ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ НЕГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ АВТОНОМНОЙ РЕСПУБЛИКИ КРЫМ

УПРАВЛЕНИЕ ОБРАЗОВАНИЯ СИМФЕРОПОЛЬСКОГО ГОРОДСКОГО СОВЕТА

 УЧЕБНО-ВОСПИТАТЕЛЬНЫЙ КОМПЛЕКС

ШКОЛА-ЛИЦЕЙ «ОТКРЫТЫЙ КОСМИЧЕСКИЙ ЛИЦЕЙ »

ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ НЕГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ

Работу выполнила:

Дябина Ольга Владимировна,

учащаяся 10-Б класса

 УВК школа-лицей «ОКЛ»

Руководитель: Сидоренко Л. И. 

г. Симферополь, 2011 г.

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ ……………………………………………………………………………… 3

I. Геометрия как раздел математики …………………………………………………… 4

I. 1. История возникновения геометрии………. ………………………………………. 4

I. 2.  Геометрия и ее разделы …………………………………………………………… 6

II. Взаимосвязь тригонометрии и геометрии ………………………………………….. 8

II. 1. История возникновения тригонометрии……………………................................. 9

II. 2. Доказательство некоторых тригонометрических тождеств геометрическим способом………………………………. ……. …………………………………………. 12

III. Геометрическое решение негеометрических задач ………………………………. 13

III. 1.  Геометрическое решение систем уравнений………….………………………..  13

III. 2.  Геометрическое решение заданий, содержащих тригонометрические выражения ……………………………………………………………………………………………… 15

III. 3. Геометрическое решение заданий, содержащих иррациональные  выражения ……………………………………………………………………………………………… 17

ЗАКЛЮЧЕНИЕ …………………………………………………………………………… 19

ЛИТЕРАТУРА…………………………………………………………………………….. 20

ВВЕДЕНИЕ

Тема моей работы «Геометрическое решение негеометрических задач», и, на мой взгляд, очень актуальна, так как в современном мире важной составной частью культуры человека является его компетентность, в том числе и математическая. Как известно, знать математику означает, прежде всего, уметь решать задачи.

Целью моей  работы  являлось изучение рационального геометрического способа решения негеометрических задач, выходящих за рамки школьного курса математики. При работе над этой темой, я убедилась в том, что с точки зрения геометрии, многие алгебраические задачи решаются намного проще. В течение изучения этой темы, я усовершенствовала свои знания не только по геометрии, но и по алгебре, открыла для себя новые возможности решения различного рода задач.

Я считаю, что моя работа важна и актуальна, так как данный метод решения задач поможет мне справиться с решениями экзаменационных задач высокого уровня.

I. Геометрия как раздел математики

Геоме́трия (от греч. γη — Земля и μετρέω — «меряю») — раздел математики, изучающий пространственные структуры, отношения и их обобщения.

I.1. История возникновения геометрии

       Традиционно считается, что родоначальниками геометрии как систематической  науки являются древние греки, перенявшие у египтян  ремесло землемерия и измерения объёмов тел и превратившие его в строгую научную дисциплину. При этом античные геометры от набора рецептов перешли к установлению общих закономерностей, составили первые систематические и доказательные труды по геометрии. Центральное место среди них занимают составленные около 300 до н.э. «Начала» Евклида. Этот труд более двух тысячелетий считался образцовым изложением в духе аксиоматического метода: все положения выводятся логическим путём из небольшого числа явно указанных и не доказываемых предположений 

аксиом. Геометрия греков, называемая сегодня евклидовой, или элементарной, занималась изучением простейших форм:  прямых,  плоскостей, отрезков, правильных многоугольников и многогранников,

конических сечений, а также шаров, цилиндров, призм, пирамид и конусов. Вычислялись их площади и объёмы. Преобразования в основном ограничивались подобием.

      Средние века немного дали геометрии, и следующим великим событием в её истории стало открытие Декартом в XVII веке координатного метода («Рассуждение о методе», 1637). Точкам сопоставляются наборы чисел, это позволяет изучать отношения между формами методами алгебры. Так появилась аналитическая геометрия, изучающая фигуры и преобразования, которые в координатах задаются алгебраическими уравнениями. Примерно одновременно с этим Паскалем и Дезаргом начато исследование свойств плоских фигур, не меняющихся при проектировании с одной плоскости на другую. Этот раздел получил название проективной геометрии. Метод координат лежит в основе появившейся несколько позже дифференциальной геометрии, где фигуры и преобразования все ещё задаются в координатах, но уже произвольными достаточно гладкими функциями. Ф. Клейн  в «Эрлангенской программе» систематизировал все виды однородных геометрий; согласно ему геометрия изучает все те свойства фигур, которые инвариантны относительно преобразований из некоторой группы. При этом каждая группа задаёт свою геометрию. Так, изометрии (движения) задаёт евклидову геометрию, группа аффинных преобразований — аффинную геометрию.

