"Секрет отгадывания чисел"

ГОРОДСКАЯ НАУЧНО-ПРАКТИЧЕСКАЯ КОНФЕРЕНЦИЯ «ОБЫКНОВЕННОЕ ЧУДО»

СЕКРЕТ  ОТГАДЫВАНИЯ  ЧИСЕЛ

исследовательская работа

Направление: математика

Автор: Андреев Алексей

Класс:  5 «А»

Учебное заведение: МАОУ СОШ № 12

Руководитель: Лукина Анна Еремеевна, учитель математики

Место работы: МАОУ СОШ № 12

Улан-Удэ

2014

Введение

Уравнения в школьном курсе алгебры занимают ведущее место.  Это объясняется тем, что уравнения широко используются в различных разделах математики. Подавляющее большинство задач сводится к решению различных видов уравнений. Овладевая способами их решения, мы находим ответы на различные вопросы из науки и техники (транспорт, сельское хозяйство, промышленность, связь и т. д.). Так же умения решать уравнения понадобятся в дальнейшем при решении задач по физике, химии. Составление и решение уравнений способствуют развитию мышления, находчивости, сообразительности, инициативности.

Целью данной работы является исследовать, что же лежит в основе задачи «Секрет отгадывания чисел».

Гипотезой исследования стало предположение, что в основе задачи «Секрет отгадывания чисел» лежит уравнение.

Для достижения поставленной цели необходимо решить  следующие  задачи:

1)  изучить литературу по данному вопросу;

2)  найти все виды уравнений, изучаемые в  школьном учебнике Н. Я. Виленкина «Математика 5»;

3) исследовать задачу «Секрет отгадывания чисел»;

4) разработать памятку «Решаем уравнения на 5».

Методы:

- поисковый метод с использованием научной  и учебной  литературы;

- исследовательский метод при определении видов уравнений, изучаемые в школьном учебнике Н. Я.  Виленкина «Математика 5».

Структура данной работы следующая:

- в первом разделе представлены исторические сведения о развитии уравнений;

- во втором разделе представлены все виды уравнений, изучаемые в  школьном учебнике   Н. Я.  Виленкина «Математика 5»;

- в третьем разделе приведено исследование задачи «Секрет отгадывания чисел»;

- в заключении работы изложены основные выводы и результаты выполненного исследования;

- список литературы содержит 6 наименований.

1. Из истории уравнений

  Искусство решать уравнения возникло давно, а занимается вопросом решения уравнений алгебра. Алгебра – это часть математики, которая изучает общие свойства действий над различными величинами и решение уравнений, связанных с этими действиями.

   Уже около 4000 лет назад вавилоняне и египтяне решали задачи землемерия, строительства и военного дела с помощью уравнений.        Уравнение первой и второй степени умели решать в древности также китайские и индийские учёные.

   Задачи, решаемые с помощью уравнений, встречаютcя во многих текстах глубокой древности. B Московском папирусе, представляющем свиток, изготовленный из растений, на котором сделаны записи около 1850 г. до н. э., и в папирусе Axмeca, например, содержатся задачи, в которых неизвестное имеет особый символ и название: «хау» или «аха». Оно означает «количество», «куча». Так называемое «исчисление кучи», или «вычисление хау», приблизительно соответствует нашему решению задач с помощью уравнений.

Вот пример задачи и её решение из папируса Ахмеса:

Задача. «Количество и его четвёртая часть дают вместе 15». В настоящие время для решения задачи составляется уравнение  

Решая его, находим: х = 12.

В папирусе Ахмеса решение начинается так: «Считай с 4; от них ты должен взять четверть, а именно 1; вместе 5». Затем 15 делится на 5, частное умножается на 4 и получается неизвестное 12.

 Египетский метод решения является по существу методом предложения. Начинают с того, что в качестве неизвестного берут произвольное число, в данном случае 4, так как  четверть его (1) просто вычисляется. Далее 4 + 1 = 5. Однако по условию задачи результат должен быть не 5, а 15, следовательно, во сколько раз 15 больше 5, во столько раз неизвестное должно быть больше произвольно взятого числа 4. Этот метод широко применялся в Азии и Европе в средние века и получил название «метода ложного положения».

К первым, самым древним задачам на составление уравнений, относятся некоторые задачи, содержащиеся в древнеегипетском  Московском папирусе.

  Вот одна из задач Московского папируса.

« Число и его половина составляет 9». Найти  число.

