороне против угла А равна сумме квадратов при двух других сторонах. Современная формулировка : в прямоугольном треугольнике квадрат при гипотенузе равен сумме квадратов при катетах.

Слайд 11

Простейшее доказательство На рисунке дан простейший равнобедренный прямоугольный треугольник АВС. Если квадраты отложить в общую часть полуплоскостей с границами АВ и ВС, то сумма числовых значений площадей квадратов, построенных на катетах, равна 4S ABC (квадраты совпали). Но и площадь квадрата, построенного на гипотенузе, тоже равна 4S ABC Если же квадраты отложить на сторонах во внешнюю область, то и в этом случае 2+2=4.Теорема доказана.

Слайд 12

Доказательство методом дополнения Поворотом плоскости с центром в т. А на «-90 градусов» четырёхугольник ACKJ совместим с четырёхугольником ADGВ. Площадь каждого из них соответственно половина площади шестиугольников ACBHKJ и ADEFGB.

Слайд 13

Доказательство методом дополнения От двух равных площадей нужно отнять равновеликие части (пары равных прямоугольных треугольников 1;2 и 1;3) так, чтобы в одном случае остались два квадрата, построенные на катетах, а в другом- квадрат, построенный на гипотенузе. А если от равных чисел отнять равные числа, то и разности будут равны.

Слайд 14

Доказательство Евклида Это доказательство было приведено Евклидом в его "Началах". По свидетельству Прокла (Византия), оно придумано самим Евклидом. Доказательство Евклида приведено в предложении 47 первой книги "Начал". На гипотенузе и катетах прямоугольного треугольника АВС строятся соответствующие квадраты и доказывается, что прямоугольник BJLD равновелик квадрату ABFH, а прямоугольник JCEL - квадрату АGКС. Тогда сумма площадей квадратов на катетах будет равна площади квадрата на гипотенузе.

Слайд 15

Доказательство Евклида В самом деле, треугольники ABD и BFC равны по двум сторонам и углу между ними: FB = AB, BC = BD, а углы между ними равны как тупые углы со взаимно перпендикулярными сторонами. S ABD = 0,5S BJLD , так как у треугольника ABD и прямоугольника BJLD общее основание BD и общая высота LD.

Слайд 16

Доказательство Евклида Аналогично S FBC =0,5S ABFH (BF-общее основание, АВ - общая высота) . Отсюда, учитывая, что S ABD =S FBC , имеем S BJLD =S ABFH . Аналогично, если вы проведёте отрезок АЕ используете равенство треугольников ВСК и АСЕ, то докажете, что S JCEL =S ACKG . Итак , S ABFH +S ACKG = = S BJLD +S JCEL = S BCED , что и требовалось доказать.

Слайд 17

Доказательство Вальдхейма Вальдхейм пользуется тем, что площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов, а площадь трапеции равна произведению полусуммы параллельных оснований на высоту. Теперь, чтобы доказать теорему, достаточно только выразить площадь трапеции двумя путями.Sтрапеции=0,5(a+b)² . Sтрапеции=0,5ab+0,5ab+0,5c² . Приравнивая правые части, получим: a²+b²=c² . Теорема доказана.

Слайд 18

Доказательство Бхаскари Этот индийский математик в пояснении к рисунку написал только одну строчку: "Смотри!". Учёные считают, что он выражал площадь квадрата, построенного на гипотенузе, как сумму площадей треугольников (4ab/2) и площадь внутреннего квадрата (a - b)²: c²=4ab/2+(a -b)²; c²=2ab+a²-2ab+b²; c²=a²+b². Теорема доказана.

Слайд 19

Доказательства методом разложения Существует целый ряд доказательств теоремы Пифагора, в которых квадраты, построенные на катетах и на гипотенузе, разрезаются так, что каждой части квадрата, построенного на гипотенузе, соответствует часть одного из квадратов, построенных на катетах. Во всех этих случаях для понимания идеи доказательства достаточно одного взгляда на чертёж.

Слайд 20

Доказательство Бетхера Бетхер показывает, как из треугольников, входящих в состав квадратов, построенных на катетах, составить квадрат, построенный на гипотенузе. Нижние треугольники 8 и 4 отодвигаем от фигуры 5-1, перераспределяем 7;6;2;3 так, как показано на втором рисунке.

Слайд 21

Доказательство Перигаля Перигаль через центр квадрата, построенного на большем катете, проводит прямые: одну - параллельную и одну - перпендикулярную гипотенузе. В книгах фрагмент этого рисунка называют «колесо с лопастями». Соответственно равные многоугольники одинаково пронумерованы.

Слайд 22

Доказательство Гутхейля Гутхейль предлагает такое наглядное расположение отдельных частей. Надо попробовать закрасить соответственно равные части, и станет понятна идея математика. Если треугольник будет равнобедренным прямоугольным, то исчезнут части 5; 6 и 7

Слайд 23

Доказательство Нильсена Нильсен предложил такое разбиение. Многоугольники равных площадей (равновеликие фигуры) одинаково пронумерованы.

Слайд 24

Доказательство Эпштейна Точки E, C и F лежат на одной прямой; это следует из несложных расчётов градусной меры угла ECF (он развёрнутый) .CD проводим перпендикулярно EF. Продолжены вверх левая и правая стороны квадрата, построенного на гипотенузе, до пересечения с EF; продолжена сторона ЕА до пересечения с CD . Соответственно равные треугольники одинаково пронумерованы.

Слайд 25

Заключение Я узнал различные способы доказательства теоремы Пифагора, и разобрался в них. Познакомился с математической литературой. Научился выполнять научно-практическую работу.

Слайд 26

Литература «Теорема Пифагора и различные способы её доказательства» Березин В. Я. Теорема Пифагора. Квант, №8, 1971 г. Ван-дер-Варден Б.Л. Пробуждающаяся наука. Математика Древнего Египта, Вавилона и Греции. М., Учпедгиз, 1959 г.Глейзер Г.И. История математики в школе. М., Просвещение,1982 г.Еленьский Щ. По следам Пифагора. М., Учпедгиз, 1961 г.Литцман В. Теорема Пифагора. М., Просвещение, 1960 г.Скопец З.А. Геометрические миниатюры. М., Просвещение, 1990 г.Феоктистов И. Геометрия до Евклида в очерках и задачах. М., Чистые пруды, 2005 г.

Слайд 27

Спасибо за внимание !