Различные способы решения квадратных уравнений
В своей исследовательской работе ученицы 9 класса представили 10 способов решения квадратных уравнений. Работа может быть использована для занятий математического кружка, для индивидуальной работы с мотивированными детьми.
Скачать:
| Вложение | Размер |
|---|---|
 sposoby_resheniya_kvadratnykh_uravneniy.pptx | 700.33 КБ |
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Цель: изучить разные способы решения квадратных уравнений, выявить наиболее рациональный. Задачи: Изучить доступную нам литературу по математике, связанную с данной темой; Найти различные способы решения квадратных уравнений, познакомиться с ними; Выявить наиболее рациональный способ решения квадратных уравнений; Создать презентацию «Различные способы решения квадратных уравнений» для использования на занятиях математического кружка; Учиться целенаправленно пользоваться различными источниками информации в учебных целях; Развивать в себе умение работать самостоятельно, проверить, может ли ученик самостоятельно изучить какую-либо тему по математике без постоянной помощи учителя, узнать, насколько это трудоемко и затратно по времени.
Когда уравнение решаешь, дружок, Ты должен найти у него корешок. Значение буквы проверить несложно, Поставь в уравненье его осторожно, Коль верное равенство выйдет у вас, То корнем значенье зовите тотчас.
Квадратные уравнения - это фундамент, на котором покоится величественное здание алгебры. Квадратные уравнения находят широкое применение при решении тригонометрических, показательных, логарифмических, иррациональных и трансцендентных уравнений и неравенств. В школьном курсе математики изучаются формулы корней квадратных уравнений, с помощью которых можно решать любые квадратные уравнения. Однако имеются и другие способы решения таких уравнений, которые позволяют очень быстро и рационально решать многие из них. Существует множество способов решения квадратных уравнений. Мы рассмотрим и разберем десять из них.
Основные способы решения квадратных уравнений 1 способ. Разложение левой части уравнения на множители 2 способ. Метод выделения полного квадрата 4 способ. Решение уравнений с использованием теоремы Виета (прямой и обратной) 10 способ. Геометрический способ решения квадратных уравнений 3 способ. Решение квадратных уравнений по формуле 5 способ. Решение уравнений способом « переброски» 8 способ. Решение квадратных уравнений с помощью циркуля и линейки 7 способ. Графическое решение квадратных уравнений 9 способ. Решение квадратных уравнений с помощью номограммы 6 способ. Решение квадратных уравнений с использованием свойств коэффициентов
1. Разложение левой части уравнения на множители
Решим уравнение x 2 +10x-24=0 . Разложим левую часть на множители: x 2 +10x-24=x 2 +12x-2x-24=x (x+12) -2 (x+12)= (x+12)(x-2). Уравнение можно переписать так: ( x+12) (x-2)=0 Так как произведение равно нулю, то по крайней мере один из его множителей равен нулю. Поэтому левая часть уравнения обращается в нуль при x=2 , а также при x=-12 . Это означает, что числа 2 и -12 являются корнями уравнения x 2 +10x-24=0 .
2. Метод выделения полного квадрата
Поясним этот метод на примере. Решим уравнение x²+6x-7=0 Выделим в левой части полный квадрат. Для этого запишем выражение x²+6x в следующим виде: x²+6x=x²+2· x·3. В полученном выражении первое слагаемое- квадрат числа x ,а второе- удвоенное произведение x на 3. Поэтому, чтобы получить полный квадрат, нужно прибавить 3 ² , так как x²+2·x·3+3²=(x+3)² Преобразуем теперь левую часть уравнения x²+6x-7=0 , прибавляя к ней и вычитая 3 ² . Имеем: x²+6x-7=x²+2·x·3+3²-3²-7=(x+3) ²-9-7=(x+3) ²-16 . Таким образом, данное уравнение можно записать так: (x+3) ²-16=0, т.е. (x+3) ²=16. Следовательно, x+3 = 4, x = 1, или x+3 = - 4, x =-7
Общий вид квадратного уравнения : ax²+bx+c=0, a≠0, Формула корней квадратного уравнения : 3. Решение квадратных уравнений по формуле
А) 4 x 2 + 7 x+3=0 а =4, b=7, c=3, D=b 2 -4ac=7 2 -48=1, D>0 , два разных корня; Таким образом, в случае положительного дискриминанта, т.е. при b 2 -4ac>0, уравнение ax²+bx+c=0 имеет два различных корня. Решим уравнения:
Б) 4 x 2 -4x +1=0 a=4,b=-4, c=1, D=b 2 -4ac= (-4) 2 -16=0 , D = 0, один корень; Итак, если дискриминант равен нулю, т.е. b 2 -4ac =0, то уравнение ax²+bx+c=0 имеет единственный корень, В) 2 x 2 +3x +4=0, a=2, b=3, c=4, D=b 2 -4ac=3 2 - 32= - 2 3, D<0. Уравнение не имеет корней. Итак, если дискриминант отрицателен, т.е. b 2 -4ac< 0, то уравнение ax²+bx+c=0 не имеет корней.
