Работе по геометрии «Дважды биссектриса» треугольника

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УДМУРТСКОЙ РЕСПУБЛИКИ

МУНИЦИПАЛЬНОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

«СРЕДНЯЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ШКОЛА №16» г. ИЖЕВСКА

Исследовательская работа по геометрии

“Дважды биссектриса” треугольника

Секция: математика

Выполнила: Магасумова Альбина                             Руководитель: Логинова Нина

                                           Ришатовна                                                              Васильевна

ученица 9б класса МБОУ СОШ №16                                            учитель математики

Ижевск - 2012

СОДЕРЖАНИЕ

1. Введение……………………………………………………………………3
2. Доказательство леммы о «дважды биссектрисе» треугольника………...4
3. Задачи на доказательство……………………..…………………................5
4. Задачи на вычисление………………………………………………………7
5. Задачи на построение…………………………………………….................8
6. Заключение…………………………………………………………………..9
7. Список литературы………………………….……………………………...10

1.Введение

В этом учебном году мы заканчиваем изучение большого раздела геометрии. Геометрия – это наука, занимающаяся изучением геометрических фигур.

На уроках мы познакомились с начальными геометрическими сведениями, изучили темы: «Параллельные прямые», «Многоугольники», «Площади» и другие. Но ключевой для меня стала тема «Треугольник».

Я узнала много интересных свойств, связанных с элементами треугольника, но более всего моё внимание привлекло  понятие биссектрисы.

Любителям геометрии известно достаточно много фактов «из жизни» биссектрисы треугольника:

 1)Биссектриса треугольника – это отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой противоположной стороны. 

2)Каждая точка биссектрисы равноудалена от сторон угла.

3)Точка пересечения биссектрис трегольника является центром окружности, вписанной в треугольник. 

4)Свойство биссектрисы, выражающееся равенством    (рис. 1).  

Рис.1                                                                 Рис.2

Все это так. Биссектриса — один из главных отрезков в геометрии треугольника.

Я же сейчас поведу разговор о менее популярном, но чрезвычайно важном, необходимом свойстве биссектрисы. О том, что биссектриса угла треугольника делит пополам угол между радиусом описанной окружности и высотой, проведенной из вершины того же угла. Иными словами lа  (биссектриса угла А) является биссектрисой угла ОАН1 (рис. 2).

Чтобы не возникало никаких вопросов, поясню, что такое описанная окружность. Если  все вершины многоугольника лежат на окружности, то окружность называется описанной около многоугольника, а многоугольник – вписанным в эту окружность.

После доказательства этого свойства (назовем его леммой о «дважды биссектрисе») постараюсь аргументировано показать, насколько оно полезно при решении геометрических задач.

2.Доказательство леммы о «дважды биссектрисе» треугольника.

Лемма.

Биссектриса l треугольника АВС является также биссектрисой угла ОАН1, где О – центр окружности, описанной около треугольника АВС, АН1 – его высота (рис. 3).

Доказательство. 

Угол АОС является центральным, АОС=2В. Тогда =90 Но и =90 (из треугольника ВАН). Поскольку биссектриса lделит угол ВАС пополам, то, отняв от равных угловCAL и BAL равные части, мы вновь получим равные углы. Поэтому 1=2. Лемма доказана.

                           Рис.3

3. Задачи на доказательство.

Задача 1.  

Дан треугольник АВС. Серединный перпендикуляр к стороне ВС и продолжение биссектрисы lа  пересекаются в точке Q (рис. 4).

Докажите, что точка Q лежит на окружности с центром О, описанной около треугольника АВС.

                                    Рис. 4

Доказательство. 

Проведем высоту АН1 и радиус ОА. 1=2 (согласно лемме). Но 2=3 – как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых (АН1׀׀ ОQ). Следовательно, треугольник AOQ — равнобедренный, причем OQ=ОА=Rокр, А это и означает, что точка Q принадлежит окружности, описанной около треугольника АВС. 

Задача 2. 

Известно, что в остроугольном треугольнике АВС биссектриса AL1 перпендикулярна отрезку ОН, где О — центр окружности, описанной около треугольника  АВС, Н — точка пересечения его высот,  I — точка пересечения биссектрис треугольника  АВС. Докажите, что выполняется равенство OI = IH. 

                                      Рис. 5

Доказательство.

ΔAOI = ΔAHI по двум сторонам и углу между ними. Действительно, АН=АО=Rокр, AI — общая сторона, и 1 = 2 согласно лемме (рис. 5). Следовательно, OI = IН.

Задача 3 

Известно, что в остроугольном треугольнике АВС биссектриса AL1 перпендикулярна отрезку ОН, где О — центр окружности, описанной около треугольника АВС, Н — точка пересечения его высот,  I — точка пересечения биссектрис треугольника АВС, точка I принадлежит отрезку ОН. Докажите, что треугольник  АВС — равнобедренный.

                              Рис. 6

Доказательство.  

Отрезок АI — биссектриса треугольника ОАН (ОАI = НАI по лемме). Воспользуемся известным свойством биссектрисы треугольника: биссектриса угла треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам. В нашем случае ==(рис. 6). Аналогично отрезок СI является биссектрисой треугольника СОН, поэтому ==. Сравнив записанные равенства, получим: =, откуда АН = СН. А это и означает, что АВ = ВС.

