Муниципальное бюджетное образовательное учреждение

средняя общеобразовательная школа №7

 г. Нижнего Новгорода

Решение задач на сложные проценты

Выполнила:

Захарова Анастасия  

10 «А» класс МБОУ СОШ №7

Научный руководитель:

Долгова Валентина Александровна

 г. Нижний Новгород

2015 г.

Содержание работы

Введение                                                                                        3 стр.

Глава 1. Теория и примеры решения задач

1.1 Понятие «сложный процент»                                                        4 стр.

1.2 История возникновения сложных процентов                                5 стр.

1.3 Области применения сложных процентов                                        6 стр.

Глава 2. Формулы сложных процентов

2.1 Без внутригодовых начислений                                                        7 стр.

2.1С внутригодовыми начислениями                                                11 стр.

2.3Номинальная и эффективная процентные ставки                                13 стр.

2.4 Области применения простых процентов и их формулы                16 стр.

2.5 Одновременное применение простых и сложных процентов                19 стр.

Заключение                                                                                21 стр.

Список литературы                                                                        22 стр.

Приложения                                                                                23 стр.

Введение

1. Цель работы:

Исследовать сложные проценты.

2. Задачи:

• Рассмотреть понятие сложных процентов и их отличия от простых
• Научиться решать задачи на сложные проценты

3. Актуальность:

Понимание процентов и умение производить процентные расчеты в настоящее время необходимы каждому человеку: прикладное значение этой темы очень велико и затрагивает финансовую, демографическую, экологическую, социологическую и другие стороны нашей жизни.

Во многих школьных учебниках можно встретить задачи на проценты. Сведения о простых и сложных процентах, которые сами по себе имеют большую практическую значимость, являются достаточно благоприятным материалом для применения знаний, полученных на уроках математики. Но в учебнике не водится формулы простых и сложных процентов и мало задач на эту тему. Учащиеся должны решать задачи, опираясь не на формулы, а на понимание, на смысл понятия “процент”, на умение находить процент от числа, что обычно вызывает затруднения при решении задач на сложные проценты. Более рациональное решение задачи достигается с помощью формул “сложных процентов”.

Текстовые задачи на проценты включены в материалы в государственную итоговую аттестацию за курс основной школы, в КИМы ГИА и ЕГЭ, в конкурсные экзамены. Однако практика показывает, что задачи на проценты вызывают затруднения у учащихся и очень многие окончившие школу не имеют прочных навыков обращения с процентами в повседневной жизни.

Понятие «сложный процент»

Сложные проценты – проценты, полученные на начисленные (реинвестированные) проценты. То есть, если при применении простых процентов результат рассчитывается от первоначального числа не зависимо от срока, то при применении сложных процентов накопленная сумма процентов добавляется к числу по окончании очередного периода начислений. При этом каждый раз ее изменение составляет определенное число процентов от значения, которое эта величина имела на предыдущем этапе. В этом случае имеем дело со “сложными процентами” (то есть используются начисления “процентов на проценты”). Первоначальная сумма и полученные проценты в совокупности называются накопленной (наращенной) суммой.

При одном и том же значении процентной ставки:

1) темпы наращения сложных процентов выше темпов наращения простых, если период наращения превышает стандартный интервал начисления дохода (1 год);

2) темпы наращения сложных процентов меньше темпов наращения простых, если период наращения меньше стандартного интервала начисления дохода.

Простые и сложные проценты могут применяться как в отдельных операциях, так и одновременно.

Поэтому области применения простых и сложных процентов можно разделить на три группы:

1) операции с применением простых процентов;

2) операции с применением сложных процентов;

3) операции с одновременным применением простых и сложных процентов.

История возникновения сложных процентов

Процент — это одна сотая доля. Этимология термина имеет латинские корни. Слово «Процент» происходит от латинского слова procentum, что буквально переводится «за сотню», или «со ста». Как экономическое понятие в значении "прибыль","выгода", "преимущество" слово стало использоваться во второй половине 19 века.

Финансовое определение процента - плата, которую одно лицо (заемщик) передает другому лицу (кредитору) за то, что последний предоставляет первому во временное пользование денежные средства.