I. 2.  Геометрия и ее разделы

       Общепринятую в наши дни классификацию различных разделов геометрии предложил Феликс Клейн в своей «Эрлангенской программе» (1872). Согласно Клейну, каждый раздел изучает те свойства геометрических объектов, которые сохраняются (инвариантны) при действии некоторой группы преобразований, специфичной для каждого раздела. В соответствии с этой классификацией, в классической геометрии можно выделить следующие основные разделы.

• Евклидова геометрия, в которой предполагается, что размеры отрезков и углов при перемещении фигур на плоскости не меняются. Другими словами, это теория тех свойств фигур, которые сохраняются при их переносе, вращении и отражении.

• Планиметрия — раздел евклидовой геометрии, исследующий фигуры на плоскости.
• Стереометрия — раздел евклидовой геометрии, в котором изучаются фигуры в пространстве.

• Проективная геометрия, изучающую проективные свойства фигур, то есть свойства, сохраняющиеся при их проективных преобразованиях. Инварианты в этой геометрии — это свойства, сохраняющиеся при замене фигур на подобные им, но другого размера.
• Аффинная геометрия, использующая очень общие аффинные преобразования. В ней длины и величины углов не имеют существенного значения, но прямые переходят в прямые.

Современная геометрия включает в себя следующие дополнительные разделы.

• Многомерная геометрия.
• Неевклидовы геометрии.

• Сферическая геометрия.
• Геометрия Лобачевского.

• Риманова геометрия.
• Геометрия многообразий.
• Топология — наука о непрерывных преобразованиях самого общего вида, то есть свойства объектов, которые остаются неизменными при непрерывных деформациях. В топологии не рассматриваются никакие метрические свойства объектов.

По используемым методам выделяют также такие инструментальные подразделы.

• Аналитическая геометрия — геометрия координатного метода. В ней геометрические объекты описываются алгебраическими уравнениями в декартовых (иногда аффинных) координатах и затем исследуются методами алгебры и анализа.

Дифференциальная геометрия — изучает линии и поверхности, задающиеся дифференцируемыми функциями, с помощью дифференциальных уравнений.

II. Взаимосвязь тригонометрии и геометрии   

 Тригономе́трия (от греч. τρίγονο (треугольник) и греч. μετρειν (измерять), то есть измерение треугольников) — раздел математики, в котором изучаются тригонометрические функции и их приложения к геометрии. Данный термин впервые появился в 1595 г. как название книги немецкого математика Бартоломеуса Питискуса (Bartholomäus Pitiscus, 1561—1613), а сама наука ещё в глубокой древности использовалась для расчётов в астрономии, геодезии и архитектуре.

     Тригонометрические вычисления применяются практически во всех областях геометрии, физики и инженерного дела. Большое значение имеет техника триангуляции, позволяющая измерять расстояния до недалёких звёзд в астрономии, между ориентирами в географии, контролировать системы навигации спутников. Также следует отметить применение тригонометрии в таких областях, как теория музыки, акустика, оптика, анализ финансовых рынков, электроника, теория вероятностей, статистика, биология, медицина (включая ультразвуковое исследование (УЗИ) и компьютерную  томографию),  фармацевтика,  химия, теория чисел (и, как следствие, криптография),  сейсмология,  метеорология, океанология,картография, многие разделы физики, топография и геодезия, архитектура, фонетика, экономика, электронная техника, машиностроение, компьютерная графика, кристаллография.

II. 1. История возникновения тригонометрии

Древняя Греция

       Древнегреческие математики в своих построениях, связанных с измерением дуг круга, использовали технику хорд. Перпендикуляр к хорде, опущенный из центра окружности, делит пополам дугу и опирающуюся на неё хорду. Половина поделенной пополам хорды — это синус половинного угла, и поэтому функция синус известна также как «половина хорды». Благодаря этой зависимости, значительное число тригонометрических тождеств и теорем, известных сегодня, были также известны древнегреческим математикам, но в эквивалентной хордовой форме.

Хотя в работах Евклида и Архимеда нет тригонометрии в строгом смысле этого слова, их теоремы представлены в геометрическом виде, эквивалентном специфическим тригонометрическим формулам. Теорема Архимеда для деления хорд эквивалентна формулам для синусов суммы и разности углов. Для компенсации отсутствия таблицы хорд математики времен Аристарха иногда использовали хорошо известную теорему, в современной записи — sin α/ sin β < α/β < tan α/ tan β, где 0° < β < α < 90°, совместно с другими теоремами.