4. Задачи на вычисление.

Задача 4.

В треугольнике АВС высота hа и медиана mа делят угол А на три равные части. Найдите угол А.

                                          Рис.7

Решение. 

Проведем биссектрису AL1 =lа и медиану АМ1 = mа (рис. 7). Поскольку 3= 4 (из условия), то 1 = 2. Следовательно, центр О окружности, описанной около треугольника АВС, лежит на медиане mа. Но и серединный перпендикуляр t к стороне ВС содержит точку О. Значит, точки О и M1 совпадают. Но тогда ВС—диаметр и ВАС = 90ْ.

Задача 5. 

Известно, что в треугольнике АВС модуль разности углов В и С равен φ, т.е. ׀В -С׀=φ.

Найдите величину угла ОАН1, где О – центр окружности, описанной около треугольника  АВС, АН1 – высота треугольника.

                                                Рис.8

 Решение. 

Пусть В >С. Проведем биссектрису l и найдем угол 2 (рис. 8).

2=ВАL1 - ВАН1=–(90-В)= ---+==

Поскольку   1 = 2, то  ОАН1 = φ. Аналогично рассматривается случай, когда >.

5. Задачи на построение.

Задача 6. 

Постройте треугольник АВС по высоте hа, медиане ma и биссектрисе  la, проведенным из вершины А.

                                                 Рис. 9

Решение. 

Треугольники АН1L1 и АН1М1 можно легко построить по катету и гипотенузе (рис. 9). Из вершины А проведем луч n под углом, равным углу Н1AL1 (см. рис. 9). Согласно лемме луч n содержит центр О окружности, описанной около треугольника АВС. Но и перпендикуляр t к прямой М1Н1, проходящий через точку М1,содержит точку О, Таким образом, О — точка пересечения n и t. Дальнейшее построение очевидно.

Задача 7. 

Постройте треугольник АВС по биссектрисе la, радиусу R окружности, описанной около треугольника АВС, и разности углов В и С (В >С).

                                          Рис. 10

Решение. 

Строим отрезок АL1 = la. По обе стороны от la откладываем 1=2= и проводим лучи t  и h (рис.10) Согласно лемме и задаче 5 луч t содержит центр окружности, описанной около треугольника АВС, - точку О, а луч h содержит проведенную из вершины А высоту. Далее на луче t откладываем отрезок АО=R. Из центра О радиусом АО=R проводим окружность. Перпендикулярная к h прямая, проведенная через точку L1, пересекает эту окружность в точках В и С – вершинах искомого треугольника.

6. Заключение

В заключение данной работы хотелось бы еще раз отметить, на сколько важным  в геометрии является такое понятие как биссектриса, и на сколько интересны и замечательны ее свойства, которые с успехом можно применять при решении различных задач: будь то задачи на вычисления, задачи на доказательства или задачи на построения.

Готовясь к научно-практической конференции, я обнаружила большое количество задач связанных с понятием биссектриса, которые ждут своего решения. Поэтому мне хотелось бы в дальнейшем продолжить работу над этой темой. Что касается остальных, то, хочется надеяться, что после моего выступления и вам захочется решить хотя бы одну такую задачу, уподобившись пещерному математику из стихотворения

О ТОМ, КАК ПОЯВИЛАСЬ ГЕОМЕТРИЯ

Давным-давно до нашей эры,

Еще в домезазойский век,

Во глубине большой пещеры

Жил очень странный человек.

Он динозавров бил из лука

И в прятки с мамонтом играл,

Но странная стряслась с ним штука;

Он много думать что-то стал.

Он похудел и весь зарос,

Он перестал и есть и спать,

Лишь бормотал себе под нос:

«Как биссектрису начертать?»

Жена ворчала на него:

«Эй, может, хватит бормотать,

Ты шкуры вынес бы во двор

И мамонтов пошел стрелять!»

Но он как будто не слыхал,

Он целиком ушел в себя

И думал все, и бормотал:

 «Вот биссектриса где моя!»

Он треугольники чертил,

Овалы, ромбы и квадраты.

Про все на свете позабыл,

Когда дошел до постулатов.

Уже на голод не роптал

Наш высохший флегматик.

Вот так науку создавал

Пещерный математик.

Список используемой литературы.

1. Л. С. Атанасян. Геометрия 7-9. М.: Просвещение, 2009.
2. Научно-теоретический и методический журнал «Математика в школе»,M.: Школьная пресса, 4 выпуск, 2008
3. В.Б.Полонский, Е.М.Рабинович, М.С.Якир. Геометрия: Задачник к школьному курсу. – М.: АСТ-ПРЕСС: Магистр-S. 1998
4. Л.С.Атанасян, В.Ф.Бутузов, С.Б.Кадомцев и др. Геометрия. Дополнительные главы к учебнику: Учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики. – М.: Вита-Пресс,2004
5. М.Я.Выгодский. Справочник по элементарной математике. – М.: Наука, 1982