В современной записи уравнения к решению этой задачи будет иметь вид:

 В качестве неизвестного берут произвольное число, в данном случае 2, так как вторая часть его один, просто вычисляется. Далее 2 + 1 = 3.Однако, по условию задачи результат должен быть не 3, а 9, следовательно, во сколько раз 9 больше 3, во столько раз неизвестное должно быть больше произвольно взятого числа 2. А значит 2 · 3 = 6. Ответ: неизвестное число 6^[1].

В IX в. узбекский математик и астроном Мухаммед аль-Хорезми написал трактат «Китаб аль-джебр Валь-мука-бала», где дал общие правила для решения уравнений первой степени. Слово «аль-джебр» (восстановление), от которого новая наука алгебра получила своё название, означало перенос отрицательных членов уравнений из одной его  части в   другую с изменением знака.

 В Западной Европе изучение алгебры началось в XIII в. одним из крупных математиков этого времени был итальянец Леонардо Пизанский (Фибоначчи). Его «Книга абака» (1202) – трактат, который содержал сведения об арифметике и алгебре до квадратных уравнений.

   Отсутствие удобной и хорошо развитой символики сковывало дальнейшие развитие алгебры: самые сложные формы приходилось излагать в словесной форме. В конце XVI  в. французский математик Франсуа Виет ввёл буквенные обозначения.  

2. Исследовательская часть

2.1. Основные понятия уравнения

Уравнение – это равенство, содержащее букву, значение которой надо найти.

Выражение слева от знака равенства называется левой частью уравнения, а справа от знака равенства – правой частью уравнения.

Это значение неизвестного, называется корнем уравнения или решением уравнения.                      

Итак, корнем уравнения называется число, подстановка которого вместо буквы превращает уравнение в верное равенство.

Решить уравнение – значит найти все его корни (или убедиться, что это уравнение не имеет ни одного корня).

В уравнениях пишут одну из строчных букв латинского алфавита.

Чаще употребляют х (икс), у (игрек), z (зет), а (а), b (бэ), с (цэ).

Например:  х + 12 = 30,      54 : у = 9,      b ·  6 = 48 ,      75 – с = 38. 

  2.2. Простые уравнения.

     Уравнения называются простыми тогда, когда нужно выполнить только одно арифметическое действие, чтобы найти неизвестное число.

Компоненты сложения, вычитания, умножения, деления.

1. Сложение    a + b = c

a – первое слагаемое

b – второе слагаемое

с – сумма

2. Вычитание     a – b = c

а - уменьшаемое

b – вычитаемое

с – разность

3. Умножение      a ∙ b = c

а – первый         множитель

b – второй множитель

с – произведение

4. Деление    a : b = c

а – делимое

b – делимое

с – частное

Пример 1. Решаем уравнение      х + 25 = 68;      

1.   х – неизвестное слагаемое. Чтобы найти неизвестное слагаемое, из суммы вычитаем известное слагаемое:

 х = 68 – 25 ,

х = 43.

2.   Сделаем проверку: подставим в заданное уравнение, вместо буквы  х найденное число 43 и выполняем сложение.

  проверка: 43 + 25 = 68;

                            68 = 68.

3.   Сравниваем значения левой и правой частей уравнения.

Ответ: х = 43.

Пример 2.   х – 5 = 8;

1. х – неизвестное уменьшаемое. Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, надо к разности прибавить известное вычитаемое.

х – 5 = 8;

х = 8 + 5;

х = 13.

2. Сделаем проверку: подставим в заданное уравнение вместо буквы х найденное число 13.

Проверка: 13 – 5 = 8;

                        8 = 8;

3. Сравниваем значение левой и правой частей уравнения.

Ответ: х = 13.

Пример 3.   15 – х = 9.

1. х – неизвестное вычитаемое. Чтобы найти неизвестное вычитаемое, надо из уменьшаемого вычесть разность.

х = 15 – 9,

х = 6.

2. Сделаем проверку: подставим в заданное уравнение вместо буквы х найдено число 6.

Проверка: 15 – 6 = 9;

                           9 = 9;

3. Сравниваем значение левой и правой частей уравнения.

Ответ: х = 6.

Пример 4.  4 · х = 144;

1. х – неизвестный множитель. Чтобы найти неизвестный множитель, произведение делим на известный множитель.

4 · х = 144;

х = 144 : 4;

х = 36.

2. Сделаем проверку: подставим в заданное уравнение вместо буквы х найдено число 36 и выполним умножение.

Проверка: 4 · 36 = 144;

                       36 = 36;

3. Сравниваем значение левой и правой частей уравнения.

Ответ: х = 36.

Пример 5.  42 : х = 6;

1. х – неизвестный делитель. Чтобы найти неизвестный делитель, надо делимое  разделить на частное.

