Проект по математике «Золотое сечение»

Муниципальное общеобразовательное учреждение

«Средняя общеобразовательная школа №1»

г.Воркуты

Проект по математике

«Золотое сечение»

Подготовили (8 класс)

Бортман Даниил

Дубовец Артем

Степанов Дмитрий

Рожкова Юлия

Смирнова Екатерина

Руководитель проекта

Морозова Раиса Аркадьевна

2015

Понятие «Золотое сечение»

Иоган Кеплер говорил, что геометрия владеет двумя сокровищами – теоремой Пифагора и золотым сечением, и если первое из них можно сравнить с мерой золота, то второе – с драгоценным камнем.(слайд 1, 2)

Геометрия владеет двумя сокровищами: одно их них – теорема Пифагора, другое – деление отрезка в среднем и крайнем отношении.

Отрезок можно разделить на две части бесконечным способом. В частности, можно разделить так, чтобы отношение всего отрезка к его большей части равнялось отношению большей части к меньшей. (слайд 3)

Пусть длина некоторого отрезка равна а, длина его большей части равна х, тогда а – х – длина меньшей части отрезка. Составим отношение согласно приведенному выше определению: (слайд 4, 5)

       (1)

Такое деление отрезка и называется со времен древних греков делением отрезка в крайнем и среднем отношении.

В пропорции, как известно, произведение крайних членов равно произведению средних, поэтому от пропорции (1) перейдем к равенству

а(а-х)=х2

Отсюда получаем квадратное уравнение

х2+ах-а2=0

Длина отрезка х выражается положительным числом, поэтому из двух корней

следует выбрать положительный:

   или  

Число  обозначается буквой φ в честь древнегреческого скульптора Фидия (род. в начале V в. до н.э.), в творениях которого это число встречается многократно. Число φ иррациональное, с восемью десятичными знаками, оно записывается так: φ ≈0,61803398… Но в практике пользуются числом φ, взятым с точностью или до тысячных 0,618, или до сотых 0,61, или до десятых 0,6. (слайд 6)

Примем длину отрезка АВ за 1 и разделим его на 10 равных частей. Тогда для того, чтобы разделить его в среднем и крайнем отношении, придется отложить от одного из его концов шесть десятых долей данного отрезка. На рис. АС=0,6, тогда СВ=0,4, а точка С является искомым сечением (с точностью до 0,1). (слайд 7)

Деление отрезка в среднем и крайнем отношении часто использовалось в искусстве, встречается оно и в живой природе, что дало повод математику XVI в., другу известного художника Леонардо да Винчи монаху Луке Пачоли назвать такое деление отрезка божественной, великолепной пропорцией. По поводу этой пропорции он употреблял много хвалебных слов, но в истории утвердились два варианта: золотая пропорция, или золотое сечение.

«Золотое сечение» в математике

Золотое сечение можно увидеть в пентаграмме – так называли греки звездчатый пятиугольник (от слова «пенте» - пять). Он служил символом Пифагорейского союза – религиозной секты и научной школы во главе с Пифагором (около 580 – 500 лет до н.э.), которая проповедовала братскую любовь друг к другу, отречение от внешнего мира, общность имущества и т.д. На подобных устоях основывались очень многие секты. Но Пифагорейский союз отличало от других то, что пифагорейцы считали возможным добиться очищения духа при помощи математики. По их теории, в основу мирового порядка положены числа. Мир, считали они, состоит из противоположностей, а гармония же заключается в числовых отношениях. Пифагорейцы приписывали числам различные свойства. Так, четные числа они называли женскими, нечетные (кроме 1) – мужскими. Число 5 – как сумма первого женского числа (2) и первого мужского (3) – считалось символом любви. Отсюда такое внимание к пентаграмме, имеющей 5 углов. (

Благоговейное отношение к пентаграмме было характерно и для средневековых мистиков, которые многие заимствовали у пифагорейцев. В средние века считалось, что пентаграмма служит охранным знаком сатаны. Вспомним, например, как описывает Гете проникновение дьявола Мефистофеля в келью доктора Фауста, на которой была начертана пентаграмма. Мефистофель сначала послал черного пуделя отгрызть кончик двери с частью пентаграммы. Только после этого он сам смог предстать перед Фаустом. (слайд 8, 9)

Чем же интересен этот символ с точки зрения математики?

