Проект по математике учащихся 8 класса МОУ "СОШ №1" г. Воркута по теме: "Жизнь и деятельность Пифагора"

Муниципальное общеобразовательное учреждение

«Средняя общеобразовательная школа №1»

г.Воркуты

Проект по математике

«Жизнь и деятельность Пифагора»

Подготовили (8 класс)

Бортман Даниил

Дубовец Артем

Степанов Дмитрий

Рожкова Юлия

Смирнова Екатерина

Руководитель проекта

Морозова Раиса Аркадьевна

2015

Биография Пифагора (580 – 500 гг. до н.э.)

О жизни Пифагора мы знаем мало. Он родился на острове Самос, далеко от Греции. Меньше 5 км голубой воды залива Кушадо отделяло остров от берегов Малой Азии. Он видел в ясные дни желтые дороги, бегущие по большой земле в большой мир. Они звали его. Совсем юношей Пифагор покинул родину. Он прошел по дорогам Египта и 12 лет жил в Вавилоне. После возвращения домой, он переселился в Италию, затем в Сицилию. И здесь, в Креоне, рождается школа Пифагора. (слайд 1, 2, 3, 4)

Пифагор и его ученики были трудолюбивы и аскетичны. Вот их заповеди: (слайд 5)

• делать то, что впоследствии не огорчит тебя и не принудит раскаиваться;
• не делай никогда того, что не знаешь, но научись всему, что следует знать;
• не пренебрегай здоровьем своего тела;
• приучайся жить просто и без роскоши.

Пифагор и его ученики занимались изучением чисел и их свойств, вкладывая в каждое число определенный смысл.

В пифагорейской школе много внимания уделялось музыке, живописи, физическому развитию, здоровью. Известно, что Пифагор был Олимпийским чемпионом. Этого крепкого юношу с упрямой шеей и коротким носом, настоящего драчуна судьи одной из первой в истории Олимпиады не хотели допускать к соревнованиям по кулачному бою, укоряя маленьким ростом. Он пробился и победил всех противников. Случалось такое примерно 2535 лет назад.

Вся жизнь Пифагора – легенда, даже не легенда, а наслоение легенд, дошедших до нашего времени и рассказавших нам о талантливейшем человеке древнего мира.

Среди учителей юного Пифагора традиция называет имена старца Гермодаманта и Ферекида Сиросского (хотя и нет твердой уверенности в том, что именно Гермодамант и Ферекид были первыми учителями Пифагора). Целые дни проводил юный Пифагор у ног старца Гермодаманта, внимая мелодии кифары и гекзаметрам Гомера.

Страсть к музыке и поэзии великого Гомера Пифагор сохранил на всю жизнь. И, будучи признанным мудрецом, окруженным толпой учеников, Пифагор начинал день с пения одной из песен Гомера. Ферекид же был философом и считался основателем италийской школы философии. Таким образом, если Гермодамант ввел юного Пифагора в круг муз, то Ферекид обратил его ум к логосу. Ферекид направил взор Пифагора к природе и в ней одной советовал видеть своего первого и главного учителя. Но как бы то ни было, неугомонному воображению юного Пифагора очень скоро стало тесно на маленьком Самосе, и он отправляется в Милет, где встречается с другим ученым - Фалесом. Фалес советует ему отправится за знаниями в Египет, что Пифагор и сделал.

В 548 г. до н.э. Пифагор прибыл в Навкратис - самосскую колонию, где было у кого найти кров и пищу. Изучив язык и религию египтян, он уезжает в Мемфис. Несмотря на рекомендательное письмо фараона, хитроумные жрецы не спешили раскрывать Пифагору свои тайны, предлагая ему сложные испытания. Но влекомый жаждой к знаниям, Пифагор преодолел их все, хотя по данным раскопок египетские жрецы не многому могли его научить, т.к. в то время египетская геометрия была чисто прикладной наукой (удовлетворявшей потребность того времени в счете и в измерении земельных участков). Поэтому, научившись всему, что дали ему жрецы, он, убежав от них, двинулся на родину в Элладу. Однако, проделав часть пути, Пифагор решается на сухопутное путешествие, во время которого его захватил в плен Камбиз, царь Вавилона, направлявшийся домой.