Формула корней квадратного уравнения ax ²+ bx + c =0 позволяет найти корни любого квадратного уравнения (если они есть), в том числе приведенного и неполного. Словесно формула выражается так: корни квадратного уравнения равны дроби, числитель которой равен второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, плюс-минус корень квадратный из квадрата этого коэффициента без учетверенного произведения первого коэффициента на свободный член, а знаменатель есть удвоенный первый коэффициент.
4. Решение уравнений с использованием теоремы Виета (прямой и обратной)
. Как известно, приведенное квадратное уравнение имеет вид: x²+px+q=0 Его корни удовлетворяют теореме Виета, которая при a=1 имеет вид Отсюда можно сделать следующие выводы : по коэффициентам p и q можно предсказать знаки корней.
Например, а) x²-3x+2=0; x=1 и x =2 , так как q=2 , 2 >0 и p=-3 , -3 <0 x²+8x+7=0; x=- 7 и x =-1 , так как q=7 , 7 >0 и p=8 , 8 >0 . а) Если свободный член q приведенного уравнения положителен ( q>0) , то уравнение имеет два одинаковых по знаку корня и этот знак зависит от второго коэффициента p . Если p>0, то оба корня отрицательны, если p<0 , то оба корня положительны.
б) x²+4x-5=0; x=- 5 и x=1 , так как q=-5 , -5 <0 и p=4 , 4 >0 x²-8x-9=0; x=9 и x=- 1 , так как q=-9 , -9 <0 и p=-8 , -8 <0 б) Если свободный член q приведенного уравнения отрицателен (q<0) , то уравнение имеет два различных по знаку корня, причем больший по модулю корень будет положителен, если p<0 , или отрицателен, если p>0. Например
5. Решение уравнений способом «переброски»
Рассмотрим квадратное уравнение ax²+bx+c=0, где a≠0 . Умножая обе его части на a , получаем уравнение a²x²+abx+ac=0 Пусть ax=y , откуда x= y/a ; тогда приходим к уравнению y² + by + ac = 0 равносильному данному. Его корни y 1 и y 2 найдем с помощью теоремы Виета. Окончательно получаем x 1 = y 1 / a и x 1 = y 2 / a . Так как коэффициент a умножается на свободный член, как бы «перебрасывается» к нему, поэтому этот способ и называют способом «переброски». Этот способ применяют, когда можно легко найти корни уравнения, используя теорему Виета, и, что самое важное, когда дискриминант - точный квадрат.
Решим уравнение 2x² -11x+15=0 «Перебросим» коэффициент 2 к свободному члену, в результате получим уравнение y²-11y+30=0 Согласно теореме Виета Ответ: 2,5; 3.
6. Решение квадратных уравнений с использованием свойств коэффициентов
А). Пусть дано квадратное уравнение a x²+bx+c=0, где a≠0. 1. Если a +b+c =0( т.е. сумма коэффициентов уравнения равна нулю), то x 1 =1 , x 2 =c/a 2. Если a - b+c =0, или b= a+c , то x 1 = - 1 , x 2 = - c/a Б). Если второй коэффициент b=2k - четное число, то формулу корней можно записать в виде В). Приведенное уравнение x²+px+q=0 совпадает с уравнением общего вида, в котором а=1, b=p и c=q. Поэтому для приведенного квадратного уравнения формула корней принимает вид: Формулу особенно удобно использовать, когда p - четное число.
Решим уравнение 345 x 2 -137x-208=0 Так как a+b+c=0 (345- 137 -208 =0), то Ответ: Решим уравнение 3x 2 -14x+16=0 Имеем: a=3, b=-14, c=16, k=-7 ; D=k 2 -ac=(-7) 2 -48=1 , D>0 , два различных корня;
Для запоминания формулы для решения приведенного квадратного уравнения x²+px+q=0 можно использовать такое стихотворение: р со знаком взяв обратным, Мы на два его разделим. И от корня аккуратно Знаком «минус»-«плюс» отделим. А под корнем, очень кстати, Половина р в квадрате, Минус q – И вот решенье, То есть корни уравненья.