Построим сначала правильный пятиугольник. Это легко сделать с помощью описанной окружности. Из ее центра надо последовательно отложить углы с вершиной в центре окружности, равные . Стороны углов пересекут окружность в точках A, B, C, D, E. Соединив их последовательно, получим правильный пятиугольник. А теперь проведем в этом пятиугольнике все диагонали. Они образуют правильный пятиугольник, т.е. знаменитую пентаграмму.

Интересно, что стороны пентаграммы, пересекаясь, образуют снова правильный пятиугольник, в котором пересечение диагоналей дает нам новую пентаграмму, а в пересечении ее сторон мы снова видим правильный пятиугольник, открывающий возможность построения новой пентаграммы. И так далее до бесконечности.

Пентаграмма представляет собой вместилище золотых пропорций. Стороны пентаграммы, пересекаясь, делят друг друга на отрезки, длины которых образуют золотую пропорцию.

Бытует легенда о том, что один из пифагорейцев больным попал в дом к незнакомым людям. Они старались его выходить, но болезнь не отступала. Не имея средств заплатить за лечение и уход, больной перед смертью попросил хозяина дома нарисовать у входа пятиконечную звезду, объяснив, что по этому знаку найдутся люди, которые вознаградят его. И на самом деле, через некоторое время один из путешествующих пифагорейцев заметил звезду и стал расспрашивать хозяина дома о том, каким образом она появилась у входа. После рассказа хозяина гость щедро вознаградил его.

Пентаграмма была хорошо известна и в Древнем Египте. Но непосредственно как эмблема здоровья она была принята лишь в Древней Греции.

В настоящее время существует гипотеза, что пентаграмма – первичное понятие, а «золотое сечение» вторично. Пентаграмму никто не изобретал, ее только скопировал с натуры. Вид пятиконечной звезды имеют пятилепестковые цветы плодовых деревьев и кустарников, морские звезды. Те и другие создания природы человек наблюдает уже тысячи лет. Поэтому естественно предположить, что геометрический образ этих объектов – пентаграмма – стала известна раньше, чем золотая пропорция.(слайд 10)

«Золотое сечение» в архитектуре

В книгах о золотом сечении можно найти замечание о том, что в архитектуре, как и в живописи, все зависит от положения наблюдателя, и что, если некоторые пропорции в здании с одной стороны кажутся образующими золотое сечение, то с других точек зрения они будут выглядеть иначе. Золотое сечение дает наиболее спокойное соотношение размеров тех или иных длин.

Одним из красивейших произведений древнегреческой архитектуры является Парфенон (V в. До н.э.). (слайд 11)

Парфенон имеет 8 колонн по коротким сторонам и 17 по длинным. Выступы сделаны целиком из квадратом пентилейского мрамора. Благородство материала, из которого построен храм, позволило ограничить применение обычной в греческой архитектуре раскраски, она только подчеркивает детали и образует цветной фон (синий и красный) для скульптуры. Отношение высоты здания к его длине равно 0,618. Если произвести деление Парфенона по золотому сечению, то получим те или иные выступы фасада.

Другим примером из архитектуры древности является Пантеон. (слайд 12)

Известный русский архитектор М.Казаков в своем творчестве широко использовал золотое сечение. Его талант был многогранным, но в большей степени он раскрылся в многочисленных осуществленных проектах жилых домов и усадеб. Например, золотое сечение можно обнаружить в архитектуре здания сената в Кремле. По проекту М.Казакова в Москве была построена Голицынская больница, которая в настоящее время называется Первой клинической больницей имени Н.П.Пирогова (Ленинский проспект, д.5). (слайд 13, 14, 15)

Еще один архитектурный шедевр Москвы – дом Пашкова – является одним из наиболее совершенных произведений архитектуры В.Баженова. (слайд 16, 17)

Прекрасное творение В.Баженова прочно вошло в ансамбль центра современной Москвы, обогатило его. Наружный вид дома сохранился почти без изменений до наших дней, несмотря на то, что он сильно обгорел в 1812 году. При восстановлении здание приобрело более массивные формы. Не сохранилась и внутренняя планировка здания, о которой дают представления только чертеж нижнего этажа.