Не стоит драматизировать жизнь Пифагора в Вавилоне, т.к. великий властитель Кир был терпим ко всем пленникам. Вавилонская математика была, бесспорно, более развитой (примером этому может служить позиционная система исчисления), чем египетская, и Пифагору было чему поучиться. Но в 530 г. до н.э. Кир двинулся в поход против племен в Средней Азии. И, пользуясь переполохом в городе, Пифагор сбежал на родину. А на Самосе в то время царствовал тиран Поликрат. Конечно же, Пифагора не устраивала жизнь придворного полу раба, и он удалился в пещеры в окрестностях Самоса. После нескольких месяцев притязаний со стороны Поликрата, Пифагор переселяется в Кротон. В Кротоне Пифагор учредил нечто вроде религиозно-этического братства или тайного монашеского ордена ("пифагорейцы"), члены которого обязывались вести так называемый пифагорейский образ жизни. Это был одновременно и религиозный союз, и политический клуб, и научное общество. Надо сказать, что некоторые из проповедуемых Пифагором принципов достойны подражания и сейчас.

Прошло 20 лет. Слава о братстве разнеслась по всему миру. Однажды к Пифагору приходит Килон, человек богатый, но злой, желая спьяну вступить в братство. Получив отказ, Килон начинает борьбу с Пифагором, воспользовавшись поджогом его дома. При пожаре пифагорейцы спасли жизнь своему учителю ценой своей, после чего Пифагор затосковал и вскоре покончил жизнь самоубийством.

История открытия теоремы Пифагора

Теорема Пифагора – самая известная из всех геометрических теорем. О ней писали в своих произведениях римский архитектор и инженер Ветрувий, греческий писатель-моралист Плутарх, греческий ученый III века Диаген, Лаэрций, математик V века Прокл и многие другие.

Прокл в своих комментариях к «Началам» Евклида пишет относительно предложения о том, что квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов, следующее: «Если слушать тех, кто любит повторять древние легенды, то придется сказать, что эта теорема восходит к Пифагору. Рассказывают, что честь этого открытия он принес в жертву быка», другие говорят, 100 быков. Это послужило поводом для юмора в рассказах писателей и в стихах поэтов. Так, например, немецкий писатель-романист А.Шамиссо написал следующие стихи: (слайд 6)

Пребудет вечной истина, как скоро

Ее познает слабый человек!

И ныне теорема Пифагора

Верна, как и в его далекий век.

Обильно было жертвоприношенье

Богам от Пифагора. Сто быков

Он отдал на закланье и сожженье

За света луч, пришедший с облаков.

Поэтому всегда с тех самых пор,

Чуть истина рождается на свет,

Быки ревут, ее почуя, вслед.

Они не в силах свету помешать,

А могут лишь, закрыв глаза, дрожать

От страха, что вселил в них Пифагор.

Долгое время считали, что до Пифагора эта теорема не была известна и поэтому ее назвали «теоремой Пифагора». Это название сохранилось поныне. Однако в настоящее время установлено, что эта важнейшая теорема встречается в вавилонских текстах, написанных за 1200 лет до Пифагора.

Исторический обзор начнем с древнего Китая. Здесь особое внимание привлекает математическая книга Чу-пей. В этом сочинении так говорится о пифагоровом треугольнике со сторонами 3, 4 и 5:

"Если прямой угол разложить на составные части, то линия, соединяющая концы его сторон, будет 5, когда основание есть 3, а высота 4". (слайд 7)

В этой же книге предложен рисунок, который совпадает с одним из чертежей индусской геометрии Басхары.

Кантор (крупнейший немецкий историк математики) считает, что равенство

3 ² + 4 ² = 5²

было известно уже египтянам еще около 2300 г. до н. э., во времена царя Аменемхета I (согласно папирусу 6619 Берлинского музея). (слайд 8)

По мнению Кантора гарпедонапты, или "натягиватели веревок", строили прямые углы при помощи прямоугольных треугольников со сторонами 3, 4 и 5. (слайд 9)

Очень легко можно воспроизвести их способ построения. Возьмем веревку длиною в 12 м. и привяжем к ней по цветной полоске на расстоянии 3м. от одного конца и 4 метра от другого. Прямой угол окажется заключенным между сторонами длиной в 3 и 4 метра. Гарпедонаптам можно было бы возразить, что их способ построения становиться излишним, если воспользоваться, например, деревянным угольником, применяемым всеми плотниками. И действительно, известны египетские рисунки, на которых встречается такой инструмент, например рисунки, изображающие столярную мастерскую.