В современной финансовой лексике процент определяется как плата за использование заемных средств, как цена рентных доходов. Когда финансисты говорят о проценте, то они имеют в виду доходность к погашению, то есть такую ставку в коэффициенте дисконтирования которая выравнивает дисконтированную (приведенную) цену будущих результатов инвестиции с ее настоящей ценой.

Начисление процента на депозит, процентная ставка или банковский процент – это одно из самых старых и интересных изобретений человечества. Можно предположить, что начислять процентную ставку начали ещё в далекой древности, одновременно с появлением денег, хотя известно, что взаймы можно брать не только деньгами. Когда еще господствовал бартер и понятия процентной ставки не существовало, первые кредиты выдавались в виде зерна. Например, один фермер отдавал другому в долг корзину с зерном, а при возврате требовал вернуть корзину зерна, но уже большего объема.

Области применения сложных процентов

Областью применения сложных процентов являются долгосрочные операции (со сроком, превышающим год), в том числе предполагающие внутригодовое начисление процентов.

Выделяют две области применения сложных процентов:

1. Долгосрочные операции с целым числом лет без внутригодового начисления процентов
2. Долгосрочные операции с целым числом лет с внутригодовым начислением процентов

Формулы сложных процентов

При отсутствии внутригодовых начислений применяется обычная формула начисления сложных процентов:

FV = PV (1 + r)n

где         PV — исходная сумма;

г   — годовая процентная ставка;

n   — количество лет;

FV — наращенная сумма.

Задача.

Найти прибыль от 30 000 рублей положенных на депозит на 3 года под 10% годовых, если в конце каждого года проценты добавлялись к депозитному вкладу.

Дано: PV=30 000 r = 10 n=3

Найти: FV-?

Решение:

Воспользуемся формулой сложных процентов, чтобы вычислить, сколько человек получит денег через 3 года:

FV = PV (1 + r)n

FV = 30 000 (1 + 0.1)3 = 30 000 * 1.13 = 39 930

Найдем прибыль, отняв из полученной клиентом суммы сумму вклада:

FV-PV = 39 930 – 30 000 = 9 930

Ответ: 9930 рублей

Задача

Определенный товар стоил 200 грн. Сначала его цену повысили на несколько процентов, а затем снизили на столько же процентов, после чего стоимость его стала 192 грн. На сколько процентов каждый раз происходила смена цены товара?

Решение:
Поскольку проценты одинаковы, то обозначаем изменении цены товара через X.

На основе условия задачи, используя формулу сложных процентов, получим уравнение

FV = PV (1 + r)n

192 = 200 (1 + Х) (1 - Х)

Его упрощение приведет к решению уравнения

8 – 200 Х2 = 0

откуда корни приобретут значения

Х = -0.2, Х = 0.2

Первое значение отвергаем, оно меняет суть задачи (сначала имеем снижение, а затем рост процентов, противоречит условию). Второе при пересчете составит 0,2*100%=20% процентов.

Ответ: 20 %

Задача

Курс доллара в течении двух месяцев увеличивался на одно и то же число процентов ежемесячно, но не более, чем в 1.5 раза. За сумму, вырученную от продажи в начале первого месяца одного доллара, к концу второго месяца можно было купить на 9 центов меньше, чем в конце первого месяца. На сколько процентов уменьшился курс рубля за 2 месяца?

Пусть курс был А рублей за 1 доллар, на р % он рос каждый месяц

В первый месяц он стал А(1 + )

Во второй месяц он стал А(1 + )2, тогда к концу первого месяца мы могли купить  долларов, а к концу второго

По условию задачи разница составляет 0.09 $. Пусть  =t, тогда получаем уравнение t – t2 = 0.09

Решая его получаем t1 = 0.9 t2 = 0.1. Далее обратная замена и получаем р= и р = 900 (что не подходит, исходя из условий).

Итак, курс был А, а стал А(1 + )2 =

То есть А составляет 81 % от  курс опустился на 19 %

Ответ: 19 %

Задача

Какой должна быть ставка ссудного процента, чтобы 10 000 рублей нарастились до 30 000 рублей, за срок вклада 5 лет?