Многие высказывания зодчего заслуживают внимание и в наши дни. О своем любимом искусстве В.Баженов говорил: «Архитектура – главнейшие имеет три предмета: красоту, спокойность и прочность здания… К достижению  сего служит руководством знание пропорции, перспектива, механика или вообще физика, в всем им общим вождем является рассудок».

«Золотое сечение» в скульптуре

Рассмотрим применение золотого сечения в скульптурах Древней Греции. Работы Фидия в оригиналах почти не сохранились, поэтому для иллюстрации возьмем произведение его младшего современника, скульптора и теоретика искусства Поликлета (вторая половина V в. до н.э.). В своем трактате «Канон» он стремился установить законы пропорциональности человеческого тела. Теория пропорций  Поликлета ярко воплотилась в статуе «Дорифор» - копьеносец, которую он изваял в строгом соответствии всех частей. В этой статуе мы встречаем много раз примененное число φ. Так, пупок (точка О) делит высоту статуи в отношении золотого сечения. Значит, если высоту АВ принять за 1, то АО= φ, но тогда ОВ=1- φ. Однако на рис. показано, что расстояние ОВ берется равным φ2. Нет ли здесь противоречия? Проверим: если считать, что 1- φ= φ2, то приходим к уравнению φ2+ φ-1=0. Откуда

,

т.е. получили то же самое значение φ, которое вычислили ранее. (слайд 18)

Но проанализируем другие пропорции знаменитой статуи. Расстояние от подошвы копьеносца до его колена равно φ3, высота шеи вместе с головой – φ4, длина шеи до уха – φ5, а расстояние от уха до макушки – φ6. Таким образом, в этой статуе мы видим геометрическую прогрессию со знаменателем φ: 1, φ, φ2, φ3, φ4, φ5, φ6.

Золотое сечение многократно встречается при анализе геометрических соразмерностей Парфенона рис. Это древнее сооружение с его гармоническими пропорциями дарит нам такое же эстетическое наслаждение, как и нашим далеким предкам. Многие искусствоведы, стремившиеся раскрыть секрет того могучего эмоционального воздействия, которое это здание оказывает на зрителя, искали и находили в соотношениях его частей золотую пропорцию. Известен целый ряд пропорций. Так, приняв за 1 ширину торцевого фасада здания, можно получить геометрическую прогрессию, состоящую из восьми членов: расстояние между второй и седьмой колоннами равно φ, между третьей и шестой – φ2, между четвертой и пятой – φ4. Аналогичные закономерности мы видим и в построении здания по высоте. Объединив их, получим прогрессию: 1, φ, φ2, φ3, φ4, φ5.

Здесь поучительно вспомнить о пропорциях человеческого тела,

В своих архитектурных творениях древнегреческие мастера исходили из пропорций, которые видели в природе, и прежде всего в пропорциях человеческого тела.

Великий древнегреческий скульптор Фидий часто использовал золотое сечение в своих произведениях. Самыми знаменитыми из них были статуя Зевса Олимпийского (которая считалась одним из чудес света) и Афины Парфенос. (слайд 19, 20)

Измерения нескольких тысяч человеческих тел позволили обнаружить, что для взрослых мужчин это отношение равно , а для взрослых женщин оно составляет . Так что пропорции мужчин ближе к золотому сечению, чем женщин. Было проведено большое число измерений на помещенных в журналах крупных портретах мужчин и женщин, на многих из них указанные отношения представляют золотое сечение.

