Метод рационализации при решении логарифмических уравнений и неравенств

Республиканская открытая конференция научного объединения учащихся «Сигма» «Творчество юных»

Секция: «Математика»

«Решение логарифмических неравенств

с помощью метода рационализации»

Наужокова Залина, 11 кл.,

МОУ СОШ №5 г. Майского

Научный руководитель:

Пивоварова Т. Ю.

Майский 2015г.

Оглавление

1. Введение.                                                                                3
2. Основная часть                                                                         4
3. Вывод                                                                                        9
4. Заключение                                                                                  10
5. Библиографический список                                                        10

I Введение

В вариантах ЕГЭ по математике задание С3 представлено системой неравенств, одно из которых – логарифмическое.

Актуальность выбранной темы:  Нередко требуется решить неравенство , которое достаточно сложно поддается обычному методу интервалов: корни соответствующих уравнений не всегда очевидны , а вычисление значений  функции в промежуточных точках может оказаться довольно трудоемким  процессом .  

Однако есть способ сведения неравенств  к неравенствам для рациональных функций , которые решаются , как правило, существенно проще . Спецификация заданий ЕГЭ-2014 года не изменилась, поэтому данная тема  актуальна.

        Разбирая решения сложных неравенств, я увидела, что при решении применяется способ, сильно облегчающий решение. Решив, изучит его подробнее, я выяснила, что этот метод известен уже около 50 лет и в разных источниках фигурирует под названиями «метод декомпозиции», «метод замены множителей», «обобщенный метод интервалов», «метод рационализации». Я буду использовать название «метод рационализации»

Цель работы: изучить метод рационализации решения логарифмических неравенств, исследовать применение данного способа  к решению логарифмических неравенств.

Исследовательские задачи:

- изучить общие сведения о способах решения логарифмических неравенств;

- обосновать корректность замен;

- сформулировать алгоритм решения.

II Основная часть

 Ключевыми являются два утверждения :

1) Если функция  строго возрастает, то для любых двух значений  знак выражения  совпадает со знаком выражения

1) Если функция  строго убывает, то для любых двух значений  знак выражения  совпадает со знаком выражения

Суть метода рационализации  для решения логарифмических неравенств  (метода замены множителя) состоит в том, что в ходе решения осуществляется  переход от неравенства, содержащего логарифмические выражения, к равносильному рациональному неравенству (или равносильной системе рациональных  неравенств).

Рассмотрим неравенства:

 и   , где - число  

  где - функция

Для неравенств со знаками «< », «≥», «≤» –  рассуждения аналогичные, поэтому ограничимся рассмотрением только данных неравенств

1)  

        Если , имеем:

 значит

 (знак «сохраняется»)

        Если , то , имеем:

значит

Сформулируем формулу:

Пример1

Решим неравенство:

Ответ:

2)   

1)Если

2)Если 0 < a <1,то пропотенцировав неравенство  

имеем , при условии , что . Тогда

а из условия 0 < a <1 получим .

Так как обе функции отрицательны , то их произведение положительно

Получим формулу

3)   ,    

Если , то , тогда

Если , то  , тогда

Имеем

Пример 2

Решить неравенство

решение

Ответ:

4)

Если , то ,    тогда    

Если , то , тогда

Имеем

Пример 3

Решить неравенство:

ОДЗ:

 Решая методом интервалов:

Ответ:

Пример 4

Решаем неравенство методом рационализации по формуле

2. ОДЗ

Запишем решение с учетом ОДЗ

Ответ:

III. Вывод

В результате работы я сформулировала таблицу, применение которой может очень помочь на экзамене при решении логарифмических неравенств

IV.  Заключение.

В результате работы над данной темой я повторил  классический способ решения логарифмических неравенств, который применяется в школе.

Также  я узнал о новом  методе решения неравенств, который значительно облегчает процесс решения.

В современной жизни решение логарифмических неравенств и их систем является неотъемлемой частью выпускных и вступительных экзаменов в различные учебные заведения, поэтому очень важно понять и разобраться с этой темой ещё в школе.

V. Библиографический список

1. Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Интернет – ресурс: http://alexlarin.net/ege/2011/C3-2011.pdf
2. ЕГЭ-2013: Математика: самое полное издание типовых вариантов  / авт.-сост. И.В. Ященко, И.Р. Высоцкий; под ред. А.Л. Семенова, И.В. Ященко. – М.: АСТ: Астрель, 2013. -123 с. – (Федеральный институт педагогических измерений).
3. Экзаменационные задания:  http://alexlarin.net/