Преобразуем формулу сложных процентов

FV = PV (1 + r)n

В формулу

r =    - 1

r =  – 1 ≈ 0.2457 = 24.57%

Ответ: 24.57%

Задача

Костюм стоил 600 грн. После того как цена была снижена дважды, он стал стоить 432 грн. Причемвторой процент снижения был в 2 раза меньше, чем в первый раз. На сколько процентов каждый раз снижалась цена?

Решение:
Для упрощения вычислений обозначим
X – первая скидка;
X/2 – вторая скидка;

Для вычисления неизвестной X составляем уравнение по формуле сложных процентов

FV = PV (1 + r)n

432 =  600 (1 - X) (1 - )

Упрощаем, и сводим к квадратному уравнению

300 X2 – 900 X + 168 = 0

и решаем

D = (-900)2 - 4 * 300 * 168 = 7802

X =  → X = 2.8; X = 0.2

Первое решение не имеет физического смысла, второе учитываем при вычислениях. Значение 0.2 соответствует снижению на 0.2*100%=20% после первой скидки, и X/2 =10% после второй скидки.

Ответ: 20%, 10%

В другом случае применяется формула начисления сложных процентов с учетом внутригодового начисления. Под внутригодовым начислением процентов понимается выплата процентного дохода более одного раза в год. В зависимости от количества выплат дохода в год (m) внутригодовое начисление может быть:

1) полугодовым (m = 2);

2) поквартальным (m = 4);

3) ежемесячным (m = 12);

4) ежедневным (m = 365 или 366);

5) непрерывным (m -» ?).

Формула наращения при полугодовом, поквартальном, ежемесячном и ежедневном начислении сложных процентов имеет следующий вид:

FV = PV (1 + r / m)nm

где        m  — количество внутригодовых начислений

Задача.

Александр взял кредит на сумму 50 000 рублей на 2 года под 17% годовых. На сколько больше рублей он отдаст банку к концу срока, чем взял, если проводились поквартальные вычисления?  

Для решения задачи воспользуемся формулой сложных процентов с учетом внутригодового начисления.

FV = PV (1 + r / m)n * m

FV = 50 000 (1 + )2 * 4 = 50 000 * (1.0425)8 = 69 755.5 рублей

Посчитаем разницу между взятой и отданной спустя 2 года суммами.

FV – PV = 69 755.5 – 50 000 = 19 755.5 рублей

Ответ: он отдаст банку на 19 755.5 рублей больше, чем взял.

Задача.

Житель города N. продал участок земли за 200 000 рублей и положил их на депозит под 3 % годовых. Сколько денег у него останется после покупки максимально возможного количества таких же участков, когда через 40 лет снимет деньги счета? (Внутригодовое начисление - полгода)

Найдем сумму, которая будет находиться на его счете в конце срока. Для этого воспользуемся формулой сложных процентов.

FV = PV (1 + r / m)n * m

FV = 200 000 (1+ )40 * 2 = 200 000 * (1.015)80 = 658 132.5 рубля

Теперь вычислим, сколько участков он сможет купить на эти деньги

FV/PV = 3.29, то есть он сможет купить 3 участка и при этом потратит 3 PV рублей

Таким образом, в результате у него останется FV – 3 * PV рублей

FV – 3 * PV = 658 132.5 – 600 000 = 58 132. 5 рубля

Ответ: 58 132.5 рубля

Номинальная и эффективная процентные ставки

При одинаковой величине исходной суммы, одинаковом сроке вложения денежных средств и значении процентной ставки возвращаемая сумма оказывается больше в случае использования формулы внутригодовых начислений, чем в случае использования обычной формулы начисления сложных процентов:

FV = PV (1 + r / m)nm> FV = PV (1 + r)n.