«Золотое сечение» в живописи

Переходя к примерам золотого сечения в живописи, нельзя не оставить своего внимания на творчестве Леонардо да Винчи. Его личность – одна из загадок истории. Сам Леонардо да Винчи говорил: «Пусть никто, не будучи математиком, не дерзнет читать мои труды». (слайд 21, 22)

Он снискал славу непревзойденного художника, великого ученого, гения, предвосхитившего многие изобретения, которые не были осуществлены вплоть до XX в. Нет сомнений, что Леонардо да Винчи был великим художником, это признавали уже его современники, но его личность и деятельность останутся покрытыми тайной, так как он оставил потомкам не связное изложение своих идей. А лишь многочисленные рукописные наброски, заметки, в которых говорится «обо всем на свете».

Он писал справа налево неразборчивым почерком и левой рукой. Это самый известный из существующих образец зеркального письма.

Портрет Монны Лизы (Джоконды) долгие годы привлекает внимание исследователей, которые обнаружили, что композиция рисунка основана на золотых треугольниках, являющихся частями правильного звездчатого пятиугольника. Существует очень много версий об истории этого портрета. Вот одна из них.

Однажды Леонардо да Винчи получил заказ от банкира Франческо де ле Джокондо написать портрет молодой женщины, жены банкира, Монны Лизы. Женщина не была красива, но в ней привлекала простота и естественность облика. Леонардо согласился писать портрет. Его модель была печальной и грустной, но Леонардо рассказал ей сказку, услышав которую, она стала живой и интересной.

Сказка

Жил-был один бедный человек, было у него четыре сына: три умных, а один из них и так, и сяк. И вот пришла за отцом смерть. Перед тем, как расстаться с жизнью, он позвал к себе детей и сказал: «Сыны мои, скоро я умру. Как только вы схороните меня, заприте хижину и идите на край света добывать себе счастья. Пусть каждый из вас чему-нибудь научиться, чтобы мог кормить сам себя». Отец умер, а сыновья разошлись по свету, договорившись спустя три года вернуться на поляну родной рощи.

Пришел первый брат, который научился плотничать, срубил дерево и обтесал его, сделал из него женщину, отошел немного и ждет. Вернулся второй брат, увидев деревянную женщину и, так как он был портной, в одну минуту одел ее: как искусный мастер, он сшил для нее красивую шелковую одежду. Третий сын украсил женщину золотом и драгоценными камнями – ведь он был ювелир. Наконец, пришел четвертый брат. Он не умел плотничать и шить, он умел только слушать, что говорит земля, деревья, травы, звери и птицы, знал ход небесных тел и еще умел петь чудесные песни. Он запел песню, от которой заплакали притаившиеся за кустами братья. Песней этой он оживил женщину, она улыбнулась и вздохнула.

Браться бросились к ней и каждый кричал одно и то же: «Ты должна быть моей женой».

Но женщина ответила: «Ты меня создал – будь мне отцом. Ты меня одел, а ты украсил – будьте мне братьями. А ты, что вдохнул в меня душу и научил радоваться жизни, ты один мне нужен на всю жизнь».

Кончив сказку, Леонардо взглянул на Монну Лизу, ее лицо озарилось светом, глаза сияли. Потом, точно пробудившись ото сна, она вздохнула, провела по лицу рукой и без слов пошла на свое место, сложила руки и приняла обычную позу. Но дело было сделано – художник пробудил равнодушную статую; улыбка блаженства, медленно исчезая с ее лица, осталась в уголках рта и трепетала, придавая лицу изумительное, загадочное и чуть лукавое выражение, как у человека, который узнал тайну и, бережно ее храня, не может сдержать торжество.

Леонардо молча работал, боясь упустить этот момент, этот луч солнца, осветивший его скучную модель…

Трудно отметить, что замечали в этом шедевре искусства, но все говорили о том глубоком знании Леонардо строения человеческого тела, благодаря которому ему удалось уловить эту, как бы загадочную, улыбку. Говорили о выразительности отдельных частей картины и о пейзаже, небывалом спутнике портрета. Толковали о естественности выражения, о простоте позы, о красоте рук. Художник сделал еще небывалое: на картине изображен воздух, он окутывал фигуру прозрачной дымкой.