Парадоксы в математике
Исследовательская работа по математике
Скачать:
| Вложение | Размер |
|---|---|
 paradoksy_v_matematike.ppt | 2.63 МБ |
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Цели и задачи Найти противоречия в исторических и современных задачах. Доказать или опровергнуть все противоречия с помощью математики. Найти математические обманы.
Содержание Цели и задачи проекта Идея создания проекта Фантазия и математика Понятие парадокса Софизмы Парадокс с линиями Игра в камушки Математические комедии( вариант с квадратом, числа Фибоначчи, вариант с прямоугольником ) Оптические иллюзии Обман зрения Задача Зенона Элейского Приемы математического счета Математика глазами поэта Заключение Литература
Идея создания проекта Однажды на уроке математике одноклассник в контрольной работе допустил глупую ошибку : 2 х 2 = 5. Многие засмеялись, но учитель сказал: « Да, действительно 2 х 2 = 4, но сейчас я на доске путем математических рассуждений докажу, что 4=5. И это произошло, опровергнуть рассуждения учителя с первого раза нам не удалось. Но задание вызвало особый интерес, который и привел нас к созданию проекта. Руководителем проекта стала учитель математики Афонина Л.В.
Фантазия и математика Леонардо да Винчи говорил: «Никакое человеческое исследование не может быть названо истиной, если оно не проходит через математические доказательства». В своей работе мы попытаемся доказать, что математика - это не сухая наука. В сущности же это наука, требующая наиболее фантазии. Напрасно думают, что фантазия нужна только поэту. Это глупый предрассудок! Даже в математике она нужна, потому что любое математическое открытие невозможно было бы без фантазии. А один из великих ученых говорил совершенно верно, что нельзя быть математиком, не будучи в то же время поэтом в душе. А так же в своей работе мы хотели бы показать отношение известных поэтов к математике.
Понятие парадокса Парадокс в широком смысле — это утверждение, резко расходящееся с общепринятыми, устоявшимися мнениями, отрицание того, что представляется "безусловно правильным". Само греческое слово, от которого произведено наше слово "парадокс", буквально означало "необычное, странное, невероятное, замечательное". Парадокс в более узком и более современном значении — это два противоположных утверждения, для каждого из которых имеются представляющиеся убедительными аргументы.
Софизмы Софизмом называется такое суждение, в котором неправильные (ложные) предпосылки выдаются за истинные, в результате чего мы приходим к нелепым умозаключениям. В математическом софизме заведомо допускается замаскированная ошибка, которая в процессе вывода приводит к абсурдному результату. Разобрать софизм это значит найти ошибку. Первая работа в России, посвященная математическим софизмам, вышла в 1884 году; автором ее был Василий Иванович Обреимов. Разберем один математический софизм.
2 × 2=5 Пусть имеем два числа: а=4, b =5. Обозначим их полусумму через d ; d =(а+ b) /2; а+ b=2d , так что а=2 d – b , 2d – a=b . Умножим последние два равенства почленно; тогда 2 d × a – a 2 =2d × b – b 2 . Умножим обе части равенства на – 1. Получим: а 2 – 2 d × a=b 2 – 2d × b . Прибавим к обеим частям по d 2 , тогда получим: а 2 – 2 d × a + d 2 =b 2 – 2d × b + d 2 , то есть (а – d ) 2 =( b – d) 2 ; следовательно, а – d = b – d ; отсюда а = b ; но а=4; b =5; значит, 4=5, то есть 2 × 2=5, ч.т.д. Объяснение: ошибка сделана в момент извлечения квадратного корня; равенство степеней не всегда говорит о равенстве их оснований.
Все числа равны Условие Мальчик написал на доске верное равенство: 35+10-41=42+12-50, а затем вычел из обеих частей по 4: 35+10-45=42+12-54. Он заметил, что в левой части равенства все числа делятся на 5, а в правой - на 6. Тогда он вынес в левой части 5 за скобки, а в правой - 6 и получил 5(7+2-9)=6(7+2-9). Сократив обе части на общий множитель, Петя получил, что 5=6. Где он ошибся? Решение Равенству ac=bc при с=0 удовлетворяют любые числа a и b. Ошибка Пети состоит в том, что он сократил на число 7+2-9= 0 .
И не удивляйтесь 4 р. = 40000к? Возьмем верное равенство:2 р.=200к. Возведем его по частям в квадрат. мы получим: 4 р.=40000к. В чем ошибка? Ответ Возведение в квадрат денег не имеет смысла. В квадрат возводятся числа, а не величины.