Задача

Вкладчик положил на депозит 1000 рублей на срок 2 года под 15 % годовых. Выяснить, в каком случае наращенная сумма будет больше: если будет происходить внутригодовое начисление или нет? (Внутригодовое начисление принять за ежемесячное)

Сначала по формуле сложных процентов посчитаем наращенную сумму без внутригодовых начислений

FV = PV (1 + r)n

FV = 1 000 (1 + 0.15)2 = 1 000 * 1.152 = 1 322.5

Теперь вычислим наращенную сумму с учетом внутригодового начисления

FV = PV (1 + r / m)nm

FV = 1 000 (1 + 0.15 / 12)2 * 12 = 1 000 * (1.0125)24 = 1 347.3

1 347.3 > 1 322.5, следовательно, с внутригодовым начислением сумма наращивается быстрее

Ответ: с внутригодовыми начислениями сумма наращивается быстрее

Если доход, полученный при использовании внутригодовых начислений, выразить в процентах, то полученная процентная ставка окажется выше той, которая использовалась при обычном начислении сложных процентов.

Таким образом, первоначально заявленная годовая процентная ставка для начисления сложных процентов, называемая номинальной, не отражает реальной эффективности сделки. Процентная ставка, отражающая фактически полученный доход, называется эффективной.

Процентные ставки при внутригодовом начислении можно разделить на

1. Номинальные процентные ставки
2. Эффективные процентные ставки

Номинальная процентная ставка задается изначально. Для каждой номинальной процентной ставки и на ее основании можно рассчитать эффективную процентную ставку (rе).

Из формулы наращения сложных процентов можно получить формулу эффективной процентной ставки:

FV = PV (1 + r)n;

(1 + re) = FV / PV,

или

re = FV / PV - 1

Приведем формулу наращения сложных процентов с внутригодовыми начислениями, при которых каждый год начисляется r / m процента:

FV = PV (1 + r / m)nm.

Тогда эффективная процентная ставка находится по формуле:

(1 + re) = (1 + r/m)m,

или

re = (l + r/m)m- 1,

где         rе — эффективная процентная ставка

r — номинальная процентная ставка

m — количество внутригодовых выплат.

Величина эффективной процентной ставки зависит от количества внутригодовых начислений (m):

1) при m = 1 номинальная и эффективная процентные ставки равны;

2) чем больше количество внутригодовых начислений (значение m), тем больше эффективная процентная ставка.

Задача

Клиент кладет на депозит 20 000 рублей под 20 % годовых. Найти эффективную процентную ставку, если а) внутригодовых начислений нет б) ведется ежеквартальные внутригодовые начисления

а) В случае, когда m = 1 номинальная и эффективная процентные ставки равны. То есть эффективная процентная ставка 20 %. Докажем это.

По формуле сложных процентов вычислим наращенную за год сумму

FV = PV (1 + r)n

FV = 20 000 (1 + 0.2)1 = 20 000 * 1.2 = 24 000

Теперь по выведенной нами ранее формуле эффективной процентной ставки найдем ее.

re = FV / PV - 1

re = 24 000 / 20 000 – 1 = 0.2 = 20 %, то есть эффективная процентная ставка в данном случае действительно равна номинальной

б) По выведенной нами ранее формуле эффективной процентной ставки найдем искомое

re = (l + r/m)m- 1

re = (l + 0.2/4)4- 1 = 0.215 = 21.5%

Ответ: а) 20 %; б) 21.5 %

Задача

Доказать, что с увеличением внутригодовых начислений увеличивается эффективная процентная ставка (при условии, что номинальные процентные ставки равны).

Пусть номинальная процентная ставка равна 20 %

Если внутригодовые начисления ведутся ежеквартально (m = 4), то формула эффективной процентной ставки выглядит так

re = (l + 0.2/4)4- 1, и она равна 21.5 %

А если ежемесячно (m = 12), то

re = (l + 0.2/12)12- 1, она равна 21.9 %

21.5 < 21.9, следовательно, с увеличение внутригодовых начислений эффективная процентная ставка действительно растет.

Области применения простых процентов и соответствующие формулы

Для того, чтобы рассмотреть одновременное применение простых и сложных процентов, необходимо ознакомиться с формулами первых.

Областью применения простых процентов чаще всего являются краткосрочные операции (со сроком до одного года) с однократным начислением процентов (краткосрочные ссуды, вексельные кредиты) и реже — долгосрочные операции с целым числом лет

При краткосрочных операциях используется так называемая промежуточная процентная ставка, под которой понимается годовая процентная ставка, приведенная к сроку вложения денежных средств. Математически промежуточная процентная ставка равна доле годовой процентной ставки. Формула наращения простых процентов с использованием промежуточной процентной ставки имеет следующий вид:

FV = PV (1 + t • r / Т),

или

FV = PV (1 + f • r),

где         f=t/T;

t    — срок вложения денежных средств (при этом день вложения и день изъятия денежных средств принимаются за один день)

 Т   — расчетное количество дней в году.

При долгосрочных операциях начисление простых процентов рассчитывается по формуле:

FV = PV (1 + r • n),

где n — срок вложения денежных средств (в годах).

Задача

В банк на депозит на 3 года положили 30000 рублей под 10% годовых. а) Найдите насколько прибыльнее был бы вариант, когда годовой доход добавляется к счету, на который будут начисляться проценты, чем вариант, когда проценты каждый год забираются клиентом? б) Какая будет разница через 10 лет?

А) Для того, чтобы посчитать, сколько человек получит денег, если годовой доход добавлять к счету, на который будут начисляться проценты, воспользуемся формулой сложных процентов:

FV = PV (1 + r)n

Прибыль в этом случае равна:

E = FV-PV = 39930 – 30 000 = 9 930

Для того, чтобы посчитать, сколько человек будет получать ежегодно денег, если он каждый год забирает проценты, воспользуемся формулой простых процентов:

FV = PV (1 + )

FV = 30 000 (1+ ) = 30 000 * 1.1 = 33 000

Ежегодная прибыль составит FV – PV

Е = FV – PV = 33 000 – 30 000 = 3 000

А прибыль за 3 года 3*Е

3*Е = 3 000*3 = 9 000

Первый метод выгоднее второго на

9 930 – 9 000 = 930 рублей

Б) Для первого случая используем формулу сложных процентов. Найдем полученную сумму:

Прибыль в этом случае равна

E = FV – PV = 77812.27 – 30 000 = 47 812.27

Мы уже вычислили, что во втором случае ежегодная прибыль равна 3 000 рублей, а прибыль за 10 лет

3 000 * 10 = 30 000 рублей

Первый метод будет выгоднее второго на

47 812.27 – 30 000 = 17 812.27 рублей

Ответ: а) 930 рублей б) 17 812.27 рублей

Одновременное применение простых и сложных процентов

Областью одновременного применения простых и сложных процентов являются долгосрочные операции, срок которых составляет дробное количество лет. При этом начисление процентов возможно двумя способами:

1) начисление сложных процентов с дробным числом лет;

2) начисление процентов по смешанной схеме.

В первом случае для расчетов применяется формула сложных процентов, в которой присутствует возведение в дробную степень:

FV = PV (1 + r)n+f,

где

f — дробная часть срока вложения денежных средств.

Задача

Клиент кладет на депозит 20 000 рублей под 15 % годовых. Какой будет наращенная сумма через 2 года и 3 месяца?

Для решения применим формулу для долгосрочных операций, срок которых составляет дробное число лет.

FV = PV (1 + r)n+f

FV = 20 000 (1 + 0.15)2+3/12 = 20 000 * 1.152.25 = 27 390.5 рублей

Ответ: 27 390.5 рублей

Во втором случае для расчетов применяется так называемая смешанная схема, которая включает формулу начисления сложных процентов с целым числом лет и формулу начисления простых процентов для краткосрочных операций:

FV = PV (1 + r)n • (1 + f • r),

или

FV = PV (1 + r)n • (1 + t • r / Т).

Задача

Иван взял в банке 15 000 рублей под 20 % годовых на срок 3 года 80 дней. Найти наращенную сумму.

Чтобы решить задачу, воспользуемся смешанной схемой

FV = PV (1 + r)n • (1 + t • r / Т)

FV = 15 000 (1 + 0.2)3 • (1 + 80 • 0.2 / 365) = 15 000 * 1.23 * 1.04 = 26 956.8 рублей

Ответ: 26 956.8 рублей

Заключение

В процессе работы я исследовала сложные проценты, а именно

-рассмотрела понятие сложных процентов

-выяснила области применения всех видов процентов

-узнала, чем номинальная процентная ставка отличается от эффективной, и в какие случаях последняя больше

-научилась решать задачи на сложные проценты и задачи смешанного типа

Таким образом, цель работы была мною достигнута.

Как вы видели, задачи на проценты несложные, важно только знать формулы и внимательно читать условия заданий.

Необходимо помнить, что понятие «процент» сегодня прочно вошло в нашу жизнь, поэтому каждый должен быть знаком с ним. Данная работа содержит полную информацию о применении простых и сложных процентах и может помочь в решении жизненных задач, например, предварительно рассчитать сумму кредита, если вы собираетесь его брать, или выбрать банк, в который выгоднее класть деньги на депозит.

Я искренне надеюсь, что моя работа не пройдет даром, и кто-то сможет узнать для себя что-то новое из нее.

Благодарю за внимание!

Список использованной литературы

- Крамор В.С. «Повторяем и систематизируем школьный курс алгебры и начало анализа». М., «Просвещение» 1990 год.
- Л.Лысенкер Практическая математика для начинающих бизнесменов
- Ф.Ф. Нагибин «Математическая шкатулка» М.«Просвещение»1988год.
- И.П. Рустюмова «Пособие для подготовки к ЕНТ», Алматы 2005 год
Журнал «Математика в школе.» 1998г.№5

- Алгебра. 9 класс: учеб. Для общеобразоват. Учреждений/Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова/ 17-е издание/ Издательство «Просвещение», 2010 год

- Сборник задач для подготовки ГИА 9 класс, ФИПИ

Приложение

Задачи для самостоятельного решения

1) Оля хочет взять в кредит 100 000 рублей. Погашение кредита происходит раз в год равными суммами (кроме, может быть, последней) после начисления процентов. Ставка процента равна 10% годовых. На какое минимальное количество лет может Оля взять кредит, чтобы ежегодные выплаты не превышали 24 000 рублей?

2) 31 декабря 2013 года Сергей взял в банке 9 930 000 рублей в кредит под 10 % годовых. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 10 %), затем Сергей переводит в банк определенную сумму ежегодного платежа. Какой должна быть сумма ежегодного платежа, чтобы Сергей выплатил долг тремя равными ежегодными платежами?

3) Зная что годовая процентная ставка депозита равна 12%, найти эквивалентную ей месячную процентную ставку.

4) Вкладчик положил на депозит $ 3000 под 9% годовых на 10 лет. Какая сумма аккумулируется конце 10-го года при годовой капитализации? На сколько вырастет сумма по сравнению с первоначальным взносом?

5) Инвестор вложил 7000 грн под 10% годовых при условии начисления сложных процентов ежеквартально. Какую сумму он получит через 8 лет?

6) Вкладчик положил в банк 4000 грн. За первый год ему начислена определенный процент годовых, а второго года банковский процент увеличен на 4%. На конец второго года на счете стало 4664 грн. Сколько процентов составила банковская ставка в первый год?

7) Какая процентная ставка должна быть, чтобы за 10 лет 50 000 рублей превратились в 100 000 рублей?

8) Сколько потребуется лет, чтобы 50 000 руб. нарастились до 1 000 000 руб. при процентной ставке 40%?

9) Банк выдает ссуду на 15 лет или под процент 22% годовых (простых), или под сложные проценты. Какую ставку сложных процентов должен установить банк, чтобы полученный им доход не изменился?

10) На сумму 15 000 рублей в течении 4-х лет ежегодно начисляются простые проценты по процентной ставке 40% годовых, а на все начисленные проценты ежегодно осуществляется наращивание сложных процентов по процентной ставке 30% годовых. Определить величину наращенной суммы в конце 4-го года.

11) 31 декабря 2014 года Родион взял в банке некоторую сумму в кредит под некоторый процент годовых. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на а%), затем Родион переводит очередной транш. Если бы он будет платить каждый год по 1 464 100 рублей, то выплатить долг за 4 года. Если по 2 674 100 рублей, то за 2 года. Под какой процент Родион взял деньги в банке?

12) Заключен кредитный договор с предварительным удержанием процента. Сумма долга по кредитному договору 130 тыс. руб. Срок кредита 280 дней. Способ начисления процента 360/360. Годовая учетная ставка 43%. Какая сумма будет выдана заемщику в начале кредитной операции? Какую сумму он возвратит в конце кредитной операции?