Несколько больше известно о теореме Пифагора у вавилонян. В одном тексте, относимом ко времени Хаммураби, т. е. к 2000 г. до н. э., приводится приближенное вычисление гипотенузы прямоугольного треугольника. Отсюда можно сделать вывод, что в Двуречье умели производить вычисления с прямоугольными треугольниками, по крайней мере в некоторых случаях. Основываясь, с одной стороны, на сегодняшнем уровне знаний о египетской и вавилонской математике, а с другой-на критическом изучении греческих источников, Ван-дер-Варден(голландский математик) сделал следующий вывод: (слайд 10)

"Заслугой первых греческих математиков, таких как Фалес, Пифагор и пифагорейцы, является не открытие математики, но ее систематизация и обоснование. В их руках вычислительные рецепты, основанные на смутных представлениях, превратились в точную науку."

Геометрия у индусов, как и у египтян и вавилонян, была тесно связана с культом. Весьма вероятно, что теорема о квадрате гипотенузы была известна в Индии уже около 18 века до н. э.

Некоторые доказательства теоремы Пифагора

Простейшее доказательство

Простейшее доказательство теоремы получается в простейшем случае равнобедренного прямоугольного треугольника. В самом деле, достаточно просто посмотреть на мозаику равнобедренных прямоугольных треугольников, чтобы убедиться в справедливости теоремы. Например, для треугольника ABC: квадрат, построенный на гипотенузе АС, содержит 4 исходных треугольника, а квадраты, построенные на катетах,- по два. (слайд 11)

Теорема доказана.

Теорема Евклида

На гипотенузе и катетах прямоугольного треугольника АВС строятся соответствующие квадраты и доказыва¬ется, что прямоугольник BJLD равновелик квадрату ABFH, а прямоугольник ICEL — квадрату АС КG. Тогда сумма квадратов на катетах будет равна квадрату на гипотенузе.

В самом деле, треугольники ABD и BFC равны по ABD.

Но∠ABC=∠FBC=d+∠двум сторонам и углу между ними: FB=AB, BC==BD и SABD=1/2

SBJLD, так как у треу¬гольника ABD и прямоугольника BJLD общее основание BD и общая высота LD. Аналогично SFBC=1\2 SABFH (BF—общее основание, АВ—общая высота). Отсюда, учитывая, что SABD=SFBC , имеем SBJLD= SABFH. Аналогично, используя равен¬ство треугольников ВСК. и АСЕ, доказывается, что SJCEL=SACKG. Итак, SABFH+SACKG=SBJLD+SJCEL= SBCED , что и требовалось доказать. Доказательство Евклида в сравнении с древнекитайским или древнеиндийским выглядит чрезмерно сложным. По этой причине его нередко называли «ходульным» и «наду-манным». Но такое мнение поверхностно. Теорема Пифагора у Евклида является заключи-тельным звеном в цепи предложений 1-й книги «Начал». Для того чтобы логически безупречно построить эту цепь, чтобы каждый шаг доказательства был основан на ранее доказанных предложениях, Евклиду нужен был именно выбранный им путь. (слайд 12)

Пифагоровы тройки

Пифагоровы тройки – это наборы из трёх натуральных чисел (x, y и z), из которых сумма квадратов двух чисел равна квадрату третьего числа (x2 + y2 = z2 ). В школьной программе пифагоровы тройки не изучаются, появляясь лишь как любопытный частный случай при рассмотрении прямоугольных треугольников. Между тем, пифагоровы тройки являются объектом теории чисел. .. Сейчас уже найдены стороны 50-го «пифабедренного» треугольника, значения которых очень велики.

Поскольку уравнение x2 + y2 = z2 однородно, при домножении x, y и z на одно и то же число получится другая пифагорова тройка. Пифагорова тройка называется примитивной, если она не может быть получена таким способом, то есть x,y,z — взаимно простые числа. Треугольник, стороны которого равны пифагоровым числам, является прямоугольным. Простейший из них — египетский треугольник со сторонами 3, 4 и 5 (32 + 42 = 52).

Некоторые Пифагоровы тройки: (слайд 13)

Учитель музыки

Целые дни юный Пифагор проводил у ног старца Гермодаманта,  слушая мелодии кифары, песни Гомера. Страсть к музыке и поэзии великого Гомера Пифагор сохранил на всю жизнь. И, будучи великим мудрецом, окруженный толпой учеников, Пифагор начинал день с пения песен Гомера. Одним из четырех предметов в школе Пифагора была музыка, и Пифагора по праву считают творцом акустики и основоположником теории музыки. Арифметика – учение о количестве, выражаемое числом; музыка – учение, которое рассматривает числа по отношению в звуке; благодаря счастливому союзу, музыка получила прочный фундамент гамм и универсальный язык нот. Согласно преданию, сам Пифагор обнаружил, что приятные слуху созвучия – консонансы, т.е. созвучия, получаются лишь в том случае, когда длины струн относятся как целые числа первой четверки, т.е как 1 : 2, 2 : 3,

3 : 4. Именно это открытие впервые указывало на существование числовых закономерностей в природе.