42 : х = 6;

х = 42 : 6;

х = 7;

2. Сделаем проверку: подставим в заданное уравнение вместо буквы х найдено число 7 и выполним деление.

Проверка:  42 : 7 = 6;

                         6 = 6;

3. Сравниваем значение левой и правой частей уравнения.

Ответ: х = 6.  

Пример 6.  х : 8 = 13;

1. х – неизвестный делимое. Чтобы найти неизвестное делимое, надо частное умножить на делитель.

х : 8 = 13;

х = 13 · 8;

х = 104;

2. Сделаем проверку: подставим в заданное уравнение вместо буквы х найдено число 104 и выполним деление.

Проверка:  104 : 8 = 13;

                          13 = 13;

3. Сравниваем значение левой и правой частей уравнения.

Ответ: х = 13.

2.3. Все виды уравнений, изучаемые в  школьном учебнике Н. Я.  Виленкина «Математика 5»

Где a, b, c, d, f – натуральные числа, обыкновенные или десятичные дроби. x – корень уравнения.

2.4. Секрет отгадывания чисел

Каждый из вас, возможно, встречался с «фокусами» по отгадыванию чисел. Фокусник обычно предлагает выполнить действия следующего характера: задумайте натуральное число, прибавьте 2, умножьте на 3, отнимите 5, отнимите задуманное число, умножьте на 2, отнимите 1. Затем фокусник спрашивает, что у вас получилось в результате, и, получив ответ, мгновенно сообщает задуманное вами число.

Итак, что же лежит в основе фокуса? «Чтобы решить вопрос, относящийся к числам или к отвлеченным отношениям величин, нужно лишь перевести задачу с родного языка на язык алгебраический», - писал великий Ньютон в своем учебнике алгебры, озаглавленном «Всеобщая арифметика»^[2].

Переведем данную задачу на язык алгебры.

               Таблица 1.

Чтобы ответить на поставленный вопрос, достаточно обратиться к правой колонке таблицы, где указания фокусника переведены на язык алгебры. Из этой колонки видно, что если вы задумали какое – то число x, то после всех действий у вас должно получиться 4x + 1. Зная это, нетрудно «отгадать» задуманное число.

Пусть, например, вы сообщили фокуснику, что получилось 9. Тогда фокусник быстро решает в уме уравнение  4x + 1 = 9, 4x = 8 и x = 2.

Таким образом, подтверждается гипотеза, о том, что в основе задачи «Секрет отгадывания чисел» лежит уравнение.

Заключение

Выполняя эту исследовательскую работу, мне пришлось воспользоваться не только своими знаниями, но еще изучить дополнительную литературу. В процессе выполненной исследовательской работы в соответствии с ее целью и задачами получены следующие выводы и результаты:

1. На основе изученной литературы по данной теме, открыл  для себя много интересного и нового об  уравнениях, чего не мог прочитать в учебнике. Например, узнал о том, что ещё в древности люди пользовались ими, не зная, что это – уравнения. В наше время невозможно представить себе решение, как  простейших, так и сложных  задач не только в математике, но и в других  науках, без применения решения  уравнений.

2. Выполненный обзор школьного учебника Н. Я.  Виленкина «Математика 5», показал, что в учебнике встречаются 90 видов уравнений.

3. Исследовав задачу «Секрет отгадывания чисел», выяснил, что в основе задачи лежит уравнение.

Список  литературы

1. Виленкин, Н. Я.  «Математика»  /  Н. Я.  Виленкин,  В. И. Жохов, А. С. Чесноков,  С. И.  Шварцбурд  //  Математика:  учебник  для  5 кл. / ред. Г. С. Уманский. – М.: Мнемозина, 2013. – 280 с.

2. Глейзер, Г. И.  История  математики  в  школе  ⁄  Г. И. Глейзер ⁄⁄  История  математики  в  школе:  пособие  для  учителей  ⁄  под редакцией  В. Н. Молодшего. – М.: Просвещение, 1964. – 376 с.

3. Ефимова, А. В. Решаем уравнения/А. В. Ефимова, М. Р. Гринштейн // Решаем уравнения: учебник для 2 – 5 кл. – СПб.: Издательский дом «Литера», 2008. – 62 с.

4. Перельман, Я. И. Занимательная алгебра / Я. И. Перельман// Занимательная алгебра. – М.: АСТ: Астрель: ХРАНИТЕЛЬ, 2007. – 282 с.

5. www.istorya.ru

6. www.ref.by/refs/62/13346/1.html