Первые тригонометрические таблицы  были, вероятно, составлены  Гиппархом Никейским (180—125 лет до н. э.). Гиппарх был первым, кто свёл в таблицы соответствующие величины дуг и хорд для серии углов. Систематическое использование полной окружности в 360° установилось в основном благодаря Гиппарху и его таблице хорд. Возможно Гиппарх взял идею такого деления у Гипсикла, который ранее разделил день на 360 частей, хотя такое деление дня могли предложить и вавилонские астрономы.

Менелай Александрийский (100 н. э.) написал «Сферику» в трёх книгах. В первой книге он представил основы для сферических треугольников, аналогично I книге «Начал» Евклида о плоских треугольниках. Он представил теорему, для которой нет аналога у Евклида, о том, что два сферических треугольника конгруэнтны, если соответствующие углы равны, но он не делал различия между конгруэнтными и симметричными сферическими треугольниками. Другая его теорема гласит о том, что сумма углов сферического треугольника всегда больше 180°. Вторая книга «Сферики» применяет сферическую геометрию к астрономии. Третья книга содержит «теорему Менелая», известную также как «правило шести величин». Позднее Клавдий Птолемей (90 — 168 г. н. э.) в «Альмагесте» расширил Гиппарховы «Хорды в окружности». Его XIII книга — самая значимая тригонометрическая работа всей античности. Теорема, которая была центральной в вычислении хорд Птолемея, также известна сегодня как теорема Птолемея, которая говорит о том, что сумма произведений противоположных сторон выпуклого вписанного четырёхугольника равна произведению диагоналей. Отдельный случай теоремы Птолемея появился как 93 предложение «Данных» Евклида. Теорема Птолемея влечёт за собой эквивалентность четырёх формул суммы и разности для синуса и косинуса. Позднее Птолемей вывел формулу половинного угла. Птолемей использовал эти результаты для создания своих тригонометрических таблиц, хотя, возможно, эти таблицы были выведены из работ Гиппарха. Ни таблицы Гиппарха, ни Птолемея не сохранились до настоящего дня, хотя свидетельства других древних авторов снимают сомнения об их существовании.

Средневековая Индия

       Другие источники сообщают, что именно замена хорд синусами стала главным достижением Средневековой Индии. Такая замена позволила вводить различные функции, связанные со сторонами и углами прямоугольного треугольника. Таким образом, в Индии было положено начало тригонометрии как учению о тригонометрических величинах.

Индийские учёные пользовались различными тригонометрическими соотношениями, в том числе и теми, которые в современной форме выражаются как

sin2α + cos2α = 1

Индийцы также знали формулы для кратных углов sinn, cosn, где n = 2,3,4,5.

       Тригонометрия необходима для астрономических расчётов, которые оформляются в виде таблиц. Первая таблица синусов имеется в «Сурья-сиддханте» и у Ариабхаты. Позднее учёные составили более подробные таблицы: например, Бхаскара приводит таблицу синусов через 1°.

Южноиндийские математики в 16 веке добивались больших успехов в области суммирования бесконечных числовых рядов. По-видимому, они занимались этими исследованиями, когда искали способы вычисления более точных значений числа π. Никаланта словесно приводит правила разложения арктангенса в бесконечный степенной ряд. А в анонимном трактате «Каранападдхати» («Техника вычислений») даны правила разложения синуса и косинуса в бесконечные степенные ряды. Нужно сказать, что в Европе к подобным результатам подошли лишь в 17-18 вв. Так, ряды для синуса и косинуса вывел Исаак Ньютон около 1666 г., а ряд арктангенса был найден Дж. Грегори в 1671 г. и Г. В. Лейбницем в 1673 г. В 8 в. учёные стран Ближнего и Среднего Востока познакомились с трудами индийских математиков и астрономов и перевели их на арабский язык. В середине 9 века среднеазиатский учёный аль-Хорезми написал сочинение «Об индийском счёте». После того как арабские трактаты были переведены на латынь, многие идеи индийских математиков стали достоянием европейской, а затем и мировой науки.

II. 2.  Доказательство некоторых тригонометрических тождеств геометрическим способом

1. sin2α + cos2α = 1

Проведем прямую a=1м так, что   α=45◦. А значит, а2 = ах2 + ау2, где ах и ау – проекции а на ось ОХ и ОУ соответственно =› ах = а*cosα, ay = a*sinα =› а2 = а*cos2α + a*sin2α. Подставим значение а:

12 = 1*cos2α + 1*sin2α

1 = cos2α + sin2α

Проведем прямую a=1м так, что   α=45◦. Поскольку тангенс – это отношение противолежащего катета к прилежащему, то tgα =  , а =› tgα =  . Подставим значение а:

tgα =  

tgα =

III. Геометрическое решение негеометрических задач

III. 1.  Геометрическое решение систем уравнений

Задача №1

Решить систему уравнений

Решение:

1. Рассмотрим                    и

                                           ,                                      ,

2. Значит,                        т.е.                    а отсюда

Ответ:  

Задача №2

Решить систему уравнений 

Решение:

Рассмотрим прямоугольный треугольник АВС (    С = 90о), где ВС = , АС = .