Закон целочисленных отношений в консонансах был открыт Пифагором. Два закона легли в основу пифагорейской теории музыки:

Закон 1

Две звучащие струны дают консонанс лишь тогда, когда их длины относятся как целые числа, составляющие треугольное число.

10=1+2+3+4, т.е. как 1 : 2, 2 : 3, 3 : 4. (слайд 14)

Закон 2

Четверка чисел 1, 2, 3, 4 – тетраэдр – лежит в основе построения различных музыкальных ладов. Лады состоят из основных ступеней. В основу гаммы пифагорейцы положили интервал октава – восемь. Далее октаву разделили на благозвучные части, и Пифагор обнаружил приятные слуху созвучия: квинта – пятая ступень, кварта – четвертая, октава – восьмая. Основа всей музыки – тетрахора. (слайд 15)

По преданию, в античном мире четыре струны настраивались по тетраэдру. Музыкальная гамма до сих пор применяется при настройке музыкальных инструментов. Пифагорейцы не только нашли строгие математические построения музыкальных ладов, но заложили основу учения о каждом ладе. Пифагорейцев интересовал музыкальный строй. И они блестяще справились с задачей построения музыкальных ладов.

До – соль – ре – ля – ми – си – фа – полученные звуки собирались в октаву. (слайд 16)

Весь мир, утверждал Пифагор, есть распределенная по числам гармония. А числа эти образуют соотношения, что и интервалы между различными ступенями гаммы. Названиями интервалов в музыке служат латинские числительные, которые указывают порядковый номер ступени: октава – 8, квинта – 5, кварта – 4 и так далее.

Музыкальными инструментами древних греков были: флейта, труба, авлос (духовые), лира, кифара (струнные). (слайд 17, 18)

Пифагор делил струну на три, четыре, пять равных частей. При этом он получал разные по высоте звуки. Эти звуки он расположил по высоте. А расстояние между нижним и верхним назвали октава, т.е восемь. Внутри октавы выстроились по порядку 8 звуков – ступенек. Этот ряд звуков – звукоряд – получил название Пифагоров звукоряд. Шло время, и в системе Пифагора обнаружили неожиданные изъяны. И музыкант-ученый Веркхмейстер решил немного подправить звукоряд. Чуть повысил одни звуки, понизил другие, получив тем самым темперированный строй. Величайший немецкий композитор Иоганн Себастьян Бах сочинил величественный цикл прелюдий и фуги (48). С тех пор, как в музыке начали применять инструменты с закрепленной (струной) высотой каждого звука, т.е. клавишные инструменты (орган, клавесин, клавикорд), где каждой клавише соответствует звук раз и навсегда установленной постоянной высоты, встал вопрос о способе настройки этих инструментов.

Благодарная память единомышленников сохранила для человечества имя Пифагора – выдающегося математика, творца акустики, основоположника теории музыки, человека высокой нравственности, личности богатой, загадочной. Слова «мелодия», «ритм» родились в Элладе, название слова «гамма» происходит от греческой буквы (гамма). Пифагорический музыкальный музыкальный старт, определивший на столетия судьбу европейской музыки – это математика. Создание логарифмически равномерной 12-тонной музыкальной школы – итог современной деятельности музыкантов и математиков. В XVIII веке создается музыкальная акустика. После создания точной математической теории струны, поняв, что любой музыкальный инструмент – всего-навсего «физико-акустический» прибор, музыку уже не отделить от математики. Математическому анализу подлежат и звук, и тембр, и лад, и гармония. Пифагор создал математическую теорию музыки, слушая, как звучат медные чаши. Каждое настоящее искусство имеет свою теорию, которую можно выразить в терминах математики. Математики, начиная с Пифагора, постоянно проявляют интерес к музыке. Математическая теория музыки явилась вообще первой теорией музыки у греков.