7. Графическое решение квадратных уравнений
Если в уравнении x ² + px + q = 0 перенести второй и третий члены в правую часть, то получим x ² = - px - q . Построим графики зависимостей y = x ² и y = - px - q . График первой зависимости - парабола, проходящая через начало координат. График второй зависимости – прямая.
Прямая и парабола могут пересекаться в двух точках, абсциссы точек пересечения являются корнями квадратного уравнения; Прямая и парабола могут касаться (только одна общая точка), т.е. уравнение имеет одно решение. Прямая и парабола не имеют общих точек, т.е. квадратное уравнение не имеет корней. Возможны следующие случаи:
Решение. Запишем уравнение в виде x²=3x+4 Получим параболу y=x² . Прямую y=3x+4 можно построить по двум точкам M(0 ; 4) и N(3 ; 13). Прямая и парабола пересекаются в двух точках A и B c абсциссами x 1 = - 1 и x 2 = 4 Ответ: x 1 = - 1 , x 2 = 4. Решим графически уравнение x²-3x-4=0
8. Решение квадратных уравнений с помощью циркуля и линейки
Графический способ решения квадратных уравнений с помощью параболы неудобен. Если строить параболу по точкам, то требуется много времени, и при этом степень точности получаемых результатов невелика. Предлагаем следующий способ нахождения корней квадратного уравнения ax²+bx+c=0 с помощью циркуля и линейки.
Решим уравнение x 2 -2x-3=0 Определим координаты точки центра окружности по формулам: Проведем окружность радиуса SA , где A( 0;1). Ответ: x 1 =-1, x 2 =3.
9. Решение квадратных уравнений с помощью номограммы
Это старый и незаслуженно забытый способ решения квадратных уравнений . Таблица XX ІІ . Номограмма для решения уравнения z²+pz+q=0 . Эта номограмма позволяет, не решая квадратного уравнения, по его коэффициентам определить корни уравнения. Решим уравнение z² -9 z+ 8 =0 . На шкале p отметим -9, на шкале q отметим 8, соединим отмеченные числа прямой. Прямая пересекла криволинейную шкалу в двух точках: 1 и 8 – это корни квадратного уравнения.
10. Геометрический способ решения квадратных уравнений
В древности, когда геометрия была более развита, чем алгебра, квадратные уравнения решали не алгебраически, а геометрически. Приведем ставший знаменитым пример из «Алгебры» Ал -Хорезми
y 2 3 y 3y 9 Например, так древние греки решали уравнение y²+6y-16=0 Решение представлено на рис. , где y²+6y =16, или y²+6y +9=16+9. Решение. Выражения y²+6y +9 и 16+9 геометрически представляют собой один и тот же квадрат, а исходное уравнение и y²+6y-16 +9-9=0 - одно и то же уравнение. Откуда и получаем, что y+3=±5, или y 1 =2, y 2 =-8 .
Предлагаем Вам решить задачи для закрепления материала. Задачи А также познакомиться с историей квадратных уравнений. Исторический аспект решения квадратных уравнений
1. Алимов Ш. А., Ильин В. А. и др. Алгебра, 6-8. Пробный учебник для6-8 классов средней школы. –М., Просвещение,1981. 2. Брадис В. М. Четырехзначные математические таблицы для средней школы. Изд. 57-е. –М., Просвещение, 1990. 3. Злоцкий Г. В. Карточки- задания при обучении математике. Книга для учителя. –М., Просвещение, 1992. 4. Клюквин М. Ф. Алгебра, 6-8. Пособие для учащихся 6-8 классов. –М., Просвещение, 1963. 5. Кужепов А. К., Рубанов А. Т. Задачник по алгебре и элементарным функциям. Учебное пособие для средних специальных учебных заведений. –М., Высшая школа,1969. 6. М., Математика (приложение к газете «Первое сентября»), №№21/96, 10/97, 24/97, 18/98, 21/98. 7. Окунев А. К. Квадратичные функции, уравнения и неравенства. Пособие для учителя. –М., Просвещение, 1972. 8. Пресман А. А. Решение квадратного уравнения с помощью циркуля и линейки. -М., Квант, №4/72. С. 34. 9. Соломник В. С., Милов П. И. Сборник вопросов и задач по математике.Изд.4-е дополн. –М., Высшая школа,1973. 10. Худобин А. И. Сборник задач по алгебре и элементарным функциям. Пособие для учителя. Изд. 2-е. –М., Просвещение,1970. Литература:
Нурпеисова Диана и Бугаева Анна, ученицы 9 «А» класса МБОУ СОШ №2 Работу выполнили:
Неньютоновская жидкость
Сказка "Колосок"
Глупый мальчишка
Одна беседа. Лев Кассиль
И тут появился изобретатель