Сумма длин катетов треугольника равна 5, а гипотенуза - .

Из условия: ВС + АС = 5, ВС2 + АС2 = 13. Отсюда следует, что ВС*АС = 6.

Значит,  катеты треугольника равны 2 и 3, но  ≠ 2, так как  ≥ . Итак, ,  = 2. Тогда lxl = 2 и lyl = 3.

Ответ: (2;3), (-2;3), (2;-3), (-2;-3).

Задача № 3

Из условий х2+у2=9, у2+z2=16, у2=хz для положительных х, у, z, не вычисляя их значений, укажите значение выражения ху+уz.

Решение: 

 Так как х>0, y>0, z>0, то задачу можно решить геометрически.

                              рис.8

По теореме, обратной теореме Пифагора, числа х, у и 3 являются длинами соответственно катетов и гипотенузы треугольника ABD (угол D прямой).

Тогда, рассмотрев второе уравнение системы, можно сделать вывод, что у, z и 4 являются соответственно длинами катетов и гипотенузы треугольника ВСD с прямым углом D.  Третье уравнение системы  разрешает утверждать, что число у есть среднее пропорциональное чисел х и z. Тогда по теореме,  обратной теореме о  пропорциональных отрезках в прямоугольном треугольнике, угол ABC прямой, а x+z=5.  Теперь, чтобы ответить на главный вопрос задачи,  рассмотрим выражение ху+уz.

                                  ху+уz=(x+z) y=2SABC =3*4=12.

Ответ: 12

III. 2.  Геометрическое решение заданий, содержащих тригонометрические выражения

Задача № 4

Докажите, что

Доказательство:                                             рис. 2

по рисунку 2:

 AD=sin2α, BD=cos2α, CD=1-cos2α,  

т.к.                      , то  

Задача № 5

Вычислите arctg      + arccos

Решение:

см рис. 3

Ответ: 900 

Задача № 6

Вычислите tg(arcsin       +arccos         )

Решение:

Т.к.        >0, то можно считать, что arcsin       -это угол прямоугольного

треугольника, у которого отношение катетов равно 1:2. Аналогично рассуждая получим

 arccos         =arctg3. Далее по рис.4              =arctg3 и

             =arctg2,а их сумма равна

Итак tg(arcsin       +arccos        )=tg(             )=-1

Ответ: -1.

Задача № 7

Вычислите arctg1+arctg2+arctg3.

Решение:

Из рис.4          Arctg3=                  ,  Arctg2=                    

Arctg1=             (             - угол прямоугольного равнобедренного треугольника АВС). Итак,  arctg1+arctg2+arctg3=

Ответ:

III. 3. Геометрическое решение заданий, содержащих иррациональные  выражения

Задание №8

Найдите значение функции f(x) =

Решение:

Рассмотрим     АВС, в котором    АСВ=90 ,     ACD=30 ,  AC=x, CD=1 и точка D лежит во внутренней области    АВС(рисунок 6).

Из      АВС по т.Пифагора АВ=              .  Из     ACD по т.косинусов

AD=                   .

max f(x)=max(AB-AD)=     B -     D=        ,   где         АС (т.е если D      АВ)

Из     BCD по т.косинусов DB=

Ответ:

Задача №9

Найдите наименьшее значение функции f(x;y;z),

 если f(x;y;z)=                                              и x+y+z=8

Решение:

Решению задания способствует рисунок 7.

Т.к длина ломаной ABCD не меньше 10, то min f(x;y;z)=10.

Если x+y+z=8

Ответ: 10

Задача № 10

Вычислить значение                                        если у>0, х+у2=7,25, у2-z=2 и

Во-первых,                            Во-вторых, для х>1 и z<2 условия х+у2=7,25 и

у2-z=2 можно трансформировать соответственно в уравнения:

рис.9

Далее получаем:

Ответ: 5

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

      В заключение хочется отметить, что эта работа позволила мне увидеть, насколько разнообразны по содержанию задачи, решаемые геометрическим способом. При работе над этой темой, я убедилась в том, что с точки зрения геометрии, многие алгебраические задачи решаются намного проще. В течение изучения этой темы, я усовершенствовала свои знания не только по геометрии, но и по алгебре, открыла для себя новые возможности решения различного рода задач.

ЛИТЕРАТУРА

1. Генкин Г.З.  Геометрические решения негеометрических задач: учебник. - М.: Просвещение, 2007. - 79 с.

2. Интернет: http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%93%D0%B5%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%8F

http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D1%80%D0%B8%D0%B3%D0%BE%D0%BD%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%8F

3. Задания Всеукраинской олимпиады по математике 2 этапа для учащихся 10-11 классов