Первым музыкальным инструментом Пифагора был монохорд. Инструмент под названием монохорд в переводе означает «однострун». Сначала к его единственной струне добавили еще одну, а затем стали натягивать все большее число струн. Позднее играли на нескольких струнах. Появился инструмент цилибалы, на Руси – гусли. В средние века (XIV в.) знали и пользовались органом. Вот и пришла кому-то в голову замечательная мысль: приспособить клавиатуру к многострунному монохорду. Так появились клавесин, а затем фортепиано.

Монохорд – один из первых шагов на пути к рождению фортепиано. Монохорду было суждено сыграть в истории музыки огромную роль. Он является предком нынешнего фортепиано. (слайд 19)

О школе Пифагора

Пифагор первым назвал свои рассуждения философией (любомудрием). Пифагор был «выдающимся философом», т.е. учителем мудрости. «Ум сам по себе все видит и все слышит,  прочее же слепо и глухо!» Не перечислить всего, чему учили в школе Пифагора, а учили там хорошо. Правители и народы доверяли свои государства ее выпускникам. Человечество на протяжении своей истории вновь открывает те идеи, которые пифагорейцы обсуждали еще два с половиной тысячелетия назад. Сам Пифагор не был особенно озабочен тем, как прославить и увековечить свое учение. Пифагор создавал не только учение, но и творил образ жизни, при котором оно могло быть правильно воспринято. (слайд 20)

Пифагор – не имя, а прозвище. Пифагор – «убеждающий речью». Вторая буква в имени Пифагора («и» греческое) являет собой графическое изображение выбора двух дорог: пути добродетели и пути порока. Вплоть до середины веков было распространено выражение: «По пифагоровой букве выбирать дорогу», т.е. выбирать достойный путь на пересечении жизненных стезей. Пифагорова буква «и» (греческая) есть в гербе города Саратова. (слайд 21)

«Любым способом следует избегать и отсекать огнем, железом, любыми средствами от тела болезнь, от души – невежество, от желудка – излишество, от города – смуту, от дома – разногласие, от всего в целом – неумеренность», - говорил Пифагор. (слайд 22)

С именем Пифагора многое в математике связано, в первую очередь теорема, носящая его имя.

Любимое детище великого эллинского мудреца – пифагорейский союз. Это был союз истины, добра и красоты. Обучение в школе Пифагора было двухступенчатым. Одни ученики назывались математиками, т.е. познавателями, а другие – акусматиками, т.е. слушателями. (слайд 23)

Пифагорейская система знаний состояла из четырех разделов: (слайд 24)

1. Арифметика (учение о числах)
2. Геометрия (учение о фигурах и их измерении)
3. Музыка (учение о гармонии и теории музыки)
4. Астрономия (учение о строении Вселенной)

В школе Пифагора получила свое первоначальное оформление математическая теория  музыки.

Не музыкантов готовила школа Пифагора, она готовила людей, которые искали гармонию мира, живущего в тени звезд. Искали в себе человека, искали музыку небесных сфер. Дни и ночи в школе великого грека связывались точными аккордами. «Две есть поры, самые важные для мышления: когда идешь ко сну и когда встаешь ото сна». Утром сонное оцепенение снималось напевами – минутным сочетанием лиры и голоса. Потом ученики совершали прогулки в местах тихих и безлюдных, там, где отбрасывают свои тени храмы, священные рощи, где пламенное море, шум крыльев, оливковые деревья, там, где нет ни одной скользящей тени, кроме твоей, потому что не следует встречаться с кем-либо, пока не приведешь в порядок собственную душу и не настроишь разум на соразмерный лад. (слайд 25)

После измеренной ногами тишины – занятия.

Гимнастика, бег, борьба.

Изучение разных законодательств, чужеземных и необычных.

Опять прогулка, во время которой новички – с первого по пятый класс, видимо, плелись молча, пиная камешки, а остальные, по совету учителя, беседовали друг с другом, обсуждая только что услышанное. Потом математика, изучение путей звезд и познание летучих секретов души. А вечером огромная школа внимала торжественным песнопениям, примирявшим с мыслью о мироздании.

Ему повезло больше, чем другим ученым древности. О нем сохранились десятки легенд и мифов, правдивых и выдуманных, реальных и вымышленных. Пифагор не только самый популярный ученый за всю историю человечества, но и самая загадочная личность, человек – символ и человек – фантом, философ и пророк. Основоположник дедуктивного научного знания – математики и родоначальник многих мистических знаний, учредитель религиозно-эпического братства и создатель научно-философской школы, ставшей воистину союзом Истины, Добра и Красоты. (слайд 26, 27)