Парадокс с линиями Разрежем прямоугольник по пунктирной линии и сдвинем нижнюю часть влево вниз, как это показано на рис. 2. Сосчитав число вертикальных линий, вы обнаружите, что теперь их стало девять. Какая линия исчезла и куда? Передвиньте левую часть в прежнее положение, и исчезнувшая линия появится снова. Но какая линия стала на свое место и откуда она взялась? Восемь из десяти вертикальных линий разрезаются пунктирной линией на два отрезка, и полученные шестнадцать отрезков «перераспределяются», образуя (вместе с двумя незатронутыми вертикальными линиями) девять линий, каждая из которых чуточку длиннее первоначальных. Так как приращение длины каждой линии весьма невелико, оно не сразу обнаруживается. В действительности же суммарная величина этих приращений в точности равна длине каждой из первоначальных линий.
Игра в камушки Возьмем пять кучек камешков по четыре камешка в кучке. Переместим один камешек из второй кучки в первую, два камешка из третьей во вторую, три из четвертой в третью и, наконец, все четыре камешка из пятой в четвертую. После такой передвижки оказывается, что кучек стало только четыре. Невозможно ответить на вопрос, какая кучка исчезла, так как камешки были перераспределены так, что в каждой из четырех кучек прибавилось по камешку.
Математические комедии Вариант с квадратом Из фигур (рис.1) составили квадрат (рис.2) и прямоугольник (рис.3) с площадями 64 и 65 кв.ед. так как площади составлены из одинаковых частей, то 64=65
Числа Фибоначчи Оказывается, что длины сторон четырех частей, составляющих Фигуры, являются членами ряда Фибоначчи, т.е. ряда чисел, начинающегося с двух единиц: 1, 1, каждое из которых, начиная с третьего, есть сумма двух предшествующих. Наш ряд имеет вид 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ... Расположение частей, на которые был разрезан квадрат, в виде прямоугольника иллюстрирует одно из свойств ряда Фибоначчи, а именно следующее: при возведении в квадрат любого члена этого ряда получается произведение двух соседних членов ряда плюс или минус единица. В нашем примере сторона квадрата равна 8, а площадь равна 64. Восьмерка в ряду Фибоначчи расположена между 5 и 13. Так как числа 5 и 13 становятся длинами сторон прямоугольника, то площадь его должна быть равной 65, что дает прирост площади в одну единицу. Благодаря этому свойству ряда можно построить квадрат, стороной которого является любое число Фибоначчи, большее 1, а затем разрезать его на части.
Вариант с прямоугольником Существует много способов, которыми прямоугольник можно разрезать на небольшое число частей, а затем сложить их в виде другого прямоугольника большей или меньшей площади.
Разрезание квадрата на 4 части Разрежем квадрат на четыре части одинаковой формы и размера (рис. 1), а затем составим их по-новому так, как показано на рис. 2. При этом получается квадрат, размеры которого кажутся не изменившимися и в то же время с отверстием в середине. Подобным же образом можно разрезать прямоугольник с любым отношением длин сторон. Любопытно, что точка А , в которой, пересекаются две взаимно перпендикулярные линии разреза, может при этом находиться в любом месте внутри прямоугольника. В каждом случае при перераспределении частей появляется отверстие, причем размер его зависит от величины угла, образованного линиями разреза, со сторонами прямоугольника.
Оптические иллюзии Параллельны ли прямые АВ и СД на рисунках?
Параллельны ли заштрихованные линии? Ответ: да, линии параллельны
Обман зрения Какой кружок больше на каждом рисунке? рис.1 рис.2 Кружки равны Внутренние кружки равны, хотя кажутся неравными
Ахилл и черепаха. Рассмотрим рассуждение, придуманное греческим философом Зеноном Элейским еще в 5 веке до нашей эры: быстроногий Ахилл хочет догнать черепаху, которая находится в 10 метрах впереди него и движется со скоростью в 100 раз меньшей, чем Ахилл, но когда Ахилл пробежит эти 10 метров, черепаха уползет немного вперед, переместившись в какую-то точку В, а когда Ахилл добежит до точки В, черепаха опять окажется впереди в точке С, и так продолжится до бесконечности – Ахилл никогда не догонит черепаху!
Математические рассуждения в задаче Зенона Присмотримся к рассуждению внимательно: пусть скорость черепахи равна v м/с, скорость Ахилла 100 v м/с, тогда 10 метров Ахилл пробежит за время, равное 10 / 100 v сек, за это же время черепаха проползет путь, равный 0,1метра. Чтобы преодолеть этот путь, Ахиллу понадобится 1 / 1000 v секунд, а черепаха за это время уползет еще на 0,001 метра… итак расстояние, которое проползет черепаха за п этапов этого соревнования, равно 0,1+0,001+…+0,1 . 0,01 п = 0,1(1 – 0,01 п+1 )/(1 – 0,01) метра , и даже если мы рассмотрим бесконечно много таких шагов, то черепаха за все эти шаги не проползет больше, чем 10/99 метра, а времени на это будет затрачено не более, чем 10/99 v секунд, тогда-то Ахилл и догонит черепаху. Трудность этого рассуждения заключается в следующем: кажется что никакая сумма бесконечного числа слагаемых, даже если эти слагаемые очень маленькие, не может быть равна конечному числу. Именно поэтому и кажется, что погоня Ахилла за черепахой будет продолжаться бесконечно долго, а не меньше 0,1 секунды. А рассуждение Зенона как раз должно было подчеркнуть противоречие между непрерывностью, бесконечной делимостью времени и тем, что каждый конкретный промежуток времени имеет длительность отличную от нуля.
Приемы математического счета Умножение любого пятизначного числа на 99999. “ Назовите любое пятизначное число. Я его быстро умножу на 99999 ” . Допустим будет число 64728. Ответ: 64728 •99999=6472735272. Названное число (64728)уменьшено на 1 (64727), и к результату приписываются дополнения каждой цифры (этого результата) до 9. Прием вытекает из того, что умножение числа на 99999 равносильно умножению числа на 100000 (то есть приписываются к нему пять нулей) и последующему вычитанию из результата самого числа.
Приемы математического счета. Возведите в куб любое двузначное число. Смотрите, не ошибайтесь! Я в уме извлеку из результата кубический корень. Пусть это число 328509 . Ответ: 69
Как извлечь кубический корень Мы помним кубы 9 первых натуральных чисел: 1 ³ =1, 2 ³ =8, 3 ³ =27, 4 ³ =64, 5 ³ =125, 6 ³ =216, 7 ³ =343, 8 ³ =512, 9 ³ =729. Замечаем, что куб каждого из крайних двух из этих девяти чисел (1 и 9) и средних трех (4,5,6) оканчивается той же цифрой, какой записывается само число, а куб каждого из остальных четырех чисел – дополнением этой цифры до 10. Число 328509 оканчивается цифрой 9, значит, и его кубический корень оканчивается девяткой. Кроме того, 6 ³ =216 < 328, 7 ³ =343 > 328. Значит первая цифра 6.
Математика глазами поэта Хороших «математических» стихотворений (то есть связанных с математикой) немного, а тем более таких в которых встречается что то веселое и занимательное. Приведем несколько стихотворений, взятых из книги В. Лицмана. Параллели Идут две параллели. Откуда и куда? Быть может, что у цели Не быть им никогда. Но рядом плыть до гроба, Куда судьба ведет, Решили друга оба И твердо шли вперед, И вот года проходят, Ряд долгих лет и зим Два странника все бродят, Им вечно быть двоим. Близки и неразлучны, И стали уставать Быть рядом неотлучно, Видать, да не достать. Придут ли в бесконечность И будет ли дано, Хоть погрузившись в вечность Двум слиться им в одно?
Заключение Мы рассмотрели различные математические парадоксы и как сказал Ломоносов М.В.: «Все, что без этого было темно, сомнительно и неверно, математика сделала ясным, верным и очевидным». Мы думаем, что после всего рассмотренного никто не скажет, что математика – это сухая, неинтересная наука и ,чтобы все это сочинить и доказать, любой математик должен быть в душе поэтом.
Литература Балк М.Б. Организация и содержание внеклассных занятий по математике пособие для учителей/ М.Б.Балк. – М.: Учпедгиз, 1956. Гарднер М. Математические досуги. –М.:Оникс, 1995. Очевидно – невероятно.//Математический клуб «Кенгуру», Вокруг квадратного трехчлена, СПб. – 2002. Подашов А.П. Вопросы внеклассной работы по математике в школе. – М.: Учпедгиз, 1962.
Глупый мальчишка
Как напиться обезьяне?
Просто так
Ночная стрельба
Сказка об